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2019-2020年高一數(shù)學 3.2等差數(shù)列（第二課時） 大綱人教版必修 ●課 題 3.2.2 等差數(shù)列(二) ●教學目標 （一）教學知識點 1.等差中項概念. 2.數(shù)學建模. （二）能力訓練要求 1.明確等差中項的概念. 2.進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及推導公式. （三）德育滲透目標 1.培養(yǎng)學生的應用意識. 2.提高學生的數(shù)學素質(zhì). ●教學重點 等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的理解與應用. ●教學難點 靈活應用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關問題. ●教學方法 講練相結合 結合典型例題，認真分析，講解，再結合典型習題進行鞏固性練習，從而提高分析問題、解決問題的能力. ●教具準備 幻燈片兩張 第一張：記作3.2.2 A 1.如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a、A、b成等差數(shù)列，那么A應滿足什么條件？ 2.在等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q,則am+an ap+aq,(填“＞”“=”“＜”) 第二張：記作3.2.2 B ［例1］梯子的最高一級寬33 cm，最低一級寬110 cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度. ［例2］已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q,其中p、q是常數(shù)，且p≠0,那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？如果是，其首項與公差是什么？ ●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］上節(jié)課，咱們學習了有關等差數(shù)列的哪些內(nèi)容呢？ ［生］1.等差數(shù)列定義：an－an－1=d(n≥2) 2.等差數(shù)列通項公式：an=a1+(n－1)d(n≥1) 推導公式：an=am+(n－m)d Ⅱ.講授新課 ［師］首先，請同學們來思考這樣一個問題. （打出幻燈片3.2.2 A） 問題1：如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a、A、b成等差數(shù)列，那么A應滿足什么條件？ ［生］由等差數(shù)列定義及a、A、b成等差數(shù)列可得：A－a=b－A,即：a=. ［師］反之，若A=,則2A=a+b,A－a=b－A,即a、A、b成等差數(shù)列. 總之，A=a,A,b成等差數(shù)列. 也就是說，A=是a,A,b成等差數(shù)列的充要條件. 如果a、A、b成等差數(shù)列，那么a叫做a與b的等差中項. 不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項. 如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中項，5是3和7的等差中項，7是5和9的等差中項等等. 進一步思考，同學們是否還發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？ 比如：5不僅是3和7的等差中項，同時它也是1和9的等差中項，即不僅滿足5=，同時還滿足5=. 再如：7不僅是5和9的等差中項，同時它也是3和11的等差中項，還是1和13的等差中項，即7=. 看來，a2+a4=a1+a5=2a3,a4+a6=a3+a7=2a5 依此類推，可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q，,則am+an=ap+aq. 下面，我們來看一個實際問題.（打出幻燈片3.2.2 B） 分析：首先要數(shù)學建模，即將實際問題轉化為數(shù)學問題，然后求其解，最后還要結合實際情況將其還原為實際問題的解. 解：用{an}表示梯子自上而下各級寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，有a1=33,a12=110,n=12. 由通項公式，得a12=a1+(12－1)d,即110=33+11d,解得d=7. 因此，a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103. 答案：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm. 評述：要注意將模型的解還原為實際問題的解. ［師］再來看例2. ［生］思考片刻. ［師］分析：由等差數(shù)列的定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要看an－an－1(n≥2)是不是一個與n無關的常數(shù)就行了. 解：取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項an－1與an(n≥2)， an－an－1=(pn+q)－[p(n－1)+q] =pn+q－(pn－p+q)=p 它是一個與n無關的常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，且公差是p. 在通項公式令n=1,得a1=p+q,所以這個等差數(shù)列的首項是p+q,公差是p.看來，等差數(shù)列的通項公式可以表示為：an=pn+q（其中p、q是常數(shù)） 當p=0時，它是一常數(shù)數(shù)列，從圖象上看，表示這個數(shù)列的各點均在y=q的圖象上.當p≠0時，它是關于n的一次式，從圖象上看，表示這個數(shù)列的各點均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上. 例如，首項是1，公差是2的無窮等差數(shù)列的通項公式為：an=2n－1，相應的圖象是直 線y=2x－1上的均勻排開的無窮多個孤立點.如圖所示： Ⅲ.課堂練習 課本P116練習3. （師生討論） 3.已知一個無窮等差數(shù)列的首項為a1,公差為d: (1)將數(shù)列中的前m項去掉，其余各項組成一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？ 解：設一無窮等差數(shù)列為a1,a2,…,am,am+1,…,an,… 若去掉前m項，則新數(shù)列為：am+1,…,an,…,即首項為am+1,公差為d的等差數(shù)列. （2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？ 解：若設一無窮等差數(shù)列為a1,a2,a3,a4,a5,…,an,…,則取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成的新數(shù)列為a1,a3,a5,…,a2m－1,… 即首項為a1,公差為2d的等差數(shù)列. （3）取出數(shù)列中的所有項數(shù)為7的倍數(shù)的各項，組成一個新的數(shù)列，這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差各是多少？ 設一無窮等差數(shù)列為a1,a2,a3,…,an,…,則新數(shù)列為a7,a14,a21,…,a7m,…,即首項為a7,公差為7d的等差數(shù)列. 課本P116練習4，5. ［生］4.(1)100與180的等差中項為140，（2）－2與6的等差中項為2. 5.（1）由an=3n+6得a1=9,d=an－an－1=3n+6－3(n－1)－6=3,(2)由an=－2n+7，得a1=5,d=－2 Ⅳ.課時小結 通過本節(jié)學習，首先，需掌握等差中項概念及A=與a,A,b成等差數(shù)列的關系，另外，還應注意等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的靈活應用. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P117習題3.2，8,9 （二）1.預習內(nèi)容：課本P117～P118 2.預習提綱： (1)等差數(shù)列的前n項和公式 (2)等差數(shù)列前n項和的簡單應用. ●板書設計 3.2.2 等差數(shù)列(二) 一、等差中項的概念 A=a,A,b成等差數(shù)列 二、若m+n=p+q，則am+an=ap+aq 三、例題講解復習回顧 例1 例2 課時小結