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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 7.1直線的傾斜角和斜率（備課資料） 大綱人教版必修 一、解析幾何學(xué)的產(chǎn)生背景及其研究的基本問題 在十七世紀(jì)，從封建社會(huì)內(nèi)部產(chǎn)生出來的資本主義生產(chǎn)關(guān)系，處于它的上升時(shí)期，曾促進(jìn)了社會(huì)生產(chǎn)力的迅速發(fā)展，遠(yuǎn)洋航行、礦山開采、機(jī)械制造以及資本的對(duì)外擴(kuò)張，向自然科學(xué)提出了大量的問題，例如天體運(yùn)行、鐘表擺動(dòng)、炮彈彈道、透鏡形狀等，所有這些，都已超出歐幾里得幾何學(xué)的范圍.法國數(shù)學(xué)家笛卡爾由于親自參加社會(huì)實(shí)踐，重視對(duì)機(jī)械曲線的探討，終于突破了用綜合法研究靜止圖形的局限性，在他所著的《方法論》一書的附錄《幾何學(xué)》中引進(jìn)了變數(shù)，開始用解析方法來研究變化的圖形的性質(zhì). 他的基本思想是借助坐標(biāo)法，把反映同一運(yùn)動(dòng)規(guī)律的空間圖形(點(diǎn)、線、面)同數(shù)量關(guān)系(坐標(biāo)和它們所滿足的方程)統(tǒng)一起來，從而把幾何問題歸結(jié)為代數(shù)問題來處理，運(yùn)用這種坐標(biāo)法，可以研究比直線和圓復(fù)雜得多的曲線，而且使曲線第一次被看成動(dòng)點(diǎn)的軌跡.從此，由曲線或曲面求它的方程，以及由方程的討論研究它所表示的曲線或曲面的性質(zhì)，就成了解析幾何學(xué)的兩大基本問題. 為紀(jì)念笛卡爾為數(shù)學(xué)發(fā)展所作的貢獻(xiàn)，我們也把直角坐標(biāo)系稱為笛卡爾坐標(biāo)系，把直角坐標(biāo)系所表示的平面稱為笛卡爾平面.在中學(xué)，我們只學(xué)習(xí)平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí). 二、傾斜角與斜率概念剖析 首先，對(duì)于傾斜角要注意以下三點(diǎn)： (1)由于我們已將角的概念作了推廣，所以要使坐標(biāo)平面內(nèi)每一直線有惟一的傾斜角，就只能以“取最小正角”作為對(duì)應(yīng)法則. (2)上述定義是對(duì)于與x軸相交的直線作出的.凡與x軸平行的直線，都不具有向上的方向，所以應(yīng)補(bǔ)充規(guī)定它們的傾斜角為0.這時(shí)才可以說，坐標(biāo)平面內(nèi)每一直線有惟一的傾斜角. (3)當(dāng)直線與x軸相交時(shí)，它的傾斜角的終邊作為射線，它是朝著向上的方向的，所以傾斜角的范圍是0＜α＜π.于是，對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)所有的直線來說，傾斜角的范圍是0≤α＜π. 其次，對(duì)于斜率這一概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： (1)顧名思義，“斜率”就是“傾斜的程度”.過去，我們在學(xué)習(xí)直角三角形時(shí)就已知道，斜坡坡面的鉛直高度ｈ與水平寬度l的比值i叫坡度；如果把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，那么i＝＝tanα；坡度越大α角越大坡面越陡，所以i＝tanα可以反映坡面傾斜的程度.現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)的斜率k，等于所對(duì)應(yīng)的直線(有無數(shù)條，它們彼此平行)的傾斜角(只有一個(gè))α的正切，可以反映這樣的直線對(duì)于x軸傾斜的程度.實(shí)際上，“斜率”的概念與工程問題中的“坡度”是一致的. (2)解析幾何中，要通過點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程來研究直線，斜率可以直接通過坐標(biāo)計(jì)算求得，使方程形式上較為簡單.如果只用傾斜角一個(gè)概念，那么它實(shí)際上相當(dāng)于反正切arctank，難于直接通過坐標(biāo)計(jì)算求得，并使方程形式變得復(fù)雜. (3)坐標(biāo)平面內(nèi)，每一條直線都有惟一的傾斜角，但不是每一條直線都有斜率.傾斜角是90的直線(即x軸的垂線)沒有斜率.在今后的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常要對(duì)直線是否有斜率分情況進(jìn)行討論. 三、概念辨析題 判斷下列命題的正確性： (1)任一條直線都有傾斜角，也都有斜率； (2)平行于x軸的直線傾斜角是0或π； (3)直線的斜率的范圍是(－∞，＋∞）； (4)過原點(diǎn)的直線，斜率越大越靠近y軸； (5)兩直線的斜率相等，則它們的傾斜角相等； (6)兩條直線的傾斜角相等，則它們的斜率相等. 解析：命題(1)錯(cuò)誤，如直線x＝1，傾斜角為，但是斜率不存在. 命題(2)錯(cuò)誤，由傾斜角的范圍0≤α＜1８0，可知平行于x軸的直線傾斜角為0； 命題(3)正確.可結(jié)合正切函數(shù)在［0，π）的圖象說明； 命題(4)錯(cuò)誤，當(dāng)傾斜角在［0，）范圍內(nèi)，斜率越大越靠近y軸，當(dāng)傾斜角在(，π）范圍內(nèi)，斜率越大越靠近x軸非正半軸. 命題(5)正確，由正切函數(shù)在［0，π）范圍內(nèi)的單調(diào)性可知. 命題(6)錯(cuò)誤.當(dāng)兩直線傾斜角為時(shí)，斜率不存在，也就不能說斜率相等. 綜上所述，命題(3)、(5)正確，(1)、(2)、(4)、(6)錯(cuò)誤. 四、參考例題 ［例1］直線l過點(diǎn)A（1，2），B（m，3），求l的斜率與傾斜角. 分析：此題意在使學(xué)生熟悉直線的斜率公式，但由于點(diǎn)B坐標(biāo)中含有參數(shù)，故借此鍛煉學(xué)生的分類討論的意識(shí)，同時(shí)注重討論的合理性與全面性. 解：(1)先考慮此直線斜率不存在的情形，顯然m＝1，此時(shí)l的傾斜角為； (2)若斜率存在，設(shè)此斜率為k，傾斜角為α，此時(shí)m≠1，k＝tanα＝， （ⅰ)當(dāng)m＞1時(shí)，k＞0，傾斜角為銳角， α＝arctan； （ⅱ）當(dāng)m＜1時(shí)，k＜0，傾斜角為鈍角， α＝π＋arctan. ［例2］平面上有相異的兩點(diǎn)A(cosθ，sin2θ）和B（0，1），求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線的斜率及傾斜角的范圍. 分析：根據(jù)A、B為相異兩點(diǎn)可知cosθ≠0，則sin2θ≠1，故排除了經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線斜率為0或斜率不存在的情形，這一點(diǎn)對(duì)于正確求解直線斜率及傾斜角的范圍具有關(guān)鍵性作用. 解：∵A、B相異兩點(diǎn)，∴cosθ≠0，此時(shí)sin2θ≠1. 故A、B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均不相同，因此，直線AB的斜率存在且不為0. 設(shè)直線AB的傾斜角為α，斜率為k.則k＝tanα＝＝－cosθ ∵tanα＝－cosθ≠0 ∴k∈［－1，0）∪（0，1]，α∈（0，]∪［，π） ［例3］直線l的斜率為k，傾斜角是α，若－1＜k＜1，則α的取值范圍是 . 分析：本題考查直線傾斜角的變化范圍，即0≤α＜π，可轉(zhuǎn)化為已知tanα的范圍求α范圍，可以利用正切函數(shù)的圖象解決，在體現(xiàn)與三角函數(shù)的聯(lián)系的同時(shí)又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想. 解：如圖，作出正切函數(shù)y＝tanα（0≤α＜π）的圖象. ∵tan＝1，tanπ＝－1. 再觀察圖象可知： 當(dāng)－1＜k＜1時(shí)，傾斜角α的取值范圍是：0≤α＜或π＜α＜π. ［例4］求直線x－ysinθ＋1＝0的傾斜角變化范圍. 分析：此題中y的系數(shù)為變量sinθ，應(yīng)注意對(duì)sinθ＝0，sinθ≠0的分情況討論，同時(shí)注意不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象的綜合運(yùn)用. 解：（?。┊?dāng)sinθ＝0時(shí)，傾斜角為； （ⅱ）當(dāng)sinθ≠0時(shí)，直線斜率k＝，即tanα＝. 由sinθ＞0得≥， 由sinθ＜0得≤－， ∴tanα≤－或tanα≥. 如圖，觀察正切函數(shù)y＝tanα(0≤α＜π）的圖象可得： . 綜合（ⅰ）、（ⅱ）可知： α的取值范圍：［］. ●備課資料 一、參考例題 ［例1］(1993年全國文)若直線ax＋by＋c＝0，在第一、二、三象限，則( ) A.ab＞0，bc＞0 B.ab＞0，bc＜0 C.ab＜0，bc＞0 D.ab＜0，bc＜0 分析：此題考查學(xué)生對(duì)于直線中含有參數(shù)的情形的處理能力，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 解：由題意，直線的斜率一定大于0，所以k＝－＞0，即ab＜0；并且根據(jù)直線的縱截距大于0，可得：－＞0即bc＜0.故選D. ［例2］(1995年全國)在圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則( ) A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2 C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2 分析：此題屬于圖象信息題，要求學(xué)生根據(jù)傾斜角的大小與斜率的正負(fù)來比較k1，k2，k3的大小關(guān)系. 解：由圖可知直線l1的傾斜角為鈍角，故k1＜0，直線l2，l3的傾斜角為銳角，故k2，k3＞0，又直線l2的傾斜角大于l3的傾斜角，故k2＞k3. 故選D. ［例3］(1996年上海高考試題)過點(diǎn)(４，0)和點(diǎn)(0，3)的直線的傾斜角為( ) A.arctan B.π－arctan C.arctan（－） D.π－arctan（－） 分析：此題中直線的斜率可由斜率公式直接求得，由于所得結(jié)果不是特殊值，故在用反正切函數(shù)表示時(shí)，應(yīng)注意傾斜角的取值范圍.若tanα＝a（a＞0），則α＝arctanα；若tanα＝－a（a＞0），則α＝π－arcｔaｎα. 解：過點(diǎn)(4，0)和點(diǎn)(0，3)的直線的斜率k＝，即tanα＝－＜0. 故α是鈍角. ∴α＝π－arctan. 故選B. ［例4］(1997年高考應(yīng)用題)甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地，勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米／小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元. (1)把全部運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米／小時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域. (2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛? 解：(1)y＝s（＋bv），v∈（0，c] (2)據(jù)《xx年高考試題分析》知：很多考生在求函數(shù)y＝s（＋bv）取得最小值時(shí)，利用基本不等式，由于忽略了函數(shù)的定義域，根據(jù)s（＋bv）≥2s，得出當(dāng)且僅當(dāng)＝bv，即v＝時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小的結(jié)論，結(jié)果漏掉了另外一種情況.如果運(yùn)用斜率求解，可避免漏解.請看： 記k＝y(tǒng)＝ 故求此函數(shù)的最值可轉(zhuǎn)化為求一定點(diǎn)A（0，－as）與動(dòng)點(diǎn)B（v，bsv2）構(gòu)成的直線的斜率的最值. 動(dòng)點(diǎn)B在拋物線y＝bｓx2，x∈（0，c）上運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn) B′（c，bsc2）. 如圖所示： ①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)B在拋物線弧OB′(不包括B′點(diǎn))上時(shí)，過定點(diǎn)A且與拋物線弧相切的切線斜率即所求函數(shù)的最小值. 設(shè)直線AB的方程為：y＋aｓ＝kx 聯(lián)立 消去y得bｓx2－kx＋as＝0(*) 由Δ＝k2－４abs2＝0得k＝2s或k＝－2s (舍去)，將k＝2s代入(*)式得x＝.換句話說，當(dāng)速度v＝時(shí)，運(yùn)輸成本y的最小值為2s. ②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)B′時(shí)，kAB的值只有一個(gè)，顯然就是所求函數(shù)的最小值.此時(shí)，kAB＝＋bc）. 也就是說，當(dāng)v＝c時(shí)，運(yùn)輸成本y的最小值為s（＋bc）. 二、直線的斜率在解題中的應(yīng)用 1.證明不等式 ［例1］已知a、b、m∈Ｒ*，且a＜b， 求證：. 分析：觀察所證不等式的左邊，結(jié)構(gòu)與斜率公式k＝完全相似，，故此式可看作點(diǎn)(b，a)與點(diǎn)(－m，－m)的連線的斜率. 解：如圖，∵0＜a＜b，∴點(diǎn)P（b，a）在第一象限且必位于直線y＝x的下方. 又∵m＞0 ∴點(diǎn)M(－m，－m）在第三象限且必在y＝x上，連接OP、PM，則： kOP＝，kMP＝. ∵直線MP的傾斜角大于直線OP的傾斜角，∴kMP＞kOP即有>. 2.用斜率確定某些參數(shù)的取值范圍 ［例2］已知兩點(diǎn)P（2，－3），Q（3，2），直線ax＋y＋2＝0與線段PQ相交，求a的取值范圍. 分析：已知直線ax＋y＋2＝0是一條過定點(diǎn)(0，－2）的動(dòng)直線，若與線段PQ相交，則如圖所示直線PM、QM是其變化的邊界直線，所以只須求出直線PM、QM的斜率即可確定已知直線的斜率－a的變化范圍，從而得到a的變化范圍. 解：如圖所示,直線l：ax＋y＋2＝0恒過定點(diǎn)M（0，－2），l與線段PQ相交，故kMP≤kl≤kMQ. ∵kl＝－a，kMP＝－，kMQ＝ ∴－≤－a≤，∴－≤a≤. ［例3］若－＜α＜0，則斜率為－cotα直線的傾斜角為( ) A.－α B. ＋α C.π－α D. －α 分析：由直線的傾斜角的定義，題中的α角，不能作為直線的傾斜角；也不能錯(cuò)誤地認(rèn)為－α在直線的傾斜角范圍內(nèi)，－α就是直線的傾斜角，必須進(jìn)行準(zhǔn)確的三角變形. 解：設(shè)直線的傾斜角為θ， ∵k＝tanθ＝－cotα＝tan（α－） ∴θ＝kπ＋α－（k∈Ｚ） ∵θ∈［0，π），－＜α＜0 ∴－π＜α－＜－，∴0＜＋α＜ 故選B.