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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 2.4反函數(shù)（備課資料） 大綱人教版必修 一、反函數(shù)的學(xué)習(xí) 因反函數(shù)是函數(shù)知識中重要的一部分內(nèi)容，我們?nèi)裟軓暮瘮?shù)的角度去理解反函數(shù)的概念，則一定能從中發(fā)現(xiàn)反函數(shù)的本質(zhì)，并能順利地應(yīng)用函數(shù)與其反函數(shù)間的關(guān)系去解決相關(guān)問題. 1.明確“函數(shù)與反函數(shù)”的關(guān)系 (1)一個函數(shù)具有反函數(shù)的充要條件是確定這個函數(shù)的映射是從定義域到值域上的一一映射. (2)對于任一函數(shù)f(x)不一定有反函數(shù)，如果有反函數(shù)，那么原函數(shù)f(x)與它的反函數(shù)是互為反函數(shù). (3)原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域. (4)一般的偶函數(shù)不存在反函數(shù)，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù). (5)原函數(shù)與其反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性是一致的. 2.深入學(xué)習(xí)對“反函數(shù)”的求法 [例]求下列函數(shù)的反函數(shù) (1)y＝ (2)y＝ （1）分析：由于a、B不定，故須分類討論： 當(dāng)a＝0，b≠0時，y＝－1，此時不存在反函數(shù) 當(dāng)a≠0，b＝0時，y＝1（x≠0），此時不存在反函數(shù). 當(dāng)a≠0，b≠0時，函數(shù)y＝的值域是y∈{y∈R｜y≠1} 由y＝解得：x＝ (a≠0，y≠1) ∴當(dāng)a≠0，b≠0時，函數(shù)y＝的反函數(shù)是： y＝（x≠1） 評述：熟練掌握求反函數(shù)的基本步驟是準確求出函數(shù)的反函數(shù)的必要條件. （2）分析：求分段函數(shù)的反函數(shù)時，先在各段求出相應(yīng)的反函數(shù)，再將其合并. 解：當(dāng)x≥0時，y＝x2＋2x＝（x＋1）2－1 ∴x＝－1＋ ∵x≥0 ∴y＝x2＋2x≥0 ∴當(dāng)x≥0時，此段函數(shù)的反函數(shù)是 y＝－1＋（x≥0） 當(dāng)x＜0時，y＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1 ∴x＝1－ ∵x＜0，∴y＝－x2＋2x＜0 ∴當(dāng)x＜0時，此段函數(shù)的反函數(shù)是 y＝1－（x＜0） 綜上所述：所給函數(shù)的反函數(shù)為 y＝ 評述：(1)在求分段函數(shù)的每一段相應(yīng)的反函數(shù)時,仍嚴格按照求反函數(shù)的基本步驟進行. （2）分段函數(shù)的反函數(shù)被求的過程，能讓我們體會到“先分后合”的思想在數(shù)學(xué)中的滲透作用. 3.靈活應(yīng)用“反函數(shù)”于解題中 ［例1］求函數(shù)y＝的值域 分析：此題除用前面介紹的“分離系數(shù)”法求得其值域外，也可通過求其反函數(shù)的定義域得到原函數(shù)的值域這一途徑. 解：由y＝ 得x≠－ ∴有：y（2x＋5）＝1－x ∴x＝ ∴反函數(shù)為y＝（x∈R且x≠－）； 因而此函數(shù)y＝的值域為y∈{y∈R｜y≠－} 評述：求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求其反函數(shù)的定義域，這種方法往往可以使問題有“出奇制勝”的效果，它的優(yōu)越性將隨著我們對知識的繼續(xù)深入學(xué)習(xí)體現(xiàn)得越發(fā)明顯. ［例2］已知函數(shù)f（x）＝求f－1[[f（x）]，f[f－1（x）]. 解：由y＝（x≠1）可得 y（x－1）＝2x＋1，∴x＝ ∴反函數(shù)f－1（x）＝（x≠2） ∴f－1[f（x）]＝f－1（）＝＝x f [f－1（x）]＝f（）＝＝x 評述：由上題我們發(fā)現(xiàn)，互為反函數(shù)的兩個函數(shù)f（x）與f－1（x）之間符號互逆性，即f－1[f（x）]＝x，f [f－1（x）]＝x 請讀者利用以上結(jié)論試探索：若函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)是y＝ｇ（x），且f（m）＝n（mn≠0）則ｇ（n）等于多少? ［例3］已知函數(shù)y＝f（x）在定義域（－∞，0]內(nèi)存在反函數(shù)，且f（x－1）＝x2－2x，求f－1（－）. 分析：此題一般思路是：先求出f（x），進而求出f－1（x），將－代入f－1（x）中求得f－1（－）. 解：∵f（x－1）＝x2－2x＝（x－1）2－1 ∴f（x）＝x2－1（x≤0） ∵當(dāng)x≤0時，f（x）＝x2－1≥－1 ∴函數(shù)f（x）的值域為[－1，＋∞) ∵f（x）＝x2－1（x≤0)得：x＝－（y＝f（x）） ∴得函數(shù)f（x）的反函數(shù)是：y＝－（x≥－1） ∴f－1（－）＝－ 評述：以上解題思路簡單但運算麻煩，若不仔細認真，將會導(dǎo)致結(jié)果錯誤. 如下解法將會體現(xiàn)一種技能技巧，使解題過程大大簡化： 解：∵f（x－1）＝x2－2x＝（x－1）2－1 ∴f（x）＝x2－1（x≤0） 當(dāng)x2－1＝－（x≤0)時 有：x＝－ ∴f－1（－）＝－ 評述：比較以上兩種解法，請讀者自行歸納總結(jié)它們解題過程繁簡差別的原因，并試用簡捷明快的思路解決以下問題： 問題：已知函數(shù)f（x）＝的反函數(shù)是f－1（x）＝，求常數(shù)a，b，c值是多少? 提示：選取由f－1（x）去求f（x）這一優(yōu)秀途徑解決此問題. 二、參考練習(xí)題 1.求下列函數(shù)的反函數(shù) (1)y＝1－ （x≥1） 答案：y＝x2－2x＋2（x∈（－∞，1]） (2)y＝｜x－1｜ （x≤1） 答案：y＝1－x （x∈[0，＋∞) (3)y＝x2－2x＋3 （x∈（1，＋∞）） 答案：y＝1－（x∈（2，＋∞）） (4)y＝x｜x｜＋2x 答案：y＝ (5)f（x）＝ 答案：f－1（x）＝ 2.解答題 (1)已知f（x）＝f－1（x）＝（x≠－m），求實數(shù)m？ 答案：m＝－2 提示：利用相同函數(shù)的定義域、值域完全相同這一性質(zhì)，巧妙地結(jié)合互為反函數(shù)的性質(zhì)去解. (2)已知f－1[f－1（x）]＝25x＋30，則一次函數(shù)的解析式是什么? 答案：f（x）＝－1或f（x）＝－x－ (3)已知f（x）＝10x－2－2，求f－1（8）的值 答案：f－1（8）＝3 (4)已知函數(shù)f（x）的圖象過點(0，1)，則f（4－x）的反函數(shù)的圖象一定過哪個點? 答案：(1，4) (5)已知函數(shù)f（x）＝，它的反函數(shù)是f－1（x）＝，求m的值? 答案：m＝2 (6)已知函數(shù)f（x）＝x2＋2x＋1（x≥－1）的圖象為C1，它的反函數(shù)圖象為C2，請畫出C1，C2并觀察它們之間的位置關(guān)系有何特點?若又有一個函數(shù)的圖象C3與C2關(guān)于y軸對稱，求這個函數(shù)的解析式? 參考答案：(圖略)，C1，C2關(guān)于直線y＝x對稱，所求函數(shù)的解析式為y＝（x≤0) 說明：本題旨在讓學(xué)生提前思考練習(xí)，為下節(jié)課“互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系”做準備. ●備課資料 “互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系”的應(yīng)用 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象間的關(guān)系是在反函數(shù)定義上進行的，而“將圖象的對稱轉(zhuǎn)化為圖象上任意一點的對稱”的這種方法在我們解決有關(guān)函數(shù)的問題中大大顯示了它的簡捷性與技巧性. ［例1］已知函數(shù)f（x）＝（x≥－)的圖象過點(1，2)，它的反函數(shù)圖象也過此點，求函數(shù)f（x）的解析式. 解法一：由y＝得x＝ ∴當(dāng)x≥－時，y≥0 ∴函數(shù)f（x）＝（x≥－）的反函數(shù)是f－1（x）＝（x≥0） 又∵點(1，2)既在函數(shù)f（x）上，也在函數(shù)f－1（x）上 ∴有 解得：a＝－3，b＝7 ∴函數(shù)f（x）＝（x≥－） 解法二：由互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間的關(guān)系以及點(1，2)關(guān)于直線y＝x的對點為(2，1)，可以得到函數(shù)f（x）的圖象還過點(2，1) ∴得到 解得：a＝－3 b＝7 ∴函數(shù)f（x）＝（x≥－） 評述：比較上述兩種不同解法的區(qū)別：我們發(fā)現(xiàn)解法一思路自然，但過程較繁，解法二思路敏捷避免了求反函數(shù)這一步，從而減少了運算量，但它的掌握需要我們特別熟悉互為反函數(shù)的兩個函數(shù)間的關(guān)系. ［例2］已知函數(shù)f（x）＝，函數(shù)y＝ｇ（x）的圖象與函數(shù)y＝f－1（x＋1）的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，求ｇ（5）的值. 分析：此題需要找到ｇ（x）才能求出ｇ（5）的值. 解：∵y＝f（x）＝ ∴x＝1＋又∵y≠2 ∴f－1（x）＝1＋（x≠0） ∴f－1（x＋1）＝1＋ 又∵y＝f－1（x＋1）＝1＋ ∴x＝1＋ ∴y≠1 ∴f－1（x＋1）的反函數(shù)ｇ（x）＝1＋（x≠1） ∴ｇ（5）＝1＋＝ 評述：（1）以上解法是一種通用方法，思路簡單自然，不失為一種能體現(xiàn)我們扎實的基本功和腳踏實地的學(xué)習(xí)精神的好方法，故應(yīng)引起足夠重視. （2）對于以上例2，也可以有如下巧解： ∵ｇ（x）是f－1（x＋1）的反函數(shù) ∴ｇ（5）其實等于f－1（x＋1）＝5時的x值， ∵f[f－1（x＋1）]＝f（5） ∴x＝f（5）－1＝－1＝ 顯然，這種解法給我們以一種恰到好處的感覺.