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2019-2020年高中數(shù)學 2.1 平面直角坐標系中的基本公式 2.1.1 數(shù)軸上的基本公式教案 新人教B版必修2 教學分析　　　　　 這一小節(jié)，在教學上往往被忽視．但一維坐標幾何是二維、三維坐標幾何的基礎．教師一定要下些工夫，讓學生牢固掌握．首先復習數(shù)軸，建立數(shù)軸上的點與實數(shù)的一一對應關系．然后引入位移向量的概念，建立直線上的向量與實數(shù)的一一對應．以往在平面解析幾何中，不引入向量的概念，由有向線段代替．對有向線段，也沒有引入運算的概念，這樣數(shù)軸上的基本計算公式，證明起來比較麻煩．現(xiàn)在高中數(shù)學中已引入平面向量知識，如果在數(shù)軸上引入向量及其加減運算，學生會更好地理解坐標幾何基本公式的推導．也為今后進一步的學習坐標幾何打下堅實的基礎． 值得注意的是本節(jié)內容比較容易接受，可以指導學生自學完成，或指定一名具有表現(xiàn)力且成績優(yōu)秀的學生給同學們講解． 三維目標　　　　　 1．通過對數(shù)軸的復習，理解實數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系，提高學生的應用能力． 2．理解實數(shù)運算在數(shù)軸上的幾何意義．掌握用數(shù)軸上兩點的坐標計算兩點距離的公式，掌握數(shù)軸上向量加法的坐標運算，提高學生的運算能力，培養(yǎng)數(shù)形結合的思想． 重點難點　　　　　 教學重點：直線坐標系和數(shù)軸上兩點間的距離公式應用． 教學難點：理解向量的有關概念． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 設計1.在初中，我們學習了數(shù)軸上兩點間的距離公式，今天，我們從向量的角度來分析數(shù)軸上兩點間的距離公式，教師點出課題． 設計2.從本節(jié)開始，我們系統(tǒng)學習坐標系，并利用坐標系解決幾何問題，今天我們先學習第二章第一大節(jié)的第一小節(jié)，教師點出課題． 推進新課　　　　　 (2)閱讀教材，給出向量的有關概念． (3)相等的向量的坐標相等嗎？坐標相等的向量相等嗎？ (4)試討論＋. (5)對于數(shù)軸上的任意一個向量，怎樣用它的起點坐標和終點的坐標來計算它的坐標． (6)寫出數(shù)軸上兩點間的距離公式． 討論結果： (1)給出了原點、度量單位和正方向的直線叫做數(shù)軸，或者說在這條直線上建立了直線坐標系．點P與實數(shù)x的對應法則是： 在數(shù)軸上，點P與實數(shù)x的對應法則是：如果點P在原點朝正向的一側，則x為正數(shù)，且等于點P到原點的距離；如果點P在原點朝負向的一側，則x為負數(shù)，其絕對值等于點P到原點的距離．原點表示數(shù)0.依據(jù)這個法則我們就在實數(shù)集和數(shù)軸上的點之間建立了一一對應關系．即對于數(shù)軸上每一個點都有唯一確定的實數(shù)與之對應；反之，對于任何一個實數(shù)，數(shù)軸上也存在一個確定的點與之對應． 若點P與實數(shù)x對應，則稱點P的坐標為x，記作P(x)． (2)如下圖所示． 如果數(shù)軸上的任意一點A沿著軸的正向或負向移動到另一點B，則說點在軸上做了一次位移，點不動則說點做了零位移．位移是一個既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本書簡稱為向量． 從點A到點B的向量，記作，讀作向量AB.點A叫做向量的起點，點B叫做向量的終點，線段AB的長叫做向量的長度，記作||. 數(shù)軸上同向且等長的向量叫做相等的向量． 例如圖中的＝. 我們可用實數(shù)表示數(shù)軸上的一個向量．例如上圖中的向量，即從點A沿x軸的正向移動3個單位到達點B，可用正數(shù)3表示；反之，用－3表示B為起點A為終點的向量，3和－3分別叫做向量和的坐標或數(shù)量． 一般地，軸上向量的坐標是一個實數(shù)，實數(shù)的絕對值為線段AB的長度，如果起點指向終點的方向與軸同方向，則這個實數(shù)取正數(shù)；反之取負數(shù)．向量坐標的絕對值等于向量的長度． 起點和終點重合的向量是零向量，它沒有確定的方向，它的坐標為0. 向量的坐標，在本書中用AB表示． (3)例如在下圖中 AB＝4，BA＝－4，|AB|＝4，|BA|＝4. 顯然AB＝－BA或AB＋BA＝0. 容易推斷，相等的向量，它們的坐標相等；反之，如果數(shù)軸上兩個向量的坐標相等，則這兩個向量相等．如果把相等的所有向量看作一個整體，作為同一個向量，則實數(shù)與數(shù)軸上的向量之間是一一對應的． (4)在數(shù)軸上，如果點A做一次位移到點B，接著由點B再做一次位移到點C，則位移叫做位移與位移的和．記作＝＋. 由數(shù)軸上向量坐標的定義和有理數(shù)的運算法則，容易歸納出，對數(shù)軸上任意三點A、B、C，都具有關系：AC＝AB＋BC. (5)設是數(shù)軸上的任一個向量，例如下圖 O是原點，點A的坐標為x1，點B的坐標為x2，則OB＝OA＋AB，或AB＝OB－OA. 依軸上點的坐標的定義，OB＝x2，OA＝x1，所以AB＝x2－x1. (6)用d(A，B)表示A、B兩點的距離，根據(jù)這個公式可以得到，數(shù)軸上兩點A、B的距離公式是d(A，B)＝|x2－x1|. 思路1 例1已知點A(1)，B(3)，求AD＋DB和|AB|(D是數(shù)軸上的任一點)． 解：AD＋DB＝AB＝3－1＝2. |AB|＝|2|＝2. 變式訓練 A、B是數(shù)軸上兩點，已知B(－1)，且|AB|＝2，則點A的坐標是______． 答案：1或－3 思路2 例2設A、B、C、D是同一直線上四個不同點，求證ABCD＋BCAD＋CA－BD＝0. 證明：設A(a)，B(b)，C(c)，D(d)． ABCD＋BCAD＋CABD＝(b－a)(d－c)＋(c－b)(d－a)＋(a－c)(d－b) ＝bd－bc－ad＋ac＋cd－ac－bd＋ab＋ad－ab－cd＋bc ＝0. 則ABCD＋BCAD＋CABD＝0. 變式訓練 設線段AB的中點為M，點P為直線AB上任意一點． 求證：PA＋PB＝2PM. 證明：設A(a)，B(b)，P(x)，則M()，PA＋PB＝a－x＋b－x＝2(－x)＝2PM，即PA＋PB＝2PM. 1．關于位移向量說法正確的是(　　) A．數(shù)軸上任意一個點的坐標有正負和大小，它是一個位移向量 B．兩個相等的向量的起點可以不同 C．每一個實數(shù)都對應數(shù)軸上的唯一的一個位移向量 D.的大小是數(shù)軸上A、B兩點到原點距離之差的絕對值 答案：B 2．化簡－－等于(　　) A．2　　　　　B．零位移　　　　　C．－2　　　　　D．2 解析：－－＝(＋)－－＝－2. 答案：C 3．若A(x)，B(x2)(其中x∈R)，|AB|的最小值為(　　) A. B．0 C. D．－ 解析：|AB|＝|x2－x|＝|(x－)2－|≥0，當x＝0時取等號． 答案：B 4．數(shù)軸上到A(1)，B(2)兩點距離之和等于1的點的集合為(　　) A．{0,3} B．{0,1,2,3} C．{1,2} D．{x|1≤x≤2} 解析：畫出數(shù)軸可知，滿足條件的點在線段AB上． 答案：D 已知對x∈R總有|x－1|＋|x－2|≥m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 分析：對|x－1|和|x－2|賦予幾何意義，利用數(shù)形結合解決． 解：設A(1)，B(2)，P(x)，則|x－1|＋|x－2|＝|PA|＋|PB|. 如下圖所示： 則|PA|＋|PB|≥|AB|＝1，則m≤1，即實數(shù)m的取值范圍是[1，＋∞)． 本節(jié)課學習了： 1．直線坐標系及其兩點間距離公式； 2．直線坐標系中的向量及其坐標． 本節(jié)練習A　5題，練習B　3,4題. 本節(jié)教學設計首先通過對數(shù)軸的溫故知新，學習一維坐標系，溝通實數(shù)及其運算與數(shù)軸上的點及兩點間的相對位置之間的關系．創(chuàng)建直線坐標系中基本計算公式．按本節(jié)教學設計講解效果很好． 備選習題 1．下列說法中正確的是(　　) A．零向量有確定的方向 B．數(shù)軸上等長的向量叫做相等的向量 C．AB＝－BA D．|AB|＝BA 答案：C 2．已知1在數(shù)軸上的對應點是A，在數(shù)軸上把A向左平移4個單位長度得到點B，再向右平移3個單位長度，所得的點C對應的數(shù)是什么？向量和向量的坐標分別是什么？向量的坐標為多少？ 答案：C對應的數(shù)是0，向量和向量的坐標分別是－4、3，向量的坐標為－1. 3．數(shù)軸上A、B兩點的坐標為x1＝a＋b，x2＝a－b，分別求AB、BA、d(A，B)、d(B，A)． 解：AB＝x2－x1＝(a－b)－(a＋b)＝－2b.BA＝－AB＝2b. d(A，B)＝|x2－x1|＝|－2b|＝2|b|，d(B，A)＝d(A，B)＝2|b|.