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2019-2020年高一數(shù)學(xué)圓的一般方程 新課標(biāo) 人教版2 學(xué)習(xí)目標(biāo) 主要概念： 圓的一般方程――()。 軌跡方程-----是指點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式。 教材分析 　　一、重點(diǎn)難點(diǎn) 本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是掌握?qǐng)A的一般方程，以及用待定系數(shù)法求圓的一般方程，難點(diǎn)是二元二次方程與圓的一般方程的關(guān)系及求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 　　二、教材解讀 　　本節(jié)教材的理論知識(shí)有問(wèn)題提出、探索研究、思考交流三個(gè)板塊組成。編寫(xiě)形式上采用了特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知方式。 第一板塊 問(wèn)題提出 解讀 方程表示什么圖形？方程表示什么圖形？ 對(duì)給出的方程通過(guò)配方，化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，第一個(gè)方程為，它表示以(1，-2)為圓心，2為半徑的圓；第二個(gè)方程為，由于不存在點(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，所以它不表示任何圖形。 第二板塊 探索研究 解讀 方程在什么條件下表示圓？ 配方得。(1)當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，為半徑的圓； (2)當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn) ； (3) 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖 形。 關(guān)于的二元二次方程 成為圓方程的充要條件是(1)和的系數(shù)相同且不等于0，即A=C0；(2)沒(méi)有這樣的二次項(xiàng)，即B=0；(3) 。 　　　對(duì)于圓的一般方程，要熟練地通過(guò)配方法，求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑。 　　　根據(jù)已知條件求圓的方程，仍然采用待定系數(shù)法，但要注意的是待定的方程是設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是設(shè)一般方程，這要根據(jù)已知條件而定。 第三板塊 思考交流 解讀 1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？ 2、課本P.129例4解完后，問(wèn)：與例2的方法比較，你有什么體會(huì)？ 1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征明顯；圓的一般方程表明圓的方程是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯。圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以相互轉(zhuǎn)化。 2、讓學(xué)生通過(guò)對(duì)同一個(gè)類似問(wèn)題的兩種解法的比較，一方面加深對(duì)解題方法的理解；另一方面促使學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的良好習(xí)慣． 拓展閱讀 O P x y 設(shè)圓O的圓心在原點(diǎn)，半徑是，圓O與軸的正半軸的交點(diǎn)是(如圖)。設(shè)點(diǎn)在圓O上從開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)P，。我們看到，點(diǎn)P的位置與旋轉(zhuǎn)角有密切的關(guān)系。當(dāng)確定時(shí)，點(diǎn)P在圓O上的位置也隨著確定；當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)P在圓O上的位置也隨著變化。如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是，根據(jù)三角函數(shù)的定義，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是的函數(shù)，即 ， ① 并且對(duì)于的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)P都在圓O上。 我們把方程組①叫做圓心為原點(diǎn)、半徑為的圓的參數(shù)方程，是參數(shù)。 圓心為、半徑為的圓可以看成由圓心為原點(diǎn)O、半徑為的圓按向量平移得到的。 容易求得此圓的參數(shù)方程為 ，(為參數(shù)) ② 相對(duì)于圓的參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，前面學(xué)過(guò)的直接給出圓上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做圓的普通方程。 在圓的有些問(wèn)題中，借助于圓的參數(shù)方程，能夠使問(wèn)題變得容易解決。例如：已知實(shí)數(shù)滿足等式，求的最值。 解：設(shè)，則 = ，∴，∴ ∴的最大值為，最小值為。 網(wǎng)站點(diǎn)擊 典型例題解析 例1：已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個(gè)圓，求k的取值范圍。 點(diǎn)撥由二元二次方程成為圓方程的條件，得到關(guān)于k的不等式。 解答方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個(gè)圓， 　　∴，解得 　　∴當(dāng)時(shí)，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個(gè)圓。 總結(jié)在圓的一般方程中，系數(shù)D、E、F必須滿足。 變式題演練 若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的圖形表示一個(gè)圓，則m的值是＿＿＿。 　　　答案：－3 例2：求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）的圓的方程。 點(diǎn)撥利用圓的一般方程，尋找關(guān)于D、E、F的方程組。 解答設(shè)所求圓的方程為， 　　A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）三點(diǎn)在圓上，代入圓的方程并化簡(jiǎn)，得 　　，解得D＝－7，E＝－3，F(xiàn)＝2 　　∴所求圓的方程為。 總結(jié)待定系數(shù)法是求圓的方程最常見(jiàn)的方法，但是在求圓的方程時(shí)是設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是設(shè)一般方程，要由已知條件確定。一般地，如果由已知條件易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需要利用圓心坐標(biāo)或半徑列方程，常選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件與圓心坐標(biāo)、半徑無(wú)直接關(guān)系，常選用一般方程。 變式題演練 已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)，求ABC外接圓的方程。 答案：容易發(fā)現(xiàn)ABC 是以AC為斜邊的直角三角形，故ABC外接圓應(yīng)是以AC為直徑的圓，∴ABC外接圓的方程為=0，即。 例3：若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是__________。 點(diǎn)撥因?yàn)榈膸缀我饬x是表示原點(diǎn)到點(diǎn)P(x, y)的距離的平方，而點(diǎn)P(x, y)在圓上，故可利用幾何法先求出原點(diǎn)到圓上的點(diǎn)之間的最大距離，然后再求出的最大值。 解答由，得 　　∴點(diǎn)P(x, y)在以（－2,1）為圓心，半徑r=3的圓C上， 　　， 　　∴原點(diǎn)到圓上的點(diǎn)P(x, y)之間的最大距離為｜OC｜＋r＝＋3 　　∴的最大值為。 總結(jié)反思本題的求解過(guò)程可看出：不管點(diǎn)P與圓C的位置關(guān)系怎樣，點(diǎn)P到半徑為r的圓C上的點(diǎn)之間的最大距離恒為｜PC｜＋r。同理可得，點(diǎn)P到半徑為r的圓C上的點(diǎn)之間的最小距離恒為|｜PC｜－r|。 變式題演練 已知點(diǎn)和圓，一束光線從點(diǎn)經(jīng)過(guò)軸反射到圓周的最短路程是 （ ） A、 B、 C、 D、 答案：D 例4：已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O（0,0）、A（，0）（）距離的比為（）的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并判斷曲線的形狀。 點(diǎn)撥利用曲線上的任一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為，尋找動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)滿足的條件。 解答設(shè)M是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到點(diǎn)O、A的距離之比為， 　　∴，化簡(jiǎn)，得　 　　 　　且＞0，∴ 　　∴ 　　 　　∴所求曲線的方程是，它表示一個(gè)圓。 總結(jié)1、由本例可知，圓除了看作是平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡外，還可以看作是動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的比為常數(shù)（常數(shù)不為1）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。 　　2、“軌跡”與“軌跡方程”是不同的兩個(gè)概念，前者是圖形，要指出形狀、位置、大?。ǚ秶┑忍匦裕缓笳呤欠匠蹋ǖ仁剑?，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍。 3、在探求點(diǎn)的軌跡時(shí)，可先用信息技術(shù)工具探究軌跡的形狀，對(duì)問(wèn)題有一個(gè)直觀的了解，然后再?gòu)谋举|(zhì)上分析軌跡形成的原因，找出解決問(wèn)題的方法，制訂合理的解題策略。 變式題演練 　　　過(guò)圓外一點(diǎn)Q向圓O：作割線，交圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)M的軌跡。 　　　答案：設(shè)M（x，y），連OM，則OMAB，∴點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)Q為直徑的圓，∴弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程是=0，即（），∴弦AB中點(diǎn)M的軌跡是圓?。ǎ?。 知識(shí)結(jié)構(gòu) 知識(shí)點(diǎn)圖表 圓的一般方程二元二次方程成為圓方程的條件圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的特點(diǎn) 學(xué)法指導(dǎo) 1、用待定系數(shù)法求圓方程的大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； (2)根據(jù)條件列出關(guān)于或D、E、F的方程組；(3)解出或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。 2、“曲線”和“方程”是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律在“形”和“數(shù)”方面的反映。在解析幾何的問(wèn)題中，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是一種常見(jiàn)題型。求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法有： （1）直接法：應(yīng)用解析幾何中公式，根據(jù)已知條件直接列出動(dòng)點(diǎn)M的兩個(gè)坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，從而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（如例3）。 （2）代入法：已知點(diǎn)P在已知曲線上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M隨著點(diǎn)P的變化而變化，而點(diǎn)P的坐標(biāo)又可設(shè)法用動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)表示，那么為了要得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，只需把用M的坐標(biāo)所表示的P點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的曲線方程中，即可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程（如課本P.129例5）。 （3）定義法：先根據(jù)已知條件判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡所表示的曲線的類型，再利用已知曲線的方程求出所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。如變式題演練3，因M為圓O的弦AB的中點(diǎn)，故OMAB，因此點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)Q為直徑的圓。 （4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M的兩個(gè)坐標(biāo)之間的等量關(guān)系不易直接得到時(shí)，可先引進(jìn)一個(gè)中間變量（參數(shù)）分別表示動(dòng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，間接地把動(dòng)點(diǎn)M的兩個(gè)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，然后消去參數(shù)，求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。例如：過(guò)定點(diǎn)P引動(dòng)直線分別交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程。此題中的動(dòng)點(diǎn)M是隨著的變化而變化，而又過(guò)定點(diǎn)P，故的變化實(shí)質(zhì)是由斜率的變化而引起的，所以可引進(jìn)斜率作為參數(shù)，用表示出A、B的坐標(biāo)，由此用表示出M的坐標(biāo)，消去參數(shù)即可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。答案：。 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，要做到滿足曲線方程的兩個(gè)要求，防止遺留和多余。