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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 小結(jié)與復(fù)習(xí) 第十二課時(shí) 第二章 ●課 題 2.11.1 小結(jié)與復(fù)習(xí)（一） ●教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu). 2.函數(shù)有關(guān)概念. 3.二次函數(shù). 4.數(shù)形結(jié)合思想. 5.函數(shù)思想. （二）能力訓(xùn)練要求 1.了解本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu). 2.進(jìn)一步熟悉函數(shù)有關(guān)概念. 3.熟悉二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)及運(yùn)用. 4.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)思想. 5.加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力. （三）德育滲透目標(biāo) 1.認(rèn)識(shí)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化. 2.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). ●教學(xué)重點(diǎn) 突出本章重、難點(diǎn)內(nèi)容 ●教學(xué)難點(diǎn) 通過例題分析突出函數(shù)思想及數(shù)形結(jié)合思想 ●教學(xué)方法 自學(xué)輔導(dǎo)法 在給出本章的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)后，列出復(fù)習(xí)提綱，引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充相關(guān)內(nèi)容，同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本概念、基本方法及基本解題思想的熟悉程度，加深學(xué)生對(duì)于函數(shù)“形”的認(rèn)識(shí). ●教具準(zhǔn)備 幻燈片 第一張：本章的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖（記作2.11.1 A） 第二張：二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)（記作2.11.1 B） 第三張：本節(jié)例題（記作2.11.1 C） ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 ［師］前面一段，我們一起研究了函數(shù)的有關(guān)概念及問題，并掌握了一定的分析問題、解決問題的方法，這一節(jié)，我們開始對(duì)本章小結(jié)，使大家進(jìn)一步熟悉函數(shù)的有關(guān)概念、基本方法與基本的解題思想；并通典型例題分析進(jìn)一步提高大家的分析問題、解決問題的能力. Ⅱ.講授新課 ［師］首先，我們通過投影屏幕來看本章知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu). （給出幻燈片2.11.1 a） 一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 二、深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念 概念是數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)、概念性強(qiáng)是中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)理論的一個(gè)顯著特征，集合，函數(shù)三要素（對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域）；反函數(shù)；函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性（在以后三角函數(shù)中要學(xué)），最大（?。┲档仁呛瘮?shù)有關(guān)概念的重要內(nèi)容.本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容中數(shù)學(xué)概念較多，正確地理解數(shù)學(xué)概念在于準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)特征. 1.映射的定義，就明確如下幾點(diǎn) （1）映射f:AB說的是兩個(gè)集合A與B間的一種對(duì)應(yīng)，兩個(gè)集合是有序. （2）映射必須是“多對(duì)一”或“一對(duì)一”的對(duì)應(yīng)，即允許集合A中不同元素在集合B中有相同的象，但不要求B中的元素在A中都有原象，有原象也不要求惟一，象集可以是B的真子集. （3）映射所涉及兩個(gè)集合，可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其他類元素構(gòu)成的集合. 2.函數(shù)的概念 在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)概念，應(yīng)明確： （1）函數(shù)是一種特殊的映射，它要求是兩個(gè)集合必須是非空數(shù)集；函數(shù)y=f(x)是“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示，其中x是自變量，y是自變量x的函數(shù)，f是表示對(duì)應(yīng)法則，它可以是一個(gè)解析式，也可以是表格或圖象，也有的只能用文字語言敘述. （2）函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù). （3）確定函數(shù)定義域是函數(shù)這部分所涉及的重要問題之一，應(yīng)會(huì)求各種函數(shù)的定義域，若為實(shí)際問題還應(yīng)注意實(shí)際問題有意義. 3.函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)重要概念之一，應(yīng)明確： （1）它是一個(gè)區(qū)間概念，即函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)的區(qū)間而言的，談到函數(shù)的單調(diào)性必須指明區(qū)間，例如函數(shù)y=在（－∞,0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上也是減函數(shù)，但決不能講函數(shù)y=是減函數(shù). （2）用函數(shù)單調(diào)性定義來確定函數(shù)在某區(qū)間是增函數(shù)還是減函數(shù)的一般方法步驟是：取值作差化積定號(hào). （3）由函數(shù)單調(diào)性的定義知，當(dāng)自變量由小到大，函數(shù)值也由小到大，則為增函數(shù)，反之，為減函數(shù)；由函數(shù)圖象的走向十分直觀反映函數(shù)變化趨勢(shì)，當(dāng)函數(shù)的圖象（曲線）從左到右是逐漸上升的，它是增函數(shù)，反之為減函數(shù). 4.函數(shù)的奇偶性 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的另一重要性質(zhì)，應(yīng)明確： （1）函數(shù)按奇偶性可分為四類：它們是奇函數(shù)；偶函數(shù)；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；任何一個(gè)函數(shù)于其四者之中居且只居其一. （2）函數(shù)的奇偶性是對(duì)整個(gè)定義域而言的，奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是作為奇偶函數(shù)的必要條件. （3）奇函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，偶函數(shù)的圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱的，反之亦成立這是奇、偶函數(shù)的充要條件. （4）判斷奇偶函數(shù)的主要依據(jù)是應(yīng)用定義，但有時(shí)利用定義中f(－x)=－f(x),f(x)=f(－x)的變形式子：“f(x)f(－x)=0”來判斷. （5）偶函數(shù)的單調(diào)性在其對(duì)稱區(qū)間內(nèi)相反，而奇函數(shù)的增減在其對(duì)稱區(qū)間內(nèi)相同. 5.反函數(shù) 反函數(shù)是函數(shù)部分重要概念之一，應(yīng)明確： （1）對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)y=f(x)不一定有反函數(shù)，如果有反函數(shù)，那么原函數(shù)y=f(x)與它的反函數(shù)是互為反函數(shù). （2）原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域，在求反函數(shù)時(shí)，應(yīng)先確定原函數(shù)的值域. （3）求反函數(shù)的步驟是“一解”“二換”.所謂一解，即是首先由給出原函數(shù)的解析式y(tǒng)=f(x)，反解出用y表示x的式子x=f－1(y)；二換，即是將x=f-－1(y)中的x,y兩個(gè)字母互換，解到y(tǒng)= f-－1(x)即為所求的反函數(shù)（即先解后換）.當(dāng)然，在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(x)與x= f-－1(y)是表示同一圖象，y=f(x)與y= f-－1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱. （4）一般的偶函數(shù)不存在反函數(shù)，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù). （5）原函數(shù)與其反函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性是一致的. 三、二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)及運(yùn)用 二次函數(shù)雖然是初中內(nèi)容，但由于應(yīng)用廣泛性，且是解決許多數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，在高考中屬于重點(diǎn)考查的內(nèi)容.在高考試題中常有直接考查二次函數(shù)的題目，而且還有一定的難度.題型有選擇題、填空題，也有解答題，近幾年解答題常圍繞二次函數(shù)并結(jié)合二次方程、二次不等式（簡(jiǎn)稱：“三個(gè)二”）來設(shè)置，而且往往是壓軸題，因此，作為重點(diǎn)知識(shí)，有必要再次研究二次函數(shù)，以掌握并加深對(duì)這一部分知識(shí)理解，對(duì)于二次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)及二次函數(shù)的最值，在理解的基礎(chǔ)上，并加強(qiáng)記憶和運(yùn)用. 高考對(duì)二次函數(shù)的考查主要從以下幾方面： 1.二次函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)； 2.二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值； 3.二次函數(shù)解析式的幾種表示方法； 4.運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決某些數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題. （一）二次函數(shù)的解析式可總結(jié)有三種形式，它們是： （1）y=ax2+bx+c(a≠0)叫做標(biāo)準(zhǔn)式； （2）y=a(x+)2+,叫做頂點(diǎn)式； （3）y=a(x－x1)(x－x2),叫做二根式；（這里指的是：當(dāng)Δ＞0時(shí)，即拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x1,0)和(x2,0)時(shí)的解析式形式）. 注意：以上三種形式突出了解析式的特點(diǎn)，運(yùn)用時(shí)要有選擇性. （二）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)： (1)頂點(diǎn)是（－），對(duì)稱軸是x=－. (2)當(dāng)a＞0時(shí)圖象開口方向向上，分別在單調(diào)區(qū)間（－∞, －]上是減函數(shù)；在 [－,+∞)上是增函數(shù)，其最小值為ymin=. 當(dāng)a＜0時(shí)，圖象開口方向向下，分別在單調(diào)區(qū)間（－∞,－上是增函數(shù)；在[－, +∞)上是減函數(shù)，其最大值為ymax=. (3)拋物線與x軸的關(guān)系：（即ax2+bx+c=0(a≠0)的解）. ⅰ.當(dāng)Δ＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x1,0)、（x2,0）其中橫坐標(biāo)為x1、2 =; ⅱ.當(dāng)Δ=0時(shí)，拋物線與x軸交于一點(diǎn)，坐標(biāo)為（－,0); ⅲ.當(dāng)Δ＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn). （4）函數(shù)值的正負(fù)號(hào) 當(dāng)Δ＜0時(shí)，x∈R時(shí)，y與a同號(hào). 當(dāng)Δ=0時(shí)，x∈R且x≠－時(shí)，y與a同號(hào). 當(dāng)Δ＞0時(shí)，設(shè)x1＜x2,則（?。┊?dāng)x＜x1或x＞x2時(shí)，y與a同號(hào)； （ⅱ）當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，y與a異號(hào). 以上涉及的是二次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，特別是對(duì)函數(shù)值的符號(hào)，奇偶性，在指定區(qū)間上的最值等進(jìn)行了引伸，應(yīng)結(jié)合圖象理解和運(yùn)用. 四、把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法 本章函數(shù)中，重點(diǎn)討論的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，都是以定義、性質(zhì)、圖象作為主要的內(nèi)容，性質(zhì)和圖象相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的很多結(jié)論是在觀察圖象的基礎(chǔ)上，通過概括，歸納得出的，并借助于函數(shù)圖象所具有的直觀性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)形成記憶，在分析和解決與函數(shù)有關(guān)的問題中，也常常是函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，相互為用. 函數(shù)圖象可直觀、生動(dòng)地反映函數(shù)的某些性質(zhì)，因此在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)密切結(jié)合函數(shù)圖象的特征，對(duì)應(yīng)研究函數(shù)的性質(zhì). 五、認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí) 函數(shù)是用以描述客觀世界中量的存在關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系、解決各種問題. 縱觀近幾年的高考試題，考查函數(shù)的思想方法已放在一個(gè)突出的位置上，特別是近三年加大了應(yīng)用題的考查力度，選用的題目都要應(yīng)用函數(shù)的思想、知識(shí)、方法才能解答的，因此在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，一定要認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，一定要強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí). ［師］下面，我們通過例題分析來進(jìn)一步熟悉本章的基礎(chǔ)知識(shí)及基本方法. [例]已知函數(shù)f(x)= (－1≤x≤0),則f－1(0.5)= . 解法一：先求f－1(x)后令x=0.5 令y=,則x2=1－y2, x=,又－1≤x≤0 ∴x=－, ∴f－1(x)=－(0≤x≤1), ∴f－1(0.5)=－. 解法二：根據(jù)函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y=f－1(x)的關(guān)系，求f－1 (0.5)的值，就是求f(x)=0.5的x值，令0.5=. 解之得：x=－ 評(píng)述：方法二是由于對(duì)函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f－1 (x)之間關(guān)系有深刻理解，因此把求f－1 (a)的問題轉(zhuǎn)化為求f(x)=a的解的問題，在高觀點(diǎn)指導(dǎo)下進(jìn)行高層次的思維，解法自然也就簡(jiǎn)單多了. ［師］下面，我們進(jìn)行課堂練習(xí). Ⅲ.課堂練習(xí) 1.已知映射f:MN,使集合N中的元素y=x2與集合M中的元素x對(duì)應(yīng)，要使映射f:MN是一一映射，那么M，N可以是 A.M=R，N=R B.M=R,N={y|y≥0} C.M={x|x≥0},N=R D.M={x|x≥0},N={y|y≥0} 答案：D 2.求下列函數(shù)的定義域： （1）y=; (2)y=; (3)y=; (4)y= 解：（1）由4x+3≥0,解得x≥－ ∴所求函數(shù)定義域?yàn)椋簕x|x≥－} (2)由,得x≥－1 ∴所求函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≥－1} (3)由,解得 ∴－4≤x≤0且x≠－3 ∴所求函數(shù)定義域?yàn)椋篬－4，－3]∪（－3，0] （4）由6－5x－x2＞0,解得：－6＜x＜1 ∴所求函數(shù)定義域?yàn)椋海ǎ?，1） 3.設(shè)f(x)=,求證（1）f(－x)=f(x);(2)f()=－f(x). 證明：（1）∵f(－x)= ∴f(－x)=f(x) (2)證明：∵f()= = ∴f()=－f(x) Ⅳ.課時(shí)小結(jié) ［師］通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在了解本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步熟悉本章的基本概念、基本方法，逐步提高分析問題、解決問題的能力. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P106復(fù)習(xí)參考題二 9.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并說明在單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)： （1）f(x)=－x2+x－6; (2)f(x)=－; (3)f(x)=; (4)f(x)=－x3+1 解：（1）單調(diào)區(qū)間為（－∞, ,[，+∞）,f(x)在（－∞, 內(nèi)為增函數(shù)，f(x)在[，+∞]內(nèi)為減函數(shù). （2）單調(diào)區(qū)間是[0，+∞],f(x)=－在[0，+∞）是減函數(shù)； （3）單調(diào)區(qū)間為（－∞,0）,(0,+∞) f(x)=在（－∞,0）是減函數(shù)，f(x)=在（0，+∞)是減函數(shù). （4）單調(diào)區(qū)間為（－∞,+∞）,f(x)=－x3+1在（－∞,+∞）是減函數(shù). 10.討論函數(shù)y=ax3(a＞0)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論： 當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=ax3在(－∞,+∞)是增函數(shù). 證明：設(shè)x1,x2∈(－∞,+∞),且x1＜x2, f(x1)－f(x2)=a(x13－x23)=a(x1－x2)(x22+x1x2+x12) =a(x1－x2)[x22+x1x2+(+x12 =a(x1－x2)[(x2+)2+x12] ∵x1＜x2,∴x1－x2＜0 又a＞0,(x2+)2+x12＜0 ∴a(x1－x2)[(x2+)2+x12＜0 ∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2) 所以，函數(shù)f(x)=ax3(a＞0)在（－∞,+∞）是增函數(shù). 11.判斷下列函數(shù)的奇偶性： （1）f(x)= (2) f(x)= （3）f(x)= (4) f(x)= 證明：（1）∵f(－x)= ∴f(－x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù) （2）∵f(－x)= ∴f(－x)=－f(x),∴f(x)是奇函數(shù) （3）∵f(－x)= ∴f(－x)=f(x), ∴f(x)是偶函數(shù) （4）∵f(－x)=, ∴f(－x)=－f(x), ∴f(x)是奇函數(shù) （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：（1）二次函數(shù)性質(zhì)；（2）指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、性質(zhì)；（3）解答應(yīng)用題基本步驟. 2.預(yù)習(xí)提綱：（1）對(duì)稱語言的數(shù)學(xué)表述是什么？（2）函數(shù)的平移規(guī)律是什么？（3）函數(shù)圖象關(guān)于x軸、y軸、y=x、原點(diǎn)對(duì)稱后的函數(shù)解析式有何特點(diǎn)？ ●板書設(shè)計(jì) 2.11.1 小結(jié)與復(fù)習(xí)（一） 一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 二、本章重、難點(diǎn)歸納 三、函數(shù)有關(guān)概念 四、二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí) 五、數(shù)形結(jié)合思想 六、認(rèn)清函數(shù)實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)