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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 等差數(shù)列 第三課時 第三章 ●課 題 3.2.1 等差數(shù)列(一) ●教學(xué)目標 （一）教學(xué)知識點 1.等差數(shù)列的定義. 2.等差數(shù)列的通項公式. （二）能力訓(xùn)練要求 1.明確等差數(shù)列的定義 2.掌握等差數(shù)列的通項公式，會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題 （三）德育滲透目標 1.培養(yǎng)學(xué)生觀察能力. 2.進一步提高學(xué)生推理、歸納能力. 3.培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識. ●教學(xué)重點 1.等差數(shù)列的概念的理解與掌握. 2.等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)及應(yīng)用. ●教學(xué)難點 等差數(shù)列“等差”特點的理解、把握和應(yīng)用. ●教學(xué)方法 啟發(fā)式教學(xué) 啟發(fā)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)與認識等差數(shù)列的“等差”特點. ●教具準備 幻燈片一張 記作3.2.1 1，2，3，4，5，6； ① 10，8，6，4，2，…； ② 21，21，22，22，23，23，24，24，25 ③ 2，2，2，2，2，… ④ ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 ［師］上兩節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義及給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式.這兩個公式從不同的角度反映數(shù)列的特點，下面我們看這樣一些例子 （打出幻燈片3.2.1) Ⅱ.講授新課 ［師］首先，請同學(xué)們仔細觀察這些數(shù)列有什么共同的特點?是否可以寫出這些數(shù)列的通項公式？（引導(dǎo)學(xué)生積極思考，努力尋求各數(shù)列通項公式，并找出其共同特點） ［師］（提問）：大家是否已考慮成熟？ ［生］（回答）： 學(xué)生甲：數(shù)列①是一遞增數(shù)列，后一項總比前一項多1，其通項公式為：an=n(1≤n≤6). 學(xué)生乙：數(shù)列②是由一些偶數(shù)組成的數(shù)列，是一遞減數(shù)列，后一項總比前一項少2，其通項公式為：an=12－2n(n≥1). 學(xué)生丙：數(shù)列③是一遞增數(shù)列，后一項總比前一項多，其通項公式為：an=20n（1≤n≤9) 學(xué)生?。簲?shù)列④的通項公式為：an=2(n≥1)是一常數(shù)數(shù)列. ［師］綜合上述學(xué)生所說，它們的共同特點是什么呢？ ［生］它們的共同特點是：從第2項起，每一項與它的前一項的“差”都等于同一個常數(shù). ［師］也就是說，這些數(shù)列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點.具有這種特點的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)列. 1.定義 等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示. 如：上述4個數(shù)列都是等差數(shù)列，它們的公差依次是1，－2，，0. 2.等差數(shù)列的通項公式 ［師］等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關(guān)系而得.若一等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得： (n－1)個等式 若將這n－1個等式左右兩邊分別相加，則可得：an－a1=(n－1)d 即：an=a1+(n－1)d 當n=1時，等式兩邊均為a1,即上述等式均成立，則對于一切n∈N*時上述公式都成立，所以它可作為數(shù)列{an}的通項公式. 或者由定義可得：a2－a1=d即：a2=a1+d；a3－a2=d即：a3=a2+d=a1+2d；a4－a3=d即：a4=a3+d=a1+3d；……；an－an－1=d,即：an=an－1+d=a1+(n－1)d ［師］看來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項a1和公差d,便可求得其通項. 如數(shù)列①:an=1+(n－1)1=n(1≤n≤6), 數(shù)列②：an=10+(n－1)(－2)=12－2n(n≥1), 數(shù)列③：an=22+(n－1)=21 (n≥1), 數(shù)列④：an=2+(n－1)0=2(n≥1) 由通項公式可類推得：am=a1+(m－1)d，即：a1=am－(m－1)d，則： an=a1+(n－1)d=am－(m－1)d+(n－1)d=am+(n－m)d. 如：a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d 3.例題講解 ［例1］(1)求等差數(shù)列8，5，2…的第20項. 分析：由給出的三項先找到首項a1,求出公差d，寫出通項公式，然后求出所要項. 解：由題意可知：a1=8,d=5－8=2－5=－3 ∴該數(shù)列通項公式為：an=8+(n－1)(－3),即：an=11－3n(n≥1),當n=20時，則a20=11－320=－49. 答案：這個數(shù)列的第20項為－49. (2)－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13…的項?如果是，是第幾項? 分析：要想判斷－401是否為這數(shù)列的一項，關(guān)鍵要求出通項公式，看是否存在正整數(shù)n，可使得an=－401. 解：由題意可知：a1=－5,d=－9－(－5)=－4, ∴數(shù)列通項公式為：an=－5－4(n－1)=－4n－1. 令－401=－4n－1,解之得n=100. ∴－401是這個數(shù)列的第100項. ［例2］在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d. ①② 解：由題意可知， 這是一個以a1和d為未知數(shù)的二元一次方程組，解這個方程組，得a1=－2,d=3. 即這個等差數(shù)列的首項是－2，公差是3. ［例3］在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10,a15=25,求a25. 思路一：根據(jù)等差數(shù)列的已知兩項，可求出a1和d，然后可得出該數(shù)列的通項公式，便可求出a25. 解法一：設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則根據(jù)題意可得： 這是一個以a1和d為未知數(shù)的二元一次方程組，解這個方程組，得a1=4,d=. ∴這個數(shù)列的通項公式為：an=4+(n－1),即：an=. ∴a25=25+=40. 思路二：若注意到已知項為a5與a15,所求項為a25,則可直接利用關(guān)系式an=am+(n－m)d.這樣可簡化運算. 解法二：由題意可知：a15=a5+10d, 即25=10+10d, ∴10d=15. 又∵a25=a15+10d, ∴a25=25+15=40. 思路三：若注意到在等差數(shù)列{an}中，a5,a15,a25也成等差數(shù)列，則利用等差中項關(guān)系式，便可直接求出a25的值. 解法三：在等差數(shù)列{an}中，a5,a15,a25成等差數(shù)列 ∴2a15=a5+a25,即a25=2a15－a5, ∴a25=225－10=40. Ⅲ.課堂練習(xí) ［生］(書面練習(xí))課本P115練習(xí)1 ［師］(提問并結(jié)合學(xué)生所答進行講評) 1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，……的第4項與第10項. 分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項求得首項和公差，寫出該數(shù)列的通項公式，從而求出所求項. 解：根據(jù)題意可知：a1=3,d=7－3=4. ∴該數(shù)列的通項公式為：an=3+(n－1)4,即an=4n－1(n≥1,n∈N*) ∴a4=44－1=15,a10=410－1=39. 評述：關(guān)鍵是求出通項公式. （2）求等差數(shù)列10，8，6，……的第20項. 解：根據(jù)題意可知：a1=10,d=8－10=－2. ∴該數(shù)列的通項公式為：an=10+(n－1)(－2),即：an=－2n+12, ∴a20=－220+12=－28. 評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準確性. （3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得an等于這一數(shù). 解：根據(jù)題意可得：a1=2,d=9－2=7. ∴此數(shù)列通項公式為： an=2+(n－1)7=7n－5. 令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是這個數(shù)列的第15項. （4）－20是不是等差數(shù)列0，－3，－7，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 解：由題意可知：a1=0,d=－3 ∴此數(shù)列的通項公式為：an=－, 令－=－20,解得n= 因為－=－20沒有正整數(shù)解，所以－20不是這個數(shù)列的項. ［生］（板演練習(xí)）課本P117練習(xí)2 2.在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1與d;(2)已知a3=9,a9=3,求a12. 解：（1）由題意得： 解之得：. (2)解法一：由題意可得： 解之得 ∴該數(shù)列的通項公式為：an=11+(n－1)(－1)=12－n, ∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d, ∴d=－1 又∵a12=a9+3d, ∴a12=3+3(－1)=0. Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達式：an－an－1=d(n≥2).其次，要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n－1)d(n≥1)，并掌握其基本應(yīng)用.最后，還要注意一重要關(guān)系式：an=am+(n－m)d的理解與應(yīng)用. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P116習(xí)題3.2 1，2 （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P114例2～P115例4 2.預(yù)習(xí)提綱： （1）如何應(yīng)用等差數(shù)列的定義及通項公式解決一些相關(guān)問題? （2）等差數(shù)列有哪些性質(zhì)? ●板書設(shè)計 3.2.1 等差數(shù)列(一) 一、定義 an－an－1=d(n≥2) 二、通項公式 an=a1+(n－1)d =am+(n－m)d 公式推導(dǎo)過程 例1 例2 例3