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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.2 回歸分析(2)學(xué)案 新人教A版選修2-3 教學(xué)目標(biāo) （1）通過(guò)實(shí)例了解相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，感受相關(guān)性檢驗(yàn)的作用； （2）能對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，并解決簡(jiǎn)單的回歸分析問(wèn)題； （3）進(jìn)一步了解回歸的基本思想、方法及初步應(yīng)用． 教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)及其顯著性檢驗(yàn)的基本思想、操作步驟． 教學(xué)過(guò)程 一．問(wèn)題情境 1．情境：下面是一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，若求出相應(yīng)的線性回歸方程，求出的線性回歸方程可以用作預(yù)測(cè)和估計(jì)嗎？ 2．問(wèn)題：思考、討論：求得的線性回歸方程是否有實(shí)際意義． 二．學(xué)生活動(dòng) 對(duì)任意給定的樣本數(shù)據(jù)，由計(jì)算公式都可以求出相應(yīng)的線性回歸方程，但求得的線性回歸方程未必有實(shí)際意義．左圖中的散點(diǎn)明顯不在一條直線附近，不能進(jìn)行線性擬合，求得的線性回歸方程是沒(méi)有實(shí)際意義的；右圖中的散點(diǎn)基本上在一條直線附近，我們可以粗略地估計(jì)兩個(gè)變量間有線性相關(guān)關(guān)系，但它們線性相關(guān)的程度如何，如何較為精確地刻畫線性相關(guān)關(guān)系呢？ 這就是上節(jié)課提到的問(wèn)題①，即模型的合理性問(wèn)題．為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們需要對(duì)變量與的線性相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)（簡(jiǎn)稱相關(guān)性檢驗(yàn)）． 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式： 對(duì)于，隨機(jī)取到的對(duì)數(shù)據(jù)，樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為 ． 2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： （1）； （2）越接近與1，，的線性相關(guān)程度越強(qiáng)； （3）越接近與0，，的線性相關(guān)程度越弱． 可見(jiàn)，一條回歸直線有多大的預(yù)測(cè)功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)． 3．對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的步驟： 相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值與1接近到什么程度才表明利用線性回歸模型比較合理呢？這需要對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)．對(duì)此，在統(tǒng)計(jì)上有明確的檢驗(yàn)方法，基本步驟是： （1）提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：變量，不具有線性相關(guān)關(guān)系； （2）如果以的把握作出推斷，那么可以根據(jù)與（是樣本容量）在附錄（教材P111）中查出一個(gè)的臨界值（其中稱為檢驗(yàn)水平）； （3）計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)； （4）作出統(tǒng)計(jì)推斷：若，則否定，表明有的把握認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若，則沒(méi)有理由拒絕，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒(méi)有充分理由認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系． 說(shuō)明：1．對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般取檢驗(yàn)水平，即可靠程度為． 2．這里的指的是線性相關(guān)系數(shù)，的絕對(duì)值很小，只是說(shuō)明線性相關(guān)程度低，不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系． 3．這里的是對(duì)抽樣數(shù)據(jù)而言的．有時(shí)即使，兩者也不一定是線性相關(guān)的．故在統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理解釋． 4．對(duì)于上節(jié)課的例1,可按下面的過(guò)程進(jìn)行檢驗(yàn)： （1）作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：與不具有線性相關(guān)關(guān)系； （2）由檢驗(yàn)水平與在附錄中查得； （3）根據(jù)公式得相關(guān)系數(shù)； （4）因?yàn)?，即，所以有﹪的把握認(rèn)為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,線性回歸方程為是有意義的． 四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例1．下表是隨機(jī)抽取的對(duì)母女的身高數(shù)據(jù),試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討與之間的關(guān)系． 母親身高 女兒身高 解：所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可以看出，這些點(diǎn)在一條直線附近， 因?yàn)?，? ， ， ， 所以， 由檢驗(yàn)水平及，在附錄中查得，因?yàn)?所以可以認(rèn)為與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．線性回歸模型中的估計(jì)值分別為 ， 故對(duì)的線性回歸方程為． 例2．要分析學(xué)生高中入學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，在高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和高一年級(jí)期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦卤恚? 學(xué)生編號(hào) 入學(xué)成績(jī) 高一期末成績(jī) （1）計(jì)算入學(xué)成績(jī)與高一期末成績(jī)的相關(guān)系數(shù)； （2）如果與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程； （3）若某學(xué)生入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉?，試估?jì)他高一期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)． 解：(1)因?yàn)?，? ，， ． 因此求得相關(guān)系數(shù)為． 結(jié)果說(shuō)明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的； 小結(jié)解決這類問(wèn)題的解題步驟： （1）作出散點(diǎn)圖，直觀判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近； （2）求相關(guān)系數(shù)； （3）由檢驗(yàn)水平和的值在附錄中查出臨界值，判斷與是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系； （4）計(jì)算，，寫出線性回歸方程． 2．練習(xí)：練習(xí)第題． 五．回顧小結(jié)： 1．相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式與回歸系數(shù)計(jì)算公式的比較； 2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)； 3．探討相關(guān)關(guān)系的基本步驟． 六．課外作業(yè)：習(xí)題3.2第題．