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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 4.2弧度制（備課資料） 大綱人教版必修 1.角α的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，當(dāng)終邊過點A（，）時，角α是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案：B 2.若－＜α＜β＜，則α－β的范圍是（ ） A.－π＜α－β＜0 B.－＜α－β＜0 C.－＜α－β＜π D.－π＜α－β＜ 答案：A 3.設(shè)集合M={α|α=，k∈Z}，N={α|－π＜α＜π}，則M∩N等于（ ） A.{－} B.{－} C.{－} D.{ } 答案 ：C 4.已知角α終邊上一點的坐標(biāo)是（2sin3，－2cos3)，當(dāng)α∈［0，2π)時，α=_________rad;當(dāng)α是任意角時，α＝_________rad. 答案：3－ 3－+2kπ(k∈Z) 5.在與210終邊相同的角中，絕對值最小的角的弧度數(shù)為_________. 答案：－ 6.鈍角α的終邊與它的5倍角的終邊關(guān)于y軸對稱，則α=_________. 答案： 7.已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且A－C=，求cos2A+cos2B+cos2C的值. 解：∵A、B、C成等差數(shù)列，∴A+C=2B 又A+B+C=π. ∴3B=π，∴B=，A+C= 又A－C=，∴A=，C= ∴cos2A+cos2B+cos2C =cos2+cos2+cos2 =0+=1. 8.自行車大鏈輪有48個齒，小鏈輪有20個齒，彼此由鏈條連接，當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過一周時，小鏈輪轉(zhuǎn)過的角度是多少度？多少弧度？ 分析：在相同時間內(nèi)，兩輪轉(zhuǎn)動的齒數(shù)相同，是解決問題的關(guān)鍵，因此，兩輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)之比與它們的齒數(shù)成反比，使問題得以解決. 解：由于大鏈輪與小鏈輪在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的齒數(shù)相同，所以兩輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)之比與它們的齒數(shù)成反比，于是大輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)：小轉(zhuǎn)輪過的圈數(shù)=20∶48 據(jù)此解得當(dāng)大輪轉(zhuǎn)1周時，小輪轉(zhuǎn)2.4周. 故小輪轉(zhuǎn)過的角度為3602.4=864 小輪轉(zhuǎn)過的弧度為864rad. 答：當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過一周時，小鏈輪轉(zhuǎn)過的角度是864，弧度是rad. ●備課資料 1.一鐘表的分針長10 cm，經(jīng)過35分鐘，分針的端點所轉(zhuǎn)過的長為__________cm.（ ） A.70 B. C. D. 答案：D 2.如果弓形的弧所對的圓心角為，弓形的弦長為4 cm，則弓形的面積是__________cm2.（ ） A. B. C. D. 答案：C 3.設(shè)集合M={α|α=kπ，k∈Z}，N={α|α=kπ+(－1)k，k∈Z}那么下列結(jié)論中正確的是（ ） A.M=N B.MN C.NM D.MN且NM 答案：C 4.已知扇形的圓心角為2 rad，扇形的周長為8 cm，則扇形的面積為_________cm2. 答案：4 5.已知扇形AOB的圓心角α=120，半徑r=3，求扇形的面積. 解：α=120=rad ∴S=r2α=32=3π(面積單位） 答：扇形的面積為3π面積單位. 6.已知扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的中心角為多大時，它有最大面積，最大面積是多少？ 解：設(shè)扇形的中心角為a rad，面積為S cm2. 據(jù)題意r+r+αr=20，∴r= ∴S=r2α= ()2α =α= ==25 當(dāng)且僅當(dāng)=α，即α=2時，Smax=25 答：當(dāng)扇形中心角為2rad時，扇形面積最大，扇形面積的最大值是25 cm2. 7.已知一扇形的周長為c(c＞0)，當(dāng)扇形的弧長為何值時，它有最大面積？并求出面積的最大值. 解：設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，面積為S ∵c=2R+l，∴R= (l＜c) 則S=Rl=l = (cl－l2) =－ (l2－cl) =－ (l－)2+ ∴當(dāng)l=時，Smax= 答：當(dāng)扇形的弧長為時，扇形有最大面積，扇形面積的最大值是. 8.有兩種正多邊形，其中一正多邊形的一內(nèi)角的度數(shù)與另一正多邊形的一內(nèi)角的弧度數(shù)之比為144∶π，求適合條件的正多邊形的邊數(shù). 解：設(shè)符合條件的正多邊形的邊數(shù)分別為m、n(m、n≥3，且m、n∈N) 則它們對應(yīng)的正多邊形的內(nèi)角分別為 和rad 據(jù)題意： =144∶π ∴144=π ∴4(1－)=5(1－) 4－=5－ =1+ =，= m=10(1－) m=10－ ∵m∈N，∴是自然數(shù)，n+8是80的約數(shù). ∵m≥3，∴≤7，∴n+8≥ 又n≥3，且n+8是80的約數(shù). ∴n+8可取16、20、40、80. 當(dāng)n+8=16時，n=8，m=5; 當(dāng)n+8=20時，n=12，m=6; 當(dāng)n+8=40時，n=32，m=8; 當(dāng)n+8=80時，n=72，m=9; 故所求的正多邊形有四組，分別是 正五邊形和正八邊形. 正六邊形和正十二邊形. 正八邊形和正三十二邊形. 正九邊形和正七十二邊形. 9.一個扇形OAB的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，求∠AOB和弦AB的長. 分析：欲求∠AOB，需要知道的長和半徑OA的長，用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式，結(jié)合已知條件，能比較容易地求得，之后在△AOB中求弦AB的長.作OM⊥AB交AB于M，則AM＝BM＝AB，在Rt△AMO中求AM. 解：設(shè)扇形的半徑為R cm.∠AOB=α rad. 據(jù)題意 解之得 過O作OM⊥AB交AB于M. 則AM=BM=AB. 在Rt△AMO中，AM=sin1，∴AB=2sin1 故∠AOB=2 rad.該AB的長為2sin1厘米. 10.有100個扇形，其半徑分別為r1、r2、…r100，且成等差數(shù)列，扇形所含圓心角α1、α2、…α100也成等差數(shù)列，公差分別為dr=2，dα=，又r1=1，α1=，求這100個扇形的面積S1、S2、…S100的和. 分析：要求100個扇形面積的和，需求出各個扇形的面積，要求各個扇形的面積，需求出rn、αn.據(jù)已知rn、αn可求，問題得解. 解：據(jù)題意：rn=r1+(n－1)dr=1+(n－1)2=2n－1 αn＝α1+(n－1)dα=+(n－1) = (n+9) ∴Sn=rn2αn= (2n－1)2（n+9) = (2n－1)2(n+9) = (4n3+32n2－35n+9) ∴S1+S2+S3+…+S100 = (413+3212－351+9)+ (423+3222－352+9)+…+ (41003+321002－35100+9) =［4(13+23+…+1003)+32(12+22+…+1002)－35(1+2+…+100)+9100］ =［410021012+32100101201－35+900］ =［100101(100101+201－）+900］ =563306.75π(面積單位） 答：這100個扇形面積的和為563306.75π面積單位.