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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.4.2 基本不等式 的應(yīng)用（一）優(yōu)秀教案 新人教A版必修5 備用習(xí)題 1.已知a、b是正實(shí)數(shù)，試比較an+bn與a n-1b+abn-1的大小. 解：an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1). ①當(dāng)a＞b＞0時(shí)，a-b＞0,a n-1-b n-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0; ②當(dāng)b＞a＞0時(shí)，a-b＜0,a n-1-bn-1＜0,得（a-b）(a n-1-b n-1)＞0; ③當(dāng)b=a＞0時(shí)，（a-b）(an-1-bn-1)=0; 所以當(dāng)a≠b時(shí)，an+bn＞a n-1b+ab n-1; 當(dāng)a=b時(shí),an+bn=a n-1b+ab n-1. 2.已知△ABC內(nèi)接于單位圓，且(1+tanA)(1+tanB)=2， （1）求證:內(nèi)角C為定值；（2）求△ABC面積的最大值.  （１）證明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tanB)=0.∵(tanA+tanB)≠0, ∴，即tan(A+B)=1.∴∠C=135. （2）解析：由題意,可得S△ABC= ACBCsinC= ACBC≤ ()2.當(dāng)AC=BC時(shí)，S△ABC有最大值，最大值為S△ABC= (AC)2. 再作輔助線如圖，連結(jié)OC、OA，OC交AB于D得AB⊥OC，所以AD=BD=,CD=1-, AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以S△ABC的最大值= (AC)2=. 3.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以x km/h的速度勻速開往400 km處的災(zāi)區(qū)，為安全起見，每?jī)奢v汽車的前后間距不得小于km，問這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)，最少要多少小時(shí)？ 解析：設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時(shí)間為t小時(shí)，由題意可知t相當(dāng)于：最后一輛車行駛了25個(gè) +400 km所用的時(shí)間，因此，. 當(dāng)且僅當(dāng),即x=80時(shí)取“=”. 答：這些汽車以80km/h的速度勻速行駛時(shí)，所需時(shí)間最少，最少時(shí)間是10小時(shí). 4.如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬2米的無蓋長(zhǎng)方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米，問a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最??？(A、B孔面積忽略不計(jì)) 分析：應(yīng)用題的最值問題，主要是選取適當(dāng)?shù)淖兞?，再依?jù)題設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型(即函數(shù)關(guān)系式)，由變量和常量之間的關(guān)系，選取基本不等式求最值. 解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，根據(jù)題意可知,其中k＞0且k是比例系數(shù).依題意要使y最小，只需求ab的最大值.由題設(shè)得4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0），即a＋2b＋ab＝30（a＞0，b＞0），∵a＋2b≥2,∴2＋ab≤30.當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)取“＝”，ab有最大值.∴當(dāng)a＝2b時(shí)有2ab＋ab＝30，即b2＋2b－1５＝0.解之，得b 1＝3，b2＝－５（舍去）.∴a＝2b＝６.故當(dāng)a＝６米，b＝3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少. 解法二：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，由題意可知4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0）， ∴a＋2b＋ab＝30（a＞0，b＞0）.∴（0＜a＜30).由題設(shè)，其中k＞0且k是比例系數(shù)，依題只需ab取最大值. ∴.當(dāng)且僅當(dāng)a＋2＝時(shí)取“＝”，即a＝６，b＝3時(shí)ab有最大值18.故當(dāng)a＝６米，b＝3米時(shí)經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少. 點(diǎn)評(píng)：均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，解題過程為(1)先構(gòu)造定值；(2)出現(xiàn)關(guān)系式；(3)驗(yàn)證“＝”成立. 5.如圖，在△ABC中，∠Ｃ＝９0，AC＝3，BＣ＝4，一條直線分△ABＣ的面積為相等的兩部分，且夾在AB與BC之間的線段最短，求此線段長(zhǎng). 分析：本題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x取變量表示夾在AB與BC之間的線段EF，同時(shí)考慮到題設(shè)中的等量關(guān)系，即S△BＥＦ＝S△ABＣ，因此，所選變量還應(yīng)便于求兩個(gè)三角形的面積，于是考慮設(shè)BE＝x，BＦ＝y(tǒng). 解：設(shè)BＥ＝x，BＦ＝y(tǒng)(0＜x＜4，0＜y＜５），則S△BＥＦ＝BＥBＦsinB＝xysinB. 又S△ABＣ＝BＣAＣ＝34＝６,依題意可知S△BＥＦ＝S△ABＣ.∴xysinB＝６＝3. ∵，xy＝10,又,∴在△BＥＦ中，由余弦定理得ＥＦ2＝BＥ2＋BＦ2－2BＥBＦcosB＝x 2＋y 2－2xy＝x2＋y2－1６≥2xy－1６＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)，等號(hào)成立.故此時(shí)線段EF的長(zhǎng)為2. 點(diǎn)評(píng)：本題從求線段的長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.而求函數(shù)最值是不等式的重要應(yīng)用，當(dāng)解析式比較復(fù)雜時(shí)，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，巧妙地尋求等量關(guān)系，合理變形，是我們常用的一慣手法.從而使我們注意到：數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.