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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 空間向量與立體幾何 板塊一 空間向量的基本定理與分解完整講義（學(xué)生版） 典例分析 【例1】 關(guān)于空間向量的四個命題中正確的是（ ） A．若，則、、三點共線 B．若，則、、、四點共面 C．為直角三角形的充要條件是 D．若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底 【例2】 在平行六面體中，下列四對向量：①與；②與；③與；④與．其中互為相反向量的有對，則（ ） A． B． C． D． 【例3】 已知正方體中，，若，則 ， ． 【例4】 空間四邊形中，，點在上，且，為的中點，則 _______．（用向量來表示．）． 【例5】 棱長為的正四面體中，的值等于 ． 【例6】 已知空間四邊形，點，分別為，的中點，且，，，用，，表示，則_______________． 【例7】 平行六面體中，為和的交點，設(shè)，化簡： ①；②；③；④． 【例8】 設(shè)是空間不共面的四點，且滿足，則（ ） A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．三種都有可能 【例9】 已知空間四邊形中，，，求證：． 【例10】 如圖，在空間四面體中，、、、分別為邊、、、的中點， 化簡下列各表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量： ⑴； ⑵； ⑶． 【例11】 已知和是非零向量，且==，求與的夾角． 【例12】 已知兩個非零向量不共線，如果，，，求證：共面； 【例13】 已知三點不共線，對空間中一點，滿足條件，試判斷：點與是否一定共面？ 【例14】 設(shè)四面體的對邊，的中點分別為，；，的中點分別為，；，的中點分別為，時，試證明三線段，，的中點重合． 【例15】 已知斜三棱柱，設(shè)，在面對角線和棱上分別取點和，使得，求證：與向量共面． 【例16】 如圖所示，在平行六面體中，是的中點，是的中點，是的中點，點在上，且，設(shè)，用基底表示以下向量： ⑴；⑵；⑶；⑷． 【例17】 已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量： ⑴； ⑵； ⑶． 【例18】 已知三棱錐，，，，，，、分別是棱、的中點，求：直線與所成角的余弦值． 【例19】 已知是邊長為的正三角形所在平面外一點，且，，分別是，的中點，求異面直線與所成角的余弦值． 【例20】 已知平行六面體，如圖，在面對角線，上分別取點，，使，，記，，， ⑴若，用基底表示向量、、、． ⑵求證：向量與向量，共面． 【例21】 已知三個非零向量不共面，，，，求證：這三個向量共面； 【例22】 設(shè)點為空間任意一點，點是空間不共線的三點，又點滿足等式：， 其中， 求證：四點共面的充要條件是． 【例23】 如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值． 【例24】 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點分別是對角線的中點．求證：平面． 【例25】 已知三點不共線，對空間中一點，滿足條件，試判斷：點與是否一定共面？ 【例26】 如圖，已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量． 【例27】 如圖，在四面體中，分別為邊的中點，為的重心． ⑴求證：． ⑵記，，，用基底表示向量、、． 【例28】 在的二面角的棱上，有兩點，線段、分別在二面角的兩個面內(nèi)，且都垂直于，已知，，． ⑴求的長度； ⑵求與平面所成的角．