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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.3.1幾何概型教案 新人教A版必修3 教材分析：和古典概型一樣，在特定情形下，我們可以用幾何概型來(lái)計(jì)算事件發(fā)生的概率．它也是一種等可能概型．教材首先通過(guò)實(shí)例對(duì)比概念給予描述，然后通過(guò)均勻隨機(jī)數(shù)隨機(jī)模擬的方法的介紹，給出了幾何概型的一種常用計(jì)算方法．與本課開(kāi)始介紹的P（A）的公式計(jì)算方法前后對(duì)應(yīng)，使幾何概型這一知識(shí)板塊更加系統(tǒng)和完整．這節(jié)內(nèi)容中的例題既通俗易懂，又具有代表性，有利于我們的教與學(xué)生的學(xué)．教學(xué)重點(diǎn)是幾何概型的計(jì)算方法，尤其是設(shè)計(jì)模型運(yùn)用隨機(jī)模擬方法估計(jì)未知量；教學(xué)難點(diǎn)是突出用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想，把求未知量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問(wèn)題． 教學(xué)目標(biāo)：1. 通過(guò)這節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解幾何概型，理解其基本計(jì)算方法并會(huì)運(yùn)用． 2. 通過(guò)對(duì)照前面學(xué)過(guò)的知識(shí)，讓學(xué)生自主思考，尋找?guī)缀胃判偷碾S機(jī)模擬計(jì)算方法，設(shè)計(jì)估計(jì)未知量的方案，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際操作能力． 3. 通過(guò)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性與規(guī)律性，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法，提高學(xué)生對(duì)自然界的認(rèn)知水平． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：是隨機(jī)模擬部分．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)需要一些實(shí)物模型作為教具，如教科書中的轉(zhuǎn)盤模型、例2中的隨機(jī)撒豆子的模型等．教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作，以使學(xué)生相信模擬結(jié)果的真實(shí)性，然后再通過(guò)計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，得到模擬的結(jié)果．隨機(jī)模擬的教學(xué)中要充分使用信息技術(shù)，讓學(xué)生親自動(dòng)手產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行模擬活動(dòng)． 教學(xué)過(guò)程： 一、問(wèn)題情境 如圖，有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤．甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向Ｂ區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝． 問(wèn)題：在下列兩種情況下分別求甲獲勝的概率． 二、建立模型 1. 提出問(wèn)題 首先引導(dǎo)學(xué)生分析幾何圖形和甲獲勝是否有關(guān)系，若有關(guān)系，和幾何體圖形的什么表面特征有關(guān)系？學(xué)生憑直覺(jué)，可能會(huì)指出甲獲勝的概率與扇形弧長(zhǎng)或面積有關(guān)．即：字母B所在扇形弧長(zhǎng)（或面積）與整個(gè)圓弧長(zhǎng)（或面積）的比．接著提出這樣的問(wèn)題：變換圖中B與N的順序，結(jié)果是否發(fā)生變化？（教師還可做出其他變換后的圖形，以示決定幾何概率的因素的確定性）． 題中甲獲勝的概率只與圖中幾何因素有關(guān)，我們就說(shuō)它是幾何概型． 注意：（1）這里“只”非常重要，如果沒(méi)有“只”字，那么就意味著幾何概型的概率可能還與其他因素有關(guān)，這是錯(cuò)誤的． （2）正確理解“幾何因素”，一般說(shuō)來(lái)指區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積）． 2. 引導(dǎo)學(xué)生討論歸納幾何概型定義，教師明晰———抽象概括 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型． 在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下： 3. 再次提出問(wèn)題，并組織學(xué)生討論 （1）情境中兩種情況下甲獲勝的概率分別是多少？ （2）在500ml的水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率． （3）某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10min的概率． 通過(guò)以上問(wèn)題的研討，進(jìn)一步明確幾何概型的意義及基本計(jì)算方法． 三、典型例題 1. 假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30～7：30之間把報(bào)紙送到你家，而你父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上7：00～8：00之間，問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙（稱為事件A）的概率是多少． 分析：我們有兩種方法計(jì)算事件的概率． （1）利用幾何概型的公式． （2）利用隨機(jī)模擬的方法． 解法1：如圖，方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示送報(bào)人送到報(bào)紙的時(shí)間，縱坐標(biāo)表示父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間．假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)落在方形內(nèi)任一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件．根據(jù)題意，只要點(diǎn)落到陰影部分，就表示父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙，即事件A發(fā)生，所以 解法2：設(shè)X，Y是0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)．X＋6.5表示送報(bào)人送到報(bào)紙的時(shí)間，Y＋7表示父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙．用計(jì)算機(jī)做多次試驗(yàn)，即可得到P（A）． 教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立解答，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生自主設(shè)計(jì)隨機(jī)模擬方法，并組織學(xué)生展示自己的解答過(guò)程，要求學(xué)生說(shuō)明解答的依據(jù)．教師總結(jié)，并明晰用計(jì)算機(jī)（或計(jì)算器）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的模擬試驗(yàn)．強(qiáng)調(diào)：這里采用隨機(jī)數(shù)模擬方法，是用頻率去估計(jì)概率，因此，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率． 2. 如圖，在正方形中隨機(jī)撒一大把豆子，計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比，并以此估計(jì)圓周率的值． 解：隨機(jī)撒一把豆子，每個(gè)豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比，即 假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則 由于落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)是可以數(shù)出來(lái)的，所以 這樣就得到了π的近似值． 另外，我們也可以用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬，步驟如下： （1）產(chǎn)生兩組0～1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND，b1＝RAND； （2）經(jīng)平移和伸縮變換，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2； （3）數(shù)出落在圓內(nèi)a2＋b2＜1的豆子數(shù)N1，計(jì)算（N代表落在正方形中的豆子數(shù)）． 可以發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，得到π的近似值的精度會(huì)越來(lái)越高． 本例啟發(fā)我們，利用幾何概型，并通過(guò)隨機(jī)模擬法可以近似計(jì)算不規(guī)則圖形的面積． ［練　習(xí)］ 1. 如圖30-4，如果你向靶子上射200鏢，你期望多少鏢落在黑色區(qū)域． 2. 利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算圖30-5中陰影部分（y＝1和y＝x2圍成的部分）的面積． 3. 畫一橢圓，讓學(xué)生設(shè)計(jì)方案，求此橢圓的面積． 作業(yè)：課本 3.3.1幾何概型 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo) 1. 了解幾何概型，理解其基本計(jì)算方法并會(huì)運(yùn)用． 2. 通過(guò)對(duì)照前面學(xué)過(guò)的知識(shí)，讓學(xué)生自主思考，尋找?guī)缀胃判偷碾S機(jī)模擬計(jì)算方法，設(shè)計(jì)估計(jì)未知量的方案，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際操作能力． 二、預(yù)習(xí)內(nèi)容 1. ，簡(jiǎn)稱為幾何概型． 2.在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下： 3. 討論： （1）情境中兩種情況下甲獲勝的概率分別是多少？ （ 2）在500ml的水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率． 三、提出疑惑 同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中 疑惑點(diǎn) 疑惑內(nèi)容 課內(nèi)探究學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解幾何概型，理解其基本計(jì)算方法并會(huì)運(yùn)用． 學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)：幾何概型的計(jì)算方法． 二、學(xué)習(xí)過(guò)程： 例1. 假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30～7：30之間把報(bào)紙送到你家，而你父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上7：00～8：00之間，問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙（稱為事件A）的概率是多少． 分析：我們有兩種方法計(jì)算事件的概率． （1）利用幾何概型的公式． （2）利用隨機(jī)模擬的方法． 解法1： 解法2： 例2. 如圖，在正方形中隨機(jī)撒一大把豆子，計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比，并以此估計(jì)圓周率的值． 解： 用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬，步驟如下： （1） （2） （3） 三、反思總結(jié) 1、數(shù)學(xué)知識(shí)： 2、數(shù)學(xué)思想方法： 四、當(dāng)堂檢測(cè) 一、選擇題 1. 取一根長(zhǎng)度為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng) 都不小于1 m的概率是. A. B. C. D.不確定 2. 已知地鐵列車每10 min一班，在車站停1 min.則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上 車的概率是 A. B. C. D. 3. 在1萬(wàn) km2的海域中有40 km2的大陸架貯藏著石油，假如在海域中任意 一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的概率是. A. B. C. D. 二、填空題 1. 如下圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為3 cm的正方形內(nèi)部畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2 cm的正方形， 向大正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落入小正方形內(nèi)的概率是________. 2. 如下圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為a、b（a＞b＞0）的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形，梯形上、下底分別為a與a，高為b，向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為_(kāi)_______. 三解答題 1在等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率. 答案一、選擇題 1. B 2. A 3. C 二、填空題 1. 2. 三、解答題 解：在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜） = 答：AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率為. 課后練習(xí)與提高 1．兩根相距6 m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于2 m的概率是________. 2. 如下圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60的終邊上，任作一條射線OA，則射線落在∠x(chóng)OT內(nèi)的概率是________. 3. 如下圖，在半徑為1的半圓內(nèi)，放置一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形ABCD，向半圓內(nèi)任投一點(diǎn)，該點(diǎn)落在正方形內(nèi)的概率為_(kāi)________. 4. 在1 L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10 mL，含有麥銹病種子的概率是多少？