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1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊 作業(yè)（二）評講 (一)填空題 1 .若 f(x)dx 2x 2x c,則 f(x).答案：2xln2 2 2 . (sinx) dx !F案：sin x c 2 1 2、 3.若 f(x)dx F(x) c,則 xf (1 x )dx 答案： -F(1 x ) c d e 2 4.設(shè)函數(shù) 一 ln(1 x2)dx .答案：0 dx 1 4?、 0 1,,」,、 … 1 5.右 P(x) 一, dt ,則 P (x) .答案： ] J x .1 t2 .. 1 x2 （二）單項(xiàng)選擇題 2 1.下列函數(shù)中，（ ）是xsinx的原函數(shù).

2、A . 1 cosx2 B . 2cosx2 C. - 2cosx2 2 答案：D D. — - cosx2 2 2.下列等式成立的是（ ）. A. sinxdx d（cosx） B. ln xdx d(1) x _ x 1 _ x C. 2 dx ——d(2 ) ln 2 答案：C 3.下列不定積分中，常用分部積分法計算的是（ ）. A. cos（2x 1）dx, B. xv1 x2dx C. xsin 2xdx 答案：C 4.下列定積分計算正確的是（ 1 A . 2xdx 2 1 ). 16 B. dx 15 1 C. (x2 x3)dx 0

3、 D. sin xdx 0 答案：D 5.下列無窮積分中收斂的是( ). a 1 1 Xi A. -dx b . rdx c. e dx d. sinxdx 1 x 1 x2 0 1 答案：B （三）解答題： 1.計算下列不定積分 本類題考核的知識點(diǎn)是不定積分的計算方法。常用的積分方法有: ⑴運(yùn)用積分基本公式直接積分； ⑵第一換元積分法（湊微分法）； ⑶分部積分法，

4、主要掌握被積函數(shù)是以下類型的不定積分: ①哥函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘； ②哥函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘； ③哥函數(shù)與正（余）弦函數(shù)相乘。 3x (1) 3rdx e 3x 正確答案: x ——c ln3 e 分析：采用 第一換元積分法 （湊微分法 3x、一 將被積函數(shù)—變形為 e 3 x (-) e ,利用積分公式 axdx x a —— c求解，這里 In a 正確解法: 3 x (-)dx e x e 3 In - e 3x x e ln3 1 （利用對數(shù)的性質(zhì), ln3

5、 e ln3 lne ln3 1,lne 1) ①不能將被積函數(shù) 3x 3x看成為 e 可能出現(xiàn)的錯誤: 3 x 「 … （-）,因此不知用什么公式求積分; e 3x ② 37dx e x , e dx x 3e ③用錯公式, 3二 -dx e 3x x 4 正確答案：2 x x 3 2x1 c 5 將被積函數(shù) (1 x)2 x 1 變形為2x 5 1 3 2x5 x ,利用基本積分公式 x dx x 1

6、 c直接求解，. 1 2 2 正確解法：(1 x) dx= 1 2x1 x dx x 2 x 1 3 =(x 2 * 2 x x2 )dx = 2x2 -x2 -x2 c 3 5 可能出現(xiàn)的錯誤: 3 x 、一一 77 ①不能將被積函數(shù) 變形為x 2,因此不知用什么公式求積分; x5 ②公式記錯，例如, 3 x 2dx 3 3 -x c. 2 x2 4 (3) x一4dx x 2 1 2 正確答案：一x 2 2x c 分析：將被積函數(shù) 2),利用積分運(yùn)算法則和基本積分公式求解。 正確解法：原式= (x 2)(x 2) _ . 1

7、2 - - (x 2)dx - x 2x C 1 (4) dx 1 2x 1 正確答案： ,ln1 2x 分析：將積分變量x變?yōu)?1 2x),利用湊微分方法將原積分變形為 1 1 d(1 2x), 2 1 2x 再由基本積分公式進(jìn)行直接積分。 1 正確解法：原式= 2 1 -ln1 2x C (5) xv2 x2 dx 3

8、 x2)2 c 2 1 2 2 分析：將積分變量x變?yōu)? X2 ,利用湊微分方法將原積分變形為 -<2 x2d(2 X2),. 再由基本積分公式進(jìn)行直接積分。 1 3 正確解法：1 (2 x2)2d(2 x2) 1(2 X2)2 C 2 3 sin x . (6) --^dx .x 正確答案： 2 cosx c 分析：將積分變量x變?yōu)镴x ,利用湊微分方法將原積分變形為 2 sin Jid jx ,再由基本 積分公式進(jìn)行直接積分。 正確解法：原式=2 sinjxdjx 2cosVx C x . ⑺ xsin —dx 2 x x 正確答案： 2x

9、cos- 4 sin — c 2 2 分析：這是哥函數(shù)與正弦函數(shù)相乘的積分類型，所以考慮用分部積分法。 x - x 正確斛法：設(shè)u x,v sin—,則du dx,v 2cos—,所以根據(jù)不定積分的分部積分 2 2 法： x x x,x,x x x 原式= 2xcos 2 cos- dx 2x cos 4 cos—d 2xcos 4sin C 2 2 2 2 2 2 2 (8) ln(x 1)dx 正確答案：(x 1) ln( x 1) x c 分析：這是哥函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘的積分類型。同上，可考慮用分部積分法。 1 正確解法：設(shè)u ln(x 1),v 1,則du

10、 -^dx,v x,所以根據(jù)不定積分的分部積 x 1 分法： 一，、 x 1 原式二 xln(x 1) dx xln(x 1) (1 )dx x 1 x 1 =x ln(x 1) x ln( x 1) C 2.計算下列定積分 本類題考核的知識點(diǎn)是定積分的計算方法。常用的積分方法有： ⑴運(yùn)用積分基本公式直接積分； ⑵第一換元積分法(湊微分法)；需要注意的是，定積分換元，一定要換上、下限，然后直 接計算其值(不要還原成原變量的函數(shù)。) ⑶分部積分法，主要掌握被積函數(shù)是以下類型的不定積分: ①哥函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘； ②哥函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘； ③哥函數(shù)與正(余)弦函數(shù)相乘

11、。 2 (1) 1 xdx 正確答案: 分析：將絕對值符號打開, 1 正確解法：原式=[(1 把原積分分成兩段，然后用積分基本公式直接求解。 x)dx 1 1)dx (x - x 2) 11 (2x2 x)2 1 2 ex ⑵ e^dx 1 x 分析：本題為募函數(shù)與余弦函數(shù)相乘的積分類型?？煽紤]用分部積分法。 正確解法： 1 . 正確答案：e 分析：采用湊微分法, 將原積分變量為： 2 1 exd-， 1 x 再用基本積分公式求解。 正確解法: 原式= 21dl x 1 ex i (e2 e)

12、1 e2 e3 (3) 1 xJlnxdx 正確答案：2 分析：采用湊微分法，將原積分變量為: e3 1 (1 1 lnx) ^d(1 In x),再用基本積分公式求 1 ln x) 2(1 lnx)2 -3 e 4 2 2 解。 e設(shè)u x,v cos2x,則du dx,v - sin 2x,所以根據(jù)定積分的分部積分法: 2 正確答案: 正確解法：原式二1 (1 ln x) 2d(1 (4) 2 xcos2xdx 0 一、1 一一 原式=—xsin 2x 2 1 1 1 2—sin2xdx 0 - 025n2xd2

13、x 1 , c、一 4 ( cos2x) 2 e (5) xln xdx 1 正確答案：1(e2 1) 4 正確解法： 解：設(shè) u ln x, v 原式=1x21nxe 2 1 1 則 du dx,v x 【xdx 1 2 1 2 -e 2 4 ⑹00 xe x)dx 1 2?………八， -x2,所以根據(jù)定積分的分部積分法: 2 e 1 2 -e 1 2 1 2 1、 e2 1 e ) 4 4 4 分析：本題為募函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘的積分類型?？煽紤]用分部積分法。 正確答案：5 5e 4 分析：先用積分的運(yùn)算法則， 將被積函數(shù)拆成兩個函數(shù)的積分， 其中第一個積分用基本積分 公式求解，第二個積分為哥函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積分類型，考慮用分部積分法。 正確解法： 原式=x 4 xe 0 xdx x, v ，則du dx,v e x,所以根據(jù)定積分的分部積分法: 原式=4 xe e xdx 4 (4e4 0) e x 4 4 4 0 4 4 4e (e e ) 5 5e 0 1 d(1 - 2x) 1 2x ——，一 1 正確答案：一(2 3