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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.1.2《比較大小》教案 北師大版必修5 【教學(xué)目標(biāo)】 （1）【知識(shí)與技能目標(biāo)】 通過(guò)回憶初中內(nèi)容，結(jié)合數(shù)軸得了實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大??；掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序間的關(guān)系。 （2）【過(guò)程方法目標(biāo)】 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。 （3）【情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)目標(biāo)】 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的欲望，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧妙與數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)美、對(duì)稱(chēng)美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 【教學(xué)重點(diǎn)】比較大小的基本步驟及其應(yīng)用。 【教學(xué)難點(diǎn)】準(zhǔn)確理解實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則及一些代數(shù)式的恒等變形。 【教學(xué)過(guò)程】 1、【創(chuàng)設(shè)情景】 大家先看右圖，這兩個(gè)人誰(shuí)更漂亮？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你們的理由？ 左邊這個(gè)人再用動(dòng)畫(huà)展示一下，讓學(xué)生從動(dòng)畫(huà)中發(fā)現(xiàn)人的身材是否勻稱(chēng)，其中有一關(guān)鍵點(diǎn)是比例問(wèn)題。然后再給出問(wèn)題的理論依據(jù)。 【理論依據(jù)】一般的人，下半身長(zhǎng)與全身長(zhǎng)的比值在0.57~0.60之間，當(dāng)這個(gè)比值越接近黃金分割值0.618時(shí)人的身材就越好。 2、【探究發(fā)現(xiàn)】 【探究1】為什么芭蕾舞演員在表演時(shí)，腳尖立起來(lái)給人以美的享受？ 大家能不能結(jié)合上述理論依據(jù)猜想一下理由？ 問(wèn)：實(shí)際生活中，我們想追求這種美，有沒(méi)有什么簡(jiǎn)單有效果辦法？（穿高跟鞋） 問(wèn)：上述方法都是我們的猜想，能不能用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)證明？ 這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，要用數(shù)學(xué)知識(shí)證明，必須先建立數(shù)學(xué)模型，就以穿高跟鞋為例。 已知某人下半身長(zhǎng)為a(cm)，全身長(zhǎng)為b(cm)，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)人穿上m(cm)的高跟鞋后，下半身長(zhǎng)與全身長(zhǎng)的比值會(huì)增加嗎？ 分析：沒(méi)穿高跟鞋時(shí)的比值為，穿高跟鞋之后的比值為，只要比較與的大小關(guān)系。 這個(gè)問(wèn)題涉及到不等式知識(shí)，我們先來(lái)復(fù)習(xí)回顧不等式的的知識(shí)。 【不等式的性質(zhì)】：①若，則 ②若，，則 ③若，，則 ④若，，則（傳遞性） 注：不等式的傳遞性有很重要的作用，比如：比較， 的大小。我們可以找中間數(shù)0，其中， 【兩個(gè)實(shí)數(shù)如何比較大小】 比較大小常用它們的差與0的大小關(guān)系來(lái)確定 我們?cè)倩氐缴鲜鰡?wèn)題，解答如下： 解：∵ 所以，穿上高跟鞋后，下半身長(zhǎng)與全身長(zhǎng)的比值會(huì)變大；穿上適當(dāng)?shù)母吒梢允谷说南掳肷黹L(zhǎng)與全身長(zhǎng)的比值接近黃金分割值，從而使得人更漂亮了。這也是女士們?yōu)槭裁聪矚g穿高跟鞋的原因。 其實(shí)藝術(shù)史上早就有這樣的例子，古希臘維納斯女神塑像及太陽(yáng)神阿波羅塑像都通過(guò)故意延長(zhǎng)雙腿，使之與身高的比值為0.618，從而創(chuàng)造藝術(shù)美之神話(huà)。 【歸納小結(jié)】 1、比較大小的基本步驟：作差→變形→判斷符號(hào)→下結(jié)論。 2、一般地，設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，則有 【探究2】日常生活中，還有哪些實(shí)例滿(mǎn)足上述不等式？ （1）建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶(hù)面積必須小于地板面積。但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶(hù)面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。試問(wèn)：同時(shí)增加相等的窗戶(hù)面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請(qǐng)說(shuō)明理由。 通過(guò)上述兩張圖讓學(xué)生從視覺(jué)上理解課本例7所要表達(dá)的效果。 （2）糖水中加糖，糖水變甜。 3、【例題講解】 【例1】試比較與的大小 解：由于 ∴ 【練習(xí)1】已知，試比較與的大小。 解： 【練習(xí)2】設(shè)，，則a與b的大小關(guān)系為（ ） A、 B、 C、 D、與x有關(guān) 解： 【歸納小結(jié)】“變形”是作差比較大小的關(guān)鍵， “變形”的目的在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差的值是多少。 “變形”的常用方法有通分、因式分解、配方等。 4、【知識(shí)應(yīng)用】 【例】甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)沿同一路線(xiàn)走到B地，所用時(shí)間分別為t1、t2，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，且m≠n。試判斷甲、乙誰(shuí)先到達(dá)B地。 解：設(shè)甲、乙所用的時(shí)間分別為t1、t2，從A地到B地的路程為S，則 甲： 乙： 故甲比乙先到B地 【練習(xí)】?jī)晌徊少?gòu)員同去一家糧食銷(xiāo)售公司買(mǎi)了兩次糧食，兩次糧食的價(jià)格不同，兩位采購(gòu)員的購(gòu)糧方式也不同。其中，甲每次購(gòu)買(mǎi)1000kg，乙每次購(gòu)糧用去1000元錢(qián)，誰(shuí)的購(gòu)糧方式更合算？ 解：設(shè)前后兩次糧食的價(jià)格分別為x1、x2，甲、乙兩人購(gòu)糧的平均價(jià)格為y1、y2 故乙的購(gòu)糧方式更合算 5、【知識(shí)小結(jié)】 1、比較大小 （1）步 驟：作差→變形→判斷符號(hào)→下結(jié)論。 （2）關(guān)鍵點(diǎn)：變形是比較大小的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差的值是多少。常用方法有通分、因式分解、配方等。 2、一般地，設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，則有 3、應(yīng) 用：靈活地應(yīng)用比較大小的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。 6、【作業(yè)布置】 1、已知，試比較P，Q的大小。 2、已知，試比較與的大小。 3、對(duì)于同樣的距離，船在靜水中來(lái)回行駛一次所花的時(shí)間與在流水中來(lái)回行駛一次所花的時(shí)間是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由。（船在靜水中的速度與在流水中的速度一致）