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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.3不等式的證明（第二課時） 大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) (一）教學(xué)知識點 1.公式法證明不等式. 2.兩正數(shù)和為定值或積為定值求最值. (二）能力訓(xùn)練要求 1.掌握用公式法證明不等式. 2.理解并掌握用兩正數(shù)和為定值或積為定值求最值. (三）德育滲透目標(biāo) 利用公式法證明不等式，既培養(yǎng)了學(xué)生觀察應(yīng)變的邏輯思維能力，又培養(yǎng)了學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度，進(jìn)一步加強(qiáng)對學(xué)生辯證唯物主義觀念的教育. ●教學(xué)重點 公式法證明不等式. 1.a,b∈R,a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號. 2.a>0,b>0,,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號. (1）若ab為定值P,則當(dāng)a=b時，a+b有最小值2. (2)若a+b為定值S,則當(dāng)a=b時，ab有最大值S2. 3.利用求最大值最小值是解決最值問題常用的方法，在具體解題過程中應(yīng)注意三點：(1)兩數(shù)均為正數(shù)；(2)兩正數(shù)之和或之積為定值；(3)在兩正數(shù)的取值范圍內(nèi)，兩正數(shù)可以相等. ●教學(xué)難點 1.對一些條件不等式，條件的合理利用. 2.求最值時，找和為定值或積為定值，如何湊和或積為定值. ●教學(xué)方法 讀、議、練、講單元教學(xué)法 ●教具準(zhǔn)備 幻燈片兩張 第一張：記作6.3.2 A 公式法證明不等式 一、基本公式 (1)若a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號. (2)若a,b∈R,則,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號. ①若ab為定值P，則當(dāng)a=b時，a+b有最小值2. ②若a+b為定值S,則當(dāng)a=b時，ab有最大值S2. 二、基本公式的等價形式及推廣 (1）ab≤ (a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號. (2)ab≤()2(a>0,b>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號. (3)≥2(ab>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號. 第二張：記作6.3.2 B 基本公式及其推廣的應(yīng)用： ［例1］已知a>0,b>0,且a+b=1,求證： (1)≥4;(2)a2+b2≥; (3)≥8;(4)a3+b3≥; (5);(6) (1+)(1+)≥9; (7)(1-)(1-)≥9; (8)(a+)2+(b+)2≥; (9)(a+)2+(b+)2≥. ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 今天，我和同學(xué)們來共同探索“公式法”證明不等式.這節(jié)課并不難，而涉及的題目變形靈活，只要我們理解并掌握了“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)(均值不等式）”，這一重要定理，在此基礎(chǔ)上，靈活利用它的推廣及其變形(幾個重要的不等式），就能學(xué)會并把握好“公式法”證明不等式這一重要方法.相信同學(xué)們能獲得成功. (打出幻燈片6.3.2 A，引導(dǎo)學(xué)生閱讀基本公式及基本公式的變形及推廣） 我們要重點掌握下面的基本公式及變形： （1）若a,b∈R,a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號. （2）若a>0,b>0,,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號. ①若ab為定值P,則當(dāng)a=b時，a+b有最小值2. ②若a+b為定值S,則當(dāng)a=b時，ab有最大值S2. (3)a,b∈R,則ab≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號. (4)a>0,b>0,則ab≤()2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號. (通過閱讀幻燈片6.3.2 A，疏理出重點知識，引導(dǎo)同學(xué)們完成下面例1的證明過程） Ⅱ.講授新課 (打出幻燈片6.3.2 B，引導(dǎo)學(xué)生閱讀例1） ［例1］已知a>0,b>0,且a+b=1, 求證：(1）≥4; (2)a2+b2≥; (3)+≥8; (4)a3+b3≥; (5); (6)(1+)(1+)≥9; (7)(1-)(1-)≥9; (8)(a+)2+(b+)2≥; (9)(a+)2+(b+)2≥. ［師］解題時，正確、迅速地把握解題的“切入點”是很重要的，而“切入點”的選擇一方面要依靠對題設(shè)的分析，另一方面來自解題的“經(jīng)驗”，本題中由目標(biāo)不等式發(fā)現(xiàn)含有形如ab,a+b,a2+b2等式子，故由“經(jīng)驗”馬上聯(lián)想公式a2+b2≥2ab(a,b∈R)及 (a,b∈R+)，即可很快得證.在不等式證明中，兩個正數(shù)a,b的和為1(即a+b=1),作為條件出現(xiàn)在題設(shè)，這時用好這個“1”常常成為解題的關(guān)鍵. ［生］(1)∵a>0,b>0， . (2)∵a>0,b>0，且a+b=1 ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab ≥1-2()2=1-= 故a2+b2≥. (3)∵a>0,b>0，且a+b=1 ∴ 故≥8. (4)∵a>0,b>0，且a+b=1. ∴a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) =1-3ab≥1-3()2= 或a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab =1-3ab≥1-3()2= 故a3+b3≥. (3)∵a>0,b>0，且a+b=1 ∴()2=a+b+2=1+2≤1+(a+b)=2 故≤. (6)∵a>0,b>0，且a+b=1 ∴(1+)(1+)=1+++ =1++=1+ ≥1+=9 故(1+)(1+)≥9. (7)∵a>0,b>0，且a+b=1 ∴ 故(1-)(1-)≥9. (8)∵a>0,b>0，且a+b=1 ∴(a+)2+(b+)2=a2+b2+4++ ≥(a+b)2-2ab+4+ ≥ 故(a+)2+(b+)2≥. (9)∵a>0,b>0，且a+b=1 ∴(a+)2+(b+)2 =a2+b2+2(+)+ ≥ 故(a+)2+(b+)2≥. 注：以上各題中均當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號. ［師生共析］運(yùn)用“公式法”證明不等式的難點在于如何通過對所證命題進(jìn)行變形，使其反應(yīng)出某種形式的“和”與“積”之間的關(guān)系(不妨簡記為“和”不小于“積”）.那么，我們在解題時，就可以充分利用這一特征，來選擇公式及其等價形式求得證明. ［例2］(必要時此題可打在幻燈片上）小強(qiáng)家住在農(nóng)村，十月一日，國慶節(jié)放假回家，正趕上父親收割莊稼，由于今年大豐收糧食太多，自家的谷倉已全部裝滿，還剩下很多.這時爸爸想出了一個主意，決定用一個長方形木板，借助兩面墻，在西屋的墻角處圍了一個直三棱柱的谷倉，木板可立，可橫.小強(qiáng)心想，這么多的糧食，怎樣圍才能裝最多的糧食呢？經(jīng)過測量和運(yùn)算，小強(qiáng)得到了滿意的方案，向父親提供了建議.請你敘述小強(qiáng)的作法.如果換成任意的兩面墻，如何處理？ (引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，尋求數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)“切入點”，求得解答） ［師］顯然，圍成直三棱柱的底面為直角三角形，若兩直角邊分別為x和y,則x2+y2是長方形木板的長或?qū)?定值）的平方.這樣，本例的問題主要體現(xiàn)在均值不等式的應(yīng)用上. ［生］小強(qiáng)用直尺測出木板的長為a,寬為b，依題可知：a>b>0，且兩墻夾角(即二面角）為90. (1)a作底邊,設(shè)S底為底面直角三角形的面積,兩直角邊一個是x,一個是y,則有: S底=xy,V1=(xy)b,且x2+y2=a2 ∵x2+y2≥2xy ∴xy≤ ∴V1≤,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=a時取“=”號. (2)b作底邊，同(1)可得V2≤,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=b時取“=”號. 又a>b>0 ∴ab>0,a-b>0 ∴V1-V2=-=ab(a-b)>0 ∴V1>V2,即> 故把長方形木板的長邊放在底面，且圍成的直三棱柱的底面是等腰直角三角形時，容積最大. 若兩面夾角(即二面角)換成α?xí)r，解答如下： 設(shè)用矩形木板長a作直三棱柱的側(cè)棱，寬b作為底面的一條邊，底面三角形的另兩邊的長分別是x,y,體積為V1，則有： ∴xy=,x2+y2=b2+≥2xy ∴b2+≥ 整理得： V1≤ab2cot,當(dāng)x=y時取“=”號. 設(shè)矩形木板的寬b作側(cè)棱，則 當(dāng)x=y時，V2=a2bcot. ∵a>b>0,∴ab>0,a-b>0 ∴a2b>ab2 即V2>V1 故把矩形木板的長邊放在底面，且圍成的直三棱柱的底面是等腰三角形(頂角為α)時，容積最大，且最大值Vmax=a2bcot. ［師生共析］均值不等式在實際問題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，解題過程為：(1）建模(即函數(shù)關(guān)系式），(2）構(gòu)造定值(構(gòu)造“積”或“和”為定值），(3）驗證“=”號成立. Ⅲ.課堂練習(xí) 1.已知a>0,b>0,a+b≤4,求證：≥1. 分析：公式：若a>0,b>0,則 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）的應(yīng)用. 證明：∵a>0,b>0,a+b≤4 ∴2≤a+b≤4 ∴≤2,即 故≥2≥2=1 即≥1. 2.已知a,b,c為不等的正數(shù)，且abc=1, 求證：. 分析：根據(jù)已知條件，對abc=1作適當(dāng)變形，即,然后利用公式 (a>0,b>0)得證： 證明：∵a,b,c是不等的正數(shù)，且abc=1 3.求證：>2. 分析：考慮分子、分母的關(guān)系可知：x2+5=(x2+4)+1,所以用基本公式 (a>0,b>0)即可得證. 證明：∵x∈R ∴x2≥0 ∴x2+5>0,x2+4>0 ∵時有x2+3=0，這不可能，∴上述均值不等式中等號不成立. 故>2. 4.設(shè)a>b>c,求證：. 分析：我們通常在不等式兩邊均為正值時，才能考慮公式ab≤()2的應(yīng)用. 證明：∵a>b>c ∴a-b>0,b-c>0,a-c>0 Ⅳ.課時小結(jié) 本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了用“公式法(均值不等式）”證明不等式，其核心是靈活變形.關(guān)鍵在于認(rèn)清公式(均值不等式）的結(jié)構(gòu)特點和取“=”條件，要在證明不等式的具體問題中尋求運(yùn)用公式(均值不等式）的適當(dāng)形式和具體方式，自覺提高解決遇到不同題型的應(yīng)變能力. Ⅴ.課后作業(yè) (一）練習(xí) 1.已知：lg(x2+1)+lg(y2+4)=lg8+lgx+lgy,求x,y的值. 分析：應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算法則將原方程轉(zhuǎn)化為： lg+lg=0. 解：∵x2+1≥2x>0(依題知x>0,y>0) ∴≥1 即lg≥0 同理可知：lg≥0 對于兩非負(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它們都為零時，其和才為零，即lg=0,lg =0.所以,x2+1=2x,y2+4=4y. 故x=1,y=2. 2.已知a>0,b>0,求證：a+b+. 分析：本題采用公式法.題中含有形如：a+b,ab等式子，多次運(yùn)用公式［,(a>0,b>0)］即可得證.直接使用公式時，要從式子的形式和條件兩個方面進(jìn)行觀察. 證明：∵a>0,b>0 ∴a+b>0,ab>0. ∴a+b+ ≥2 故a+b+. (二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P14“綜合法”證明不等式. 2.預(yù)習(xí)提綱： (1）什么是綜合法？它的基本思想是什么？ (2）它適合證明哪類不等式？ ●板書設(shè)計 6.3.2 不等式的證明(二) 一、基本公式 例題 若a>0,b>0,則 課堂練習(xí) 二、基本公式的變形 課時小結(jié) 若a>0,b>0,則ab≤()2. 課后作業(yè)