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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 3.1數(shù)列（第二課時(shí)） 大綱人教版必修 ●課 題 3.1.2 數(shù) 列(二) ●教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.數(shù)列的遞推公式. 2.數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式的關(guān)系. （二）能力訓(xùn)練要求 1.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同. 2.會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng). （三）德育滲透目標(biāo) 1.提高學(xué)生的推理能力. 2.培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí). ●教學(xué)重點(diǎn) 1.數(shù)列的遞推公式. 2.根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng). ●教學(xué)難點(diǎn) 理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系. ●教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)法 啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生挖掘關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)一些數(shù)列的遞推關(guān)系，而理解遞推公式，并能了解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系. ●教具準(zhǔn)備 幻燈片一張 記作3.1.2 內(nèi)容：（鋼管堆放示意圖） ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 ［師］上節(jié)課我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)了數(shù)列及有關(guān)概念，下面先來回顧一下上節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容. ［師］上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容? ［生］數(shù)列的定義、項(xiàng)的定義、數(shù)列的表示形式、數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列分類等等. Ⅱ.講授新課 ［師］我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)列的知識(shí)呢？那是因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)數(shù)列的問題，學(xué)習(xí)它，研究它，主要是想利用它來解決一些實(shí)際問題，讓其為我們的生活更好地服務(wù).也就是說，我們所學(xué)知識(shí)都來源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活.下面，我們繼續(xù)探討有關(guān)數(shù)列的問題. （打出幻燈片3.1.2） 首先，請(qǐng)同學(xué)們來看此圖，這是一幅鋼管堆放示意圖(幻燈片). ［師］大家認(rèn)真觀察圖片，看這樣堆放是否有什么規(guī)律？（引導(dǎo)學(xué)生觀察圖片，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型） 模型一： 自上而下： 第一層鋼管數(shù)為4，即14=1+3； 第二層鋼管數(shù)為5，即25=2+3； 第三層鋼管數(shù)為6，即36=3+3； 第四層鋼管數(shù)為7，即47=4+3； 第五層鋼管數(shù)為8，即58=5+3； 第六層鋼管數(shù)為9，即69=6+3； 第七層鋼管數(shù)為10，即:710=7+3 若用an表示自上而下每一層的鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)可構(gòu)成一數(shù)列，即4，5，6，7，8，9，10，則an=n+3(1≤n≤7，n∈N*) ［師］同學(xué)們運(yùn)用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來很多方便. ［師］同學(xué)們?cè)賮砜创藞D片，是否還有其他規(guī)律可循?(啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律2，建立模型二) 模型二：自上而下 第一層鋼管數(shù)為4； 第二層鋼管數(shù)為5=4+1； 第三層鋼管數(shù)為6=5+1； 第四層鋼管數(shù)為7=6+1； 第五層鋼管數(shù)為8=7+1； 第六層鋼管數(shù)為9=8+1； 第七層鋼管數(shù)為10=9+1. 即自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1. 若用an表示每一層的鋼管數(shù)，則a1=4； a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1； a4=7=6+1=a3+1;a5=8=7+1=a4+1; a6=9=8+1=a5+1;a7=10=9+1=a6+1; 即an=an－1+1(2≤n≤7,n∈N*) ［師］對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第1項(xiàng)，即可求出其他各項(xiàng).看來，這一關(guān)系也較為重要.這一關(guān)系，咱們把它稱為遞推關(guān)系，表示這一關(guān)系的式子，咱們把之稱為遞推公式. 1.定義 遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前n項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前n項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式. 說明：數(shù)列的遞推公式揭示了數(shù)列的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1（或前n項(xiàng)）的關(guān)系，也是給出數(shù)列的一種重要方法. 下面，我們結(jié)合例子來體會(huì)一下數(shù)列的遞推公式. 2.例題講解 ［例1］已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是1，以后的各項(xiàng)由公式an=1+給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng). 分析：題中已給出{an}的第1項(xiàng)即a1=1，遞推公式：an=1+ 解：據(jù)題意可知：a1=1,a2=1+=2,a3=1+=，a4=1+=,a5=. ［例2］已知數(shù)列{an}中，a1=1,a2=2,an=3an－1+an－2(n≥3)，試寫出數(shù)列的前4項(xiàng). 解：由已知得a1=1,a2=2，a3=3a2+a1=7，a4=3a3+a2=23 Ⅲ.課堂練習(xí) ［生］(板演練習(xí))課本P111練習(xí) 1，2，3 寫出下面數(shù)列{an}的前5項(xiàng). 1.a1=5,an=an－1+3(n≥2) 解法一：a1=5;a2=a1+3=8; a3=a2+3=11;a4=a3+3=14; a5=a4+3=17. 評(píng)析：由已知中的a1與遞推公式an=an－1+3(n≥2)，依次遞推出該數(shù)列的前5項(xiàng)，這是遞推公式的最基本的應(yīng)用. ［師］是否可利用該數(shù)列的遞推公式而求得其通項(xiàng)公式呢？ 請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察此遞推公式. 解法二：由an=an－1+3(n≥2),得an－an－1=3 則a2－a1=3,a3－a2=3,a4－a3=3,a5－a4=3,……,an－1－an－2=3,an－an－1=3 將上述n－1個(gè)式子左右兩邊分別相加，便可得an－a1=3(n－1)，即an=3n+2(n≥2) 又由a1=5滿足上式，∴an=3n+2(n≥1)為此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 2.a1=2,an=2an－1(n≥2) 解法一：由a1=2與an=2an－1(n≥2)， 得a1=2,a2=2a1=4,a3=2a2=8,a4=2a3=16,a5=2a4=32. 解法二：由an=2an－1(n≥2),得=2(n≥2),且a1=2 則=2,=2,=2,……=2,=2 若將上述n－1個(gè)式子左右兩邊分別相乘，便可得=2n－1 即an=2n(n≥2),又由a1=2滿足上式， ∴an=2n(n≥1)為此數(shù)列的通項(xiàng)公式. ∴a2=22=4,a3=23=8,a4=24=16,a5=25=32. 3.a1=1,an=an－1+(n≥2) 解：由a1=1,an=an－1+(n≥2), 得a1=1,a2=a1+=2, a3=a2+, a4=a3+, a5=a4+ Ⅳ.課時(shí)小結(jié) ［師］這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的另一種給出方法，即遞推公式及其用法，課后注意理解.另外，還要注意它與通項(xiàng)公式的區(qū)別在于： 1.通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系. 2.對(duì)于通項(xiàng)公式，只要將公式中的n依次取1，2，3…即可得到相應(yīng)的項(xiàng).而遞推公式則要已知首項(xiàng)(或前n項(xiàng))，才可依次求出其他的項(xiàng). Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P112習(xí)題3.1 3，4 （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P112～P114 2.預(yù)習(xí)提綱： (1)什么是等差數(shù)列? (2)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法? ●板書設(shè)計(jì) 3.1.2 數(shù)列（二） 1.定義 遞推公式 2.例題講解 例1 例2 課時(shí)小結(jié) 通項(xiàng)公式與遞推 公式的區(qū)別與聯(lián)系