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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 2.9函數(shù)的應(yīng)用舉例（第一課時(shí)） 大綱人教版必修 課時(shí)安排 3課時(shí) 從容說(shuō)課 （1）本小節(jié)的內(nèi)容為有關(guān)幾何、增長(zhǎng)率和物理方面的例題。 （2）本小節(jié)的目的是通過(guò)例題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。 （3）本小節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是數(shù)學(xué)模型的建立。 （4）本小節(jié)在教材中的地位： 掌握本章所學(xué)內(nèi)容是學(xué)好本小節(jié)的前提。通過(guò)本小節(jié)的學(xué)習(xí)，能使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)概念及其性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)概念及其性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)生活實(shí)際各個(gè)方面的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。 （5）本小節(jié)重難點(diǎn)的處理： 為了使學(xué)生更好地建立數(shù)學(xué)模型，一方面要求學(xué)生注意熟悉相關(guān)的實(shí)際背景，另一方面要求學(xué)生總結(jié)整理常用的數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，不能忽視歸納思想的應(yīng)用，通過(guò)從具體到一般，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律是建立數(shù)學(xué)模型的一種有效方法。必要情況下，對(duì)學(xué)生生疏的實(shí)際背景，如物理方面的知識(shí)，應(yīng)適當(dāng)予以復(fù)習(xí)或補(bǔ)充。 （6）教學(xué)中的注意事項(xiàng)： ①要求學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，若有困難則可以嘗試由簡(jiǎn)單、具體的情形入手從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律； ②要求學(xué)生掌握用計(jì)算器進(jìn)行必要的運(yùn)算。 第一課時(shí) ●課 題 2.9.1 函數(shù)的應(yīng)用舉例（一） ●教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.數(shù)學(xué)模型. 2.數(shù)學(xué)建模. 3.數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力要求. 4.解答應(yīng)用題的基本步驟. （二）能力訓(xùn)練要求 1.了解數(shù)學(xué)建模. 2.掌握根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式. 3.培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 4.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí). （三）德育滲透目標(biāo) 1.認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系. 2.了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用. ●教學(xué)重點(diǎn) 根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式 ●教學(xué)難點(diǎn) 數(shù)學(xué)建模意識(shí) ●教學(xué)方法 讀議講練法 首先要求學(xué)生通過(guò)閱讀課本來(lái)了解數(shù)學(xué)模型的概念及數(shù)學(xué)建模的思想方法，然后通過(guò)討論與學(xué)生一起分析得出數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決應(yīng)達(dá)到哪些能力要求，再通過(guò)講解例題與大家一起總結(jié)解答應(yīng)用題的基本步驟，最后通過(guò)相應(yīng)的課堂練習(xí)使學(xué)生鞏固對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的認(rèn)識(shí)，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的熟悉程度. ●教具準(zhǔn)備 幻燈片三張 第一張：例1（記作2.9.1 A） 第二張：例2（記作2.9.1 B） 第三張：數(shù)學(xué)應(yīng)用題能力要求及解答步驟（記作2.9.1 C） ●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 ［師］前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，并要求大家在課前對(duì)本章作系統(tǒng)地歸納整理，接下來(lái)，用已學(xué)過(guò)的知識(shí)舉例說(shuō)明函數(shù)的應(yīng)用. Ⅱ.講授新課 ［師］大家首先閱讀課本P91～P92，來(lái)了解一下數(shù)學(xué)建模的有關(guān)知識(shí). 1.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括，再?gòu)臄?shù)學(xué)角度來(lái)反映或近似地反映實(shí)際問(wèn)題時(shí)，所得出的關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述. 數(shù)學(xué)模型方法，是把實(shí)際問(wèn)題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用這些模型來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法. 2.例題講解 ［例1］用長(zhǎng)為m的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長(zhǎng)為2x，求此框架的面積y與x的函數(shù)式，并寫(xiě)出它的定義域. 分析：所求框架面積由矩形和半圓組成，數(shù)量關(guān)系較為明確，而且題中已設(shè)出變量，所以屬于函數(shù)關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 解：如上圖，設(shè)AB=2x，則CD弧長(zhǎng)=πx,于是AD= 因此y=2x+,即y=－x2+mx 再由, 解之得0＜x＜, 即函數(shù)式是y=－x2+mx 定義域是：（0，） 評(píng)述：此題雖為函數(shù)關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但應(yīng)讓學(xué)生通過(guò)此題明確應(yīng)用題的能力要求及求解應(yīng)用題的基本步驟. （1）數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力要求 ①閱讀理解能力；②抽象概括能力；③數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用能力；④分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力； （2）解答應(yīng)用題的基本步驟 ①合理、恰當(dāng)假設(shè)；②抽象概括數(shù)量關(guān)系，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示；③分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；④數(shù)學(xué)問(wèn)題的解向?qū)嶋H問(wèn)題的還原. ［師］有了上述說(shuō)明，我們?cè)诳蠢?時(shí)就應(yīng)有所注意. ［例2］如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上，寫(xiě)出這個(gè)梯形周長(zhǎng)y和腰長(zhǎng)x間的函數(shù)式，并求出它的定義域. 分析：要用腰長(zhǎng)表示周長(zhǎng)的關(guān)系式，應(yīng)該知道等腰梯形各邊的長(zhǎng)，下底長(zhǎng)已知為2R，兩腰長(zhǎng)為2x,因此，只須用已知量（半徑R）和腰長(zhǎng)x把上底表示出來(lái)，即可寫(xiě)出周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x的函數(shù)式. 解：如圖所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圓周上 設(shè)腰長(zhǎng)AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足為E，連結(jié)BD，那么∠ADB直角，由此Rt△ADE∽R(shí)t△ABD. ∴AD2=AEAB，即AE= ∴CD=AB－2AE=2R－ ∴y=2R+2x+(2R－) 即y=－+2x+4R 再由, 解得0＜x＜ ∴周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x的函數(shù)式為： y=－ (x2+2x+4R), 定義域?yàn)椋海?，） 評(píng)述：例2是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.解題過(guò)程是從問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義做出回答，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是建立數(shù)學(xué)模型的一種最簡(jiǎn)單的情形. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P89練習(xí) 1.將一個(gè)底面圓的直徑為d的圓柱截成橫截面為長(zhǎng)方形的棱柱，若這個(gè)長(zhǎng)方形截面的一條邊長(zhǎng)為x，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為d，截面的面積為A，求面積A以x為自變量的函數(shù)式，并寫(xiě)出它的定義域. 解：如上圖，截面的一條邊為x，對(duì)角線(xiàn)AC=d,另一條邊BC=,所以S=x,定義域?yàn)椋簕x|0＜x＜d 2.如圖，有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，寫(xiě)出體積V以x為自變量的函數(shù)式，并討論這個(gè)函數(shù)的定義域. 解：∵底面邊長(zhǎng)為a－2x, ∴底面積為(a－2x)2 又長(zhǎng)方體高為x, ∴長(zhǎng)方體體積V=x(a－2x)2 由a－2x＞0,得x＜ 又x＞0,∴函數(shù)定義域?yàn)閧x|0＜x＜} Ⅳ.課時(shí)小結(jié) ［師］通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，大家應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)建模有所了解，并能根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式，逐步掌握解決實(shí)際問(wèn)題的能力. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P89習(xí)題2.9 1.建筑一個(gè)容積為8000 m3，深為6 m的長(zhǎng)方體蓄水池，池壁的造價(jià)為a元/m2,池底的造價(jià)為2a元/m2,把總造價(jià)y(元)表示為底的一邊長(zhǎng)為x(m)的函數(shù). 解：設(shè)底面的另一邊長(zhǎng)為z(m)，則根據(jù)題意有6xz=8000,z= 池壁造價(jià)為a(2x+2z)6=12a(x+) 池底造價(jià)為2a=a 所以，總造價(jià)為：y=[12a(x+)+a](元) 2.如圖，灌溉渠的橫截面是等腰梯形，底寬2 m，邊坡的傾角為45，水深h m，求橫斷面中有水面積A（m2）與水深h(m)的函數(shù)關(guān)系式. 解：如圖，作AC⊥CE，BD⊥CE， ∴Rt△BDE面積：h2，矩形面積：2h ∴A=S矩+2SRt△BDE=2h+2h2=h2+2h(m2) （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P86例1 2.預(yù)習(xí)提綱： （1）例2的數(shù)學(xué)模型和哪種函數(shù)有關(guān)？ （2）試列舉有關(guān)平均增長(zhǎng)率的實(shí)際問(wèn)題. ●板書(shū)設(shè)計(jì) 2.9.1 函數(shù)的應(yīng)用舉例（一） 1.應(yīng)用題能力要求： （1）閱讀理解能力； （2）抽象概括能力； （3）數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用能力； （4）分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力. 2.解答基本步驟： （1）合理、恰當(dāng)假設(shè)； （2）抽象數(shù)量關(guān)系； （3）分析解決問(wèn)題； （4）數(shù)學(xué)問(wèn)題的解向?qū)嶋H問(wèn)題還原. 例1 例2 學(xué)生練習(xí)