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2019-2020年高三4月聯(lián)考 數(shù)學理 含答案 張延良、聞家君 xx.4 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的. 1．已知集合,,則( ) A． B． C． D． 2．在復平面內(nèi),復數(shù)對應的點分別為A,B．若C為線段AB的中點,則點C對應的復數(shù)的模是( ) A． B． C． D． 3．下列函數(shù)中既是偶函數(shù),又是區(qū)間上的減函數(shù)的是( ) A． B． C． D． 4．已知函數(shù),則=( ) A． B． C． D． 5．一個幾何體的三視圖如右圖所示,且其左視圖是一個等邊三角形,則這個幾何體的體積為( ) A． B． C． D． 6．已知實數(shù)滿足條件則使得目標函數(shù) 取得最大值的的值分別為( ) A．0，12 B．12，0 C．8，4 D．7，5 x A B P y O 7．函數(shù)的部分圖象如右圖所示,設是圖象的最高點,是圖象與軸的交點,記,則的值是( ) A． B． C． D． 8．下列命題中:①“”是“”的充要條件; ②已知隨機變量服從正態(tài)分布,,則; ③若n組數(shù)據(jù)的散點圖都在直線上,則這n組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)為; ④函數(shù)的所有零點存在區(qū)間是.其中正確的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．如右圖所示，單位圓中弧的長為,表示弧與弦所圍成的弓形（陰影部分）面積的2倍，則函數(shù)的圖象是( ) 10．拋物線的焦點為,點在此拋物線上,且,弦的中點在該拋物線準線上的射影為,則的最大值為( ) A． B． C．1 D． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 11．下圖給出了一個程序框圖,其作用是輸入的值,輸出相應的值．若要使輸入的值與輸出的值相等,則這樣的值有________個. 12．一個盒子里有20個大小形狀相同的小球，其中5個紅球，5個黃球，10個綠球，從盒子中任取一球，若它不是紅球，則它是綠球的概率是__________. 13．已知二項式展開式中的常數(shù)項為,且函數(shù),則___________. 14．已知數(shù)列為等差數(shù)列,若,,則.類比上述結論,對于等比數(shù)列,若,則可以得到＝____________. 三、選做題：請考生在下列兩題中任選一題作答. 若兩題都做，則按所做的第一題評閱計分，本題共5分. (2)（不等式選做題）不等式對任意實數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是____________. 四、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16.（本小題滿分12分） 已知向量,函數(shù) (1)求函數(shù)的最小正周期T及單調(diào)減區(qū)間; (2)已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，其中A為銳角，,,且.求A，b的長和ABC的面積. 17.（本小題滿分12分） 小王參加一次比賽,比賽共設三關,第一、二關各有兩個必答題,如果每關兩個問題都答對,可進入下一關,第三關有三個問題,只要答對其中兩個問題,則闖關成功.每過一關可一次性獲得價值分別為1000元,3000元,6000元的獎品(不重復得獎),小王對三關中每個問題回答正確的概率依次為,且每個問題回答正確與否相互獨立. (1)求小王過第一關但未過第二關的概率; (2)用X表示小王所獲得獎品的價值,寫出X的概率分布列,并求X的數(shù)學期望. 18.（本小題滿分12分） 各項均為正數(shù)的數(shù)列前項和為,且. (1)求數(shù)列的通項公式; (2)已知公比為的等比數(shù)列滿足，且存在滿足,,求數(shù)列的通項公式. 19.（本小題滿分12分） 如圖，在正三棱柱中，，是的中點，是線段上的動點（與端點不重合），且. (1)若，求證:; (2)若直線與平面所成角的大小為，求的最大值. 20.（本小題滿分13分） 已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為. (1)求橢圓的標準方程; (2)設不過原點的直線與橢圓交于兩點、，且直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，求△面積的取值范圍. 21.（本小題滿分14分） 已知函數(shù)（）. (1)若函數(shù)在處取得極大值,求的值; (2)時,函數(shù)圖象上的點都在所表示的區(qū)域內(nèi),求的取值范圍; (3)證明:，. 江西師大附中、鷹潭一中xx高三數(shù)學（理）聯(lián)考 【參考答案】 一、選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D C B D A C D D 6.解析：易知B,C不在可行域，A，D選項的z分別為4200，4900，故選D. 7.解析：①取時，有但得不到,故不必要，錯誤; ②的正態(tài)分布的對稱軸是，，正確; ③斜率為負數(shù)表明負相關,得,由于數(shù)據(jù)均在直線上,故相關程度最強,為,正確; ④得，且單調(diào)，故正確. 8.解析：過P作軸于Q，則 .則. 另解：由圖可知,,C、D是負值根本不可能.則,故,故排除B. 9.提示：. 10.解析：. 二、填空題 11.3 12. 13. 14.bm＋n＝..解析：觀察{an}的性質(zhì)：am＋n＝,則聯(lián)想nb－ma對應等比數(shù)列{bn}中的,而{an}中除以(n－m)對應等比數(shù)列中開(n－m)次方,故bm＋n＝. 三、選做題 15.（1）. 解析：設極點為O,由該圓的極坐標方程為ρ＝4,知該圓的半徑為4,又直線l被該圓截得的弦長|AB|為4,所以∠AOB＝60,∴極點到直線l的距離為d＝4cos30＝2,所以該直線的極坐標方程為. （2）或.解析：f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4,故只要a2－3a≥4即可,解得或. 四、解答題 16.解析：(1)…………（2分） …………………………（4分） 單調(diào)遞減區(qū)間是 …………（6分） (2); …………………………………………8分） …………（10分）. ………………………………（12分） 17.解析：(1)設小王過第一關但未過第二關的概率為P1, 則P1＝2＝. …………（4分） (2)X的取值為0,1000,3000, 6000,則P(X＝0)＝＋＝, P(X＝1000)＝2＝, P(X＝3000)＝22＝, P(X＝6000)＝22＝, ∴X的概率分布列為 X 0 1000 3000 6000 P …………………（10分）(錯一列扣2分，扣完為止) ∴X的數(shù)學期望EX＝0＋1000＋3000＋6000＝2160. ……（12分） 18.解析：(1)， 兩式相減得：，…………………………………（2分） 即，………………………………（4分） 為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故………………………（6分） (2)，依題意得，相除得……（8分） ，代入上式得q=3或q=7，…………………………………（10分） 或.…………………………………………………………………（12分） 19.解析：如圖,建立空間直角系,則…（1分） (1)當時,,此時,,…（3分） 因為，所以.………………（5分） (2)設平面ABN的法向量，則， 即，取。而，………………（7分）………………（9分） ，，故………（11分） 當且僅當，即時，等號成立. …………………………………………（12分） 20.解析:(1)由已知得 ∴方程： （4分） (2)由題意可設直線的方程為： 聯(lián)立 消去并整理，得： 則△ , 此時設、∴ 于是 ………………（7分） 又直線、、的斜率依次成等比數(shù)列， ∴ 由 得： .又由△ 得： 顯然 （否則：，則中至少有一個為0，直線、 中至少有一個斜率不存在，矛盾！） ……………………………（10分） 設原點到直線的距離為,則 故由得取值范圍可得△面積的取值范圍為…………（13分） 21.解析：(1)，由 經(jīng)檢驗符合題意……（3分） (2)依題意知，不等式在恒成立.令, 當k≤0時,取x＝1,有，故k≤0不合．…………………………（4分） 當k＞0時， g′(x)＝－2kx＝. 令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＞－1. ……………………………（5分） ①當k≥時， ≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，從而對任意的x∈[0，＋∞)，總有g(x)≤g(0)＝0，故k≥符合題意．…………（6分） ②當0＜k＜時，＞0, 對于x∈，g′(x)＞0， 故g(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，因此當取x0∈時，g(x0)＞g(0)＝0，不合． 綜上，. …………………………（8分） (3)證明：當n＝1時，不等式左邊＝2－ln3＜2＝右邊，所以不等式成立．……………（9分） 當n≥2時，在(2)中取k＝，得……………（10分） 取x=代入上式得:-ln(1+)≤＜………（12分） ≤2－ln3＋ －ln(2n＋1)≤2－ln3＋1－＜2. 綜上，－ln(2n＋1)＜2， ……………………………… （14分）