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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 5.10解斜三角形應(yīng)用舉例（第一課時(shí)） 大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) （一）知識(shí)目標(biāo) 1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的專用名詞； 2.解斜三角形問(wèn)題的類型. （二）能力目標(biāo) 1.會(huì)在各種應(yīng)用問(wèn)題中,抽象或構(gòu)造出三角形,標(biāo)出已知量、未知量,確定解三角形的方法； 2.搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問(wèn)題的基本圖形和基本等量關(guān)系； 3.理解各種應(yīng)用問(wèn)題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4.通過(guò)解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力. （三）德育目標(biāo) 通過(guò)解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用，要求學(xué)生體會(huì)具體問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以及數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用. ●教學(xué)重點(diǎn) 1.實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化； 2.解斜三角形的方法. ●教學(xué)難點(diǎn) 實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化思路的確定. ●教學(xué)方法 啟發(fā)式 在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析題意，分清已知與所求，根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并啟發(fā)學(xué)生在解三角形時(shí)正確選用正、余弦定理. ●教具準(zhǔn)備 投影儀、三角板、幻燈片 第一張：例1、例2（記作5.10.1 A） ［例1］自動(dòng)卸貨汽車的車箱采用液壓結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿BC的長(zhǎng)度.已知車箱的最大仰角為60，油泵頂點(diǎn)B與車箱支點(diǎn)A之間的距離為1．95 m，AB與水平線之間的夾角為620′，AC長(zhǎng)為1．40 m，計(jì)算BC的長(zhǎng)（保留三個(gè)有效數(shù)字）. ［例2］某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45、距離A為10 n mile的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105的方向，以9 n mile／h的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile／h的速度前去營(yíng)救，試問(wèn)艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間. 第二張：例3、例4（記作5.10.1 B） ［例3］用同樣高度的兩個(gè)測(cè)角儀AB和CD同時(shí)望見(jiàn)氣球E在它們的正西方向的上空，分別測(cè)得氣球的仰角是α和β,已知B、D間的距離為a，測(cè)角儀的高度是b，求氣球的高度. ［例4］如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值. ●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］解三角形的知識(shí)在測(cè)量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，如果我們抽去每個(gè)應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實(shí)際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問(wèn)題的本質(zhì)，這就要提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及化實(shí)際問(wèn)題為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力. 下面，我們將舉例來(lái)說(shuō)明解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用. Ⅱ.講授新課 ［師］大家通過(guò)屏幕來(lái)看例1. （給出幻燈片5.10.1 A） ［例1］分析：求油泵頂桿BC的長(zhǎng)度也就是在△ABC內(nèi)，求邊長(zhǎng)BC的問(wèn)題，而根據(jù)已知條件，AC＝1．40 m，AB＝1．95 m，∠BAC＝60＋620′＝6620′.相當(dāng)于已知△ABC的兩邊和它們的夾角，所以求解BC可根據(jù)余弦定理. 解：由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA ＝1．952＋1．402－21．951．40cos6620′＝3．571 ∴BC≈1．89?。╩） 答：油泵頂桿BC約長(zhǎng)1．89 m. 評(píng)述：此題雖為解三角形問(wèn)題的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉(zhuǎn)換過(guò)程中應(yīng)注意“仰角”這一概念的意義，并排除題目中非數(shù)學(xué)因素的干擾，將數(shù)量關(guān)系從題目準(zhǔn)確地提煉出來(lái). ［師］下面我們繼續(xù)分析例2. ［例2］分析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時(shí)間為x h，則利用余弦定理建立方程來(lái)解決較好，因?yàn)槿鐖D中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用x表示，故可看成是一個(gè)已知兩邊夾角求第三邊問(wèn)題. 解：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時(shí)間為x h，則AB＝21x n mile，BC＝9x n mile，AC＝10 n mile，∠ACB＝∠1＋∠2＝45＋（180－105）＝120， 根據(jù)余弦定理，可得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120得（21x）2＝102＋（9x）2－2109xcos120， 即36x2－9x210＝0 解得x1＝，x2＝－（舍去） ∴AB＝21x＝14，BC＝9x＝6 再由余弦定理可得 cosBAC＝＝0．9286， ∴∠BAC＝2147′，45＋2147′＝6647′. 而艦艇方位角為6647′ 小時(shí)即40分鐘. 答：艦艇應(yīng)以6647′的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘. 評(píng)述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，其范圍是（0，360）. 在利用余弦定理建立方程求出x后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知三邊求角的問(wèn)題，故仍然利用余弦定理. ［師］從上述兩個(gè)例題，大家可以看出，實(shí)際問(wèn)題的解決關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為具體的解三角形問(wèn)題，從而與我們已知的知識(shí)方法產(chǎn)生聯(lián)系.在下面的例題分析中，我們繼續(xù)加以體會(huì). （給出幻燈片5.10.1 B）. ［例3］分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一個(gè)條件，需要再有一邊長(zhǎng)被確定，而△EAC中有較多已知條件，故可在△EAC中考慮EA邊長(zhǎng)的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180－α兩角與BD＝a一邊，故可以利用正弦定理求解EA. 解：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β， 根據(jù)正弦定理，得 AE＝ 在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝ ∴EF＝EG＋b＝＋b， 答：氣球的高度是＋b. 評(píng)述：此題也可以通過(guò)解兩個(gè)直角三角形來(lái)解決，思路如下：設(shè)EG＝x，在Rt△EGA中，利用cotα表示AG；在Rt△EGC中，利用cotβ表示CG，而CG－AG＝CA＝BD＝a，故可以求出EG，又GF＝CD＝b，故EF高度可求. ［例4］分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先需要建立一個(gè)面積函數(shù)，問(wèn)題是選誰(shuí)作為自變量，注意到動(dòng)點(diǎn)P在半圓上運(yùn)動(dòng)與∠POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入∠POB＝θ作為自變量建立函數(shù)關(guān)系.四邊形OPDC可以分成△OPC與等邊△PDC，S△OPC可用OPOCsinθ表示，而等邊△PDC的面積關(guān)鍵在于邊長(zhǎng)求解，而邊長(zhǎng)PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過(guò)三角函數(shù)知識(shí)解決. 解：設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得 PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ ∴y＝S△OPC＋S△PCD＝12sinθ＋（5－4cosθ） ＝2sin（θ－）＋ ∴當(dāng)θ－即θ＝時(shí)，ymax＝2＋. 評(píng)述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見(jiàn)正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)定理的重要性. 另外,在求三角函數(shù)最值時(shí),涉及到兩角和正弦公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應(yīng)要求學(xué)生予以重視. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P134 練習(xí)1，2. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) ［師］通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在了解解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用的同時(shí)，掌握由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，并提高解三角形問(wèn)題及實(shí)際應(yīng)用題的能力. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P135習(xí)題5.10 1，2. （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容 課本P133～P134. 2.預(yù)習(xí)提綱 （1）總結(jié)解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用； （2）解斜三角形的主要依據(jù)有哪些? ●板書(shū)設(shè)計(jì) 5.10.1 解斜三角形應(yīng)用舉例（一） 1.應(yīng)用題基本模式： 2.理解專業(yè)術(shù)語(yǔ) （1）仰角 （2）方位角 3.正、余弦定理作用 4.學(xué)生練習(xí)