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2019年高考數(shù)學第一輪復習 第四篇 平面向量細致講解練 理 新人教A版 第1講　平面向量的概念及其線性運算 [最新考綱] 1．了解向量的實際背景． 2．理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義． 3．理解向量的幾何表示． 4．掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義． 5．掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義． 6．了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義. 知 識 梳 理 1．向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線 共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 2.向量的線性運算 向量 運算 定　義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量 和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 續(xù)表 減法 求a與b的 相反向量 －b的和的 運算叫做 a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與 向量a的積 的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa. 辨 析 感 悟 1．對共線向量的理解 (1)若向量a，b共線，則向量a，b的方向相同． () (2)若a∥b，b∥c，則a∥c. () (3)(xx鄭州調(diào)研改編)設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與2a－b共線，則λ＝－. (√) (4)(xx陜西卷改編)設(shè)a，b為向量，則“|ab|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要條件． (√) 2．對向量線性運算的應(yīng)用 (5)＋＋＝. (√) (6)(教材習題改編)在△ABC中，D是BC的中點，則＝(＋)． (√) 學生用書第69頁 [感悟提升] 1．一個區(qū)別　兩個向量共線與兩條線段共線不同，前者的起點可以不同，而后者必須在同一直線上．同樣，兩個平行向 量與兩條平行直線也是不同的，因為兩個平行向量可以移到同一直線上． 2．兩個防范　一是兩個向量共線，則它們的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2). 考點一　平面向量的有關(guān)概念 【例1】 給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中真命題的序號是________． 解析　①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同． ②正確．∵＝， ∴||＝||且∥， 又∵A，B，C，D是不共線的四點， ∴四邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且||＝||，因此，＝. ③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同； 又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同， ∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c. ④不正確．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號是②③. 答案?、冖? 規(guī)律方法 對于向量的概念應(yīng)注意以下幾條： (1)向量的兩個特征：有大小和方向，向量既可以用有向線段和字母表示，也可以用坐標表示； (2)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量； (3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可以比較大?。? 【訓練1】 設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3. 答案　D 考點二　平面向量的線性運算 例2】 如圖，在平行四邊形OADB中，設(shè)＝a， ＝b，B＝ ， ＝ .試用a，b表示， 及. 解　由題意知，在平行四邊形OADB中， ＝B ＝ ＝( －)＝(a－b)＝a－b， 則＝＋＝b＋a－b＝a＋b. ＝ ＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b， ＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b. 規(guī)律方法 (1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來． (2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用． 【訓練2】 (1) (xx四川卷)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ ，則λ＝________. (2)(xx泉州模擬)已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點，且＋＋＝，那么一定有 (　　)． A.＝2 B.＝2 C.＝2 D.＝2 解析　(1)∵＋＝＝2，∴λ＝2. (2)∵＋＋＝＝－， ∴＝－2＝2. 答案　(1)2　(2)D 考點三　向量共線定理及其應(yīng)用 【例3】 (xx鄭州一中月考)設(shè)兩個非零向量a與b不共線． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求證：A，B，D三點共線； (2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． 審題路線　(1)由向量的加法，得＝＋?用a，b表示?得到與的關(guān)系式?由向量共線定理，得與共線?再看是否有公共點?得到證明的結(jié)論． (2)假設(shè)存在實數(shù)k?利用向量共線定理?列出方程?根據(jù)a，b是兩個不共線的向量?得出方程組?解得k值． (1)證明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)． ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5. ∴，共線，又它們有公共點B， ∴A，B，D三點共線． (2)解　假設(shè)ka＋b與a＋kb共線， 則存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又a，b是兩不共線的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝1. 規(guī)律方法 (1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線． (2)向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當且僅當λ1＝λ2＝0時成立，則向量a，b不共線. 學生用書第70頁 【訓練3】 (xx西安模擬)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d同向，則實數(shù)λ的值為_____． 解析　由于c與d同向，所以c＝kd(k＞0)， 于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]， 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于a，b不共線，所以有 整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－. 又因為k＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 答案　1 1．向量的加、減法運算，要在所表達的圖形上多思考，多聯(lián)系相關(guān)的幾何圖形，比如平行四邊形、菱形、三角形等，可多記憶一些有關(guān)的結(jié)論． 2．對于向量共線定理及其等價定理，關(guān)鍵要理解為位置(共線或不共線)與向量等式之間所建立的對應(yīng)關(guān)系．要證明三點共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式b＝λa，再結(jié)合條件或圖形有無公共點證明幾何位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 方法優(yōu)化3——準確把握平面向量的概念和運算 【典例】 (xx浙江卷)設(shè)a，b是兩個非零向量．(　　)． A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λa D．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| [一般解法] (排除法)選項A，若b＝－a，則等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，顯然a⊥b不成立； 選項B，若a⊥b且|a|＝|b|，則|a|－|b|＝0，顯然，|a＋b|＝|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立； 選項D，若b＝a，則|a|－|b|＝0，顯然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立． 綜上，A，B，D都不正確，故選C. [優(yōu)美解法] (數(shù)量積法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|兩邊平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2， 即2ab＝－2|a||b|，而ab＝|a||b|cos， 所以cos＝－1.又因為∈[0，π]， 所以＝π，即a，b為方向相反的共線向量．故C正確． [反思感悟] 部分學生做錯的主要原因是：題中的條件“|a＋b|＝|a|－|b|”在處理過程中誤認為“|a＋b|＝|a－b|”，從而得到“a⊥b”這個錯誤的結(jié)論． 【自主體驗】 在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB邊上的高，若＝λ，則實數(shù)λ＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析　由＝λ，∴||＝λ||. 又∵||＝|a|cos A＝|a|＝， ||＝|b－a|，∴λ＝＝.故選C. 答案　C 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是(　　)． A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ 解析　由圖可知＝－. 答案　B 2. (xx汕頭二模)如圖，在正六邊形ABCDEF中，＋＋等于(　　)． A．0 B. C. D. 解析　因為ABCDEF是正六邊形，故＋＋＝＋＋＝＋＝. 答案　D 3．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件． 答案　A 4．(xx開封模擬)下列命題中，正確的是(　　)． A．若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b B．若ab＝0，則a＝0或b＝0 C．若ka＝0，則k＝0或a＝0 D．若a，b都是非零向量，則|a＋b|＞|a－b| 解析　對于A，顯然不能得知a＝b或a＝－b，因此選項A不正確；對于B，易知不正確；對于C，易知正確；對于D，注意到(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，顯然ab與零的大小關(guān)系不確定，因此選項D不正確．綜上所述，選C. 答案　C 5．(xx蘭州質(zhì)檢)若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比為(　　)． A. B. C. D. 解析　 設(shè)AB的中點為D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如圖所示，故C，M，D三點共線，且＝ ，也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為，選C. 答案　C 二、填空題 6．(xx湖州月考)給出下列命題： ①向量的長度與向量的長度相等； ②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反； ③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同； ④兩個有公共終點的向量，一定是共線向量； ⑤向量與向量是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上． 其中不正確命題的序號是________． 解析?、僦?，∵向量與為相反向量， ∴它們的長度相等，此命題正確． ②中若a或b為零向量，則滿足a與b平行，但a與b的方向不一定相同或相反，∴此命題錯誤． ③由相等向量的定義知，若兩向量為相等向量，且起點相同，則其終點也必定相同，∴該命題正確． ④由共線向量知，若兩個向量僅有相同的終點，則不一定共線，∴該命題錯誤． ⑤∵共線向量是方向相同或相反的向量，∴若與是共線向量，則A，B，C，D四點不一定在一條直線上，∴該命題錯誤． 答案　②④⑤ 7．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則＝________(用a，b表示)． 解析　由＝3，得4＝3 ＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案?。璦＋b 8．(xx泰安模擬)設(shè)a，b是兩個不共線向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為________． 解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三點共線， ∴存在實數(shù)λ，使＝λ.即∴p＝－1. 答案?。? 三、解答題 9．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示，. 解?。?＋)＝a＋b； ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 10．若a，b是兩個不共線的非零向量，a與b起點相同，則當t為何值時，a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一條直線上？ 解　設(shè)＝a，＝tb，＝(a＋b)， ∴＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a. 要使A，B，C三點共線，只需＝λ. 即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa. 又∵a與b為不共線的非零向量， ∴有? ∴當t＝時，三向量終點在同一直線上． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．(xx濟南一模)已知A，B，C 是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，動點P滿足＝， 則點P一定為三角形ABC的(　　)． A．AB邊中線的中點 B．AB邊中線的三等分點(非重心) C．重心 D．AB邊的中點 解析　設(shè)AB的中點為M，則＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三點共線，且P是CM上靠近C點的一個三等分點． 答案　B 2．在△ABC中，點O在線段BC的延長線上，且與點C不重合，若＝x ＋(1－x)，則實數(shù)x的取值范圍是(　　)． A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(0,1) 解析　設(shè)＝λ (λ＞1)，則＝＋＝＋λ ＝(1－λ)＋λ ，又＝x ＋(1－x)，所以x ＋(1－x)＝(1－λ)＋λ .所以λ＝1－x＞ 1，得x＜0. 答案　A 二、填空題 3．若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________． 解析?。?＝－＋－＝＋， －＝＝－，∴|＋|＝|－|. 故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形． 答案　直角三角形 三、解答題 4. 在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點，BE與CF相交于G點，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示. 解?。剑剑? ＝＋(＋)＝＋(－) ＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b. 又＝＋＝＋m ＝＋(＋) ＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b， ∴解得λ＝m＝，∴＝a＋b. 學生用書第70頁 第2講　平面向量基本定理及坐標表示 [最新考綱] 1．了解平面向量的基本定理及其意義． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐標表示． 3．會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算． 4．理解用坐標表示的平面向量共線的條件. 知 識 梳 理 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2．平面向量的坐標運算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標的求法 ①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標． ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共線的坐標表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 辨 析 感 悟 1．對平面向量基本定理的理解 (1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底． () (2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2. (√) (3)(xx廣東卷改編)已知a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有下列四個命題，請判斷它們的正誤： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c. (√) ②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc；(√) ③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μc； (√) ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc. () 2．平面向量的坐標運算 (4)(教材習題改編)已知點A(2,1)，B(－1,3)，則＝(－3,2)． (√) (5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成＝. () (6)(xx湘潭調(diào)研改編)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，則x的值為－4. (√) [感悟提升] 1．向量坐標與點的坐標的區(qū)別　在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量＝a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量a＝＝(x，y)． 當平面向量平行移動到時，向量不變即＝＝(x，y)，但的起點O1和終點A1的坐標都發(fā)生了變化． 2．兩個防范　一是注意能作為基底的兩個向量必須是不共線的，如(1)．二是注意運用兩個向量a，b共線坐標表示的充要條件應(yīng)為x1y2－x2y1＝0，如(5). 考點一　平面向量基本定理的應(yīng)用 【例1】 如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知＝c，＝d，試用c，d表示，. 解　法一　設(shè)＝a，＝b， 則a＝＋＝d＋，① b＝＋＝c＋.② 將②代入①，得a＝d＋， ∴a＝d－c＝(2d－c)，③ 將③代入②，得b＝c＋(2d－c)＝(2c－d)． ∴＝(2d－c)，＝(2c－d)． 法二　設(shè)＝a，＝b. 因M，N分別為CD，BC的中點， 所以＝b，＝a， 因而? 即＝(2d－c)，＝(2c－d)． 規(guī)律方法 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算． (2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決． 【訓練1】 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點，若A＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　)． 　A. B. C. D. 解析　因為＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＋μ＝. 答案　D 考點二　平面向量的坐標運算 【例2】 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標及向量的坐標． 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴解得 (3)設(shè)O為坐標原點，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M的坐標為(0,20)． 又＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N的坐標為(9,2)， ∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 規(guī)律方法 向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的．若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及運算法則的正確使用． 【訓練2】 (1)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則向量a－b＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) 學生用書第72頁 (2)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝ (　　)． A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) 解析　(1)a＝，b＝， 故a－b＝(－1,2)． (2)由題意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案　(1)D　(2)B 考點三　平面向量共線的坐標表示 【例3】 平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k； (2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐標． 審題路線　(1)分別求出(a＋kc)與(2b－a)的坐標?利用向量平行的充要條件列方程?解關(guān)于k的方程；(2)設(shè)d的坐標?根據(jù)已知條件列出方程組?解方程組，得到d的坐標． 解　(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由題意得2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0， 解得k＝－. (2)設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)， 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝， ∴解得或 ∴d的坐標為(3，－1)或(5,3)． 規(guī)律方法 a∥b的充要條件有兩種表達方式： (1)a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)； (2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 兩種充要條件的表達形式不同．第(1)種是用線性關(guān)系的形式表示的，而且有前提條件b≠0，而第(2)種無b≠0限制． 【訓練3】 (1)(xx衡水中學一檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝ (　　)． A. B. C．1 D．2 (2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為________． 解析　(1)由于a＋λb＝(1＋λ，2)，故(a＋λb)∥c?4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝，故選A. (2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2 . 設(shè)點D的坐標為(x，y)，則 ＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點D的坐標為(2,4)． 答案　(1)A　(2)(2,4) 1．平面向量基本定理的本質(zhì)是運用向量加法的平行四邊形法則，將向量進行分解． 2．向量的坐標表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標運算法則是運算的關(guān)鍵，通過坐標運算可將一些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理，從而向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問題． 3．在向量的運算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思想方法3——方程思想在平面向量線性運算中的應(yīng)用 【典例】 (xx北京卷)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 解析　以向量a和b的交點為坐標原點建立如圖所示的坐標系，令每個小正方形的邊長為1個單位，則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb可得解得 所以＝4. 答案　4 [反思感悟] (1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去． (2)利用向量共線建立方程組，用方程的思想求解． 【自主體驗】 1．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基底a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b. 解析　由題意，設(shè)e1＋e2＝ma＋nb. 又a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋ n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 又e1，e2是平面內(nèi)一組基向量， 所以則 答案　?。? 2．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x＝________. 解析　a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， 由題意得(8－2x)(x＋1)＝(16＋x)， 整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4. 答案　4 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．(xx華東師大附中模擬)如圖，設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點，下列向量組：①與；②與；③與；④與，其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是(　　)． A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 解析?、僦信c不共線，可作為基底；②中與為共線向量，不可作為基底；③中與是兩個不共線的向量，可作為基底；④中與在同一條直線上，是共線向量，不可作為基底．綜上，只有①③中的向量可以作為基底，故選C. 答案　C 2．(xx揭陽二模)已知點A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，則點B的坐標為(　　)． A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) 解析　設(shè)點B的坐標為(x，y)，則＝(x＋1，y－5)． 由＝3a，得解得 答案　D 3. 如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，＝x ＋y ，且＝2 ，則(　　)． A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析　由題意知＝＋，又＝2 ，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 答案　A 4．(xx惠州模擬)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，則m＝(　　)． A．2 B．－2 C．－3 D．3 解析　a＋b＝(2，m＋1)，由a∥(a＋b)，得(－1)(m＋1)－21＝0，解得m＝－3. 答案　C 5．(xx許昌模擬)在△ABC中，點P在BC上，且＝2P，點Q是AC的中點，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于(　　)． A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) 解析　＝3 ＝3(2 －)＝6 －3 ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 答案　B 二、填空題 6．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值為________． 解析?。?a－2，－2)，＝(－2，b－2)， 依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0， 即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 答案　 7．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是________． 解析　由題意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C能構(gòu)成三角形，則，不共線，則－3(1－m)≠1(2－m)，解得m≠. 答案　m≠ 8．(xx江蘇卷)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 解析?。剑剑剑?＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝， 即λ1＋λ2＝. 答案　 三、解答題 9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？ 解　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 法一　當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數(shù)λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得， 解得k＝λ＝－， ∴當k＝－時，ka＋b與a－3b平行， 這時ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)． ∵λ＝－<0，∴ka＋b與a－3b反向． 法二　∵ka＋b與a－3b平行， ∴(k－3)(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－， 此時ka＋b＝＝－(a－3b)． ∴當k＝－時，ka＋b與a－3b平行，并且反向． 10．已知點O為坐標原點，A(0,2)，B(4,6)，＝t1 ＋t2 . (1)求點M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點都共線． (1)解?。絫1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．當點M在第二或第三象限時，有 故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0， (2)證明　當t1＝1時，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2 ， ∴與共線，又它們有公共點A， ∴A，B，M三點共線． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．(xx保定模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為(　　)． A．30 B．60 C．90 D．120 解析　由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)， 整理得b2＋a2－c2＝ab， 由余弦定理得cos C＝＝， 又00，b>0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則＋的最小值為________． 解析?。剑?a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．∵A，B，C三點共線， ∴∥. ∴2(a－1)－(－b－1)＝0， ∴2a＋b＝1. ∴＋＝(2a＋b) ＝4＋＋≥4＋2 ＝8. 當且僅當＝，即b＝，a＝時取等號． ∴＋的最小值是8. 答案　8 三、解答題 4. 如圖，已知點A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標． 解　以A，B，C為頂點的平行四邊形可以有三種情況： ①?ABCD；②?ADBC；③?ABDC. 設(shè)D的坐標為(x，y)， ①若是?ABCD，則由＝，得 (0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)， 即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)， ∴∴x＝0，y＝－4. ∴D點的坐標為(0，－4)(如題圖中所示的D1)． ②若是?ADBC，由＝，得 (0,2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1,0)， 即(1,4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4. ∴D點的坐標為(2,4)(如題圖中所示的D2)． ③若是?ABDC，則由＝，得 (0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)， 即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0. ∴D點的坐標為(－2,0)(如題圖中所示的D3)， ∴以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標為(0，－4)或(2,4)或(－2,0). 學生用書第73頁 第3講　平面向量的數(shù)量積 [最新考綱] 1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算． 4．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系. 知 識 梳 理 1．平面向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ 叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab＝|a||b|cos θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a＝0. (2)幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角． (1)數(shù)量積：ab＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夾角：cos θ＝＝. (4)兩非零向量a⊥b的充要條件：ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|ab|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤ . 3．平面向量數(shù)量積的運算律 (1)ab＝ba(交換律)． (2)λab＝λ(ab)＝a(λb)(結(jié)合律)． (3)(a＋b)c＝ac＋bc(分配律)． 辨 析 感 悟 1．對平面向量的數(shù)量積的認識 (1)兩個向量的數(shù)量積是一個向量，向量加、減、數(shù)乘運算的結(jié)果是向量．() (2)(xx湖北卷改編)已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為－.() (3)若ab＞0，則a和b的夾角為銳角；若ab＜0，則a和b的夾角為鈍角．() 2．對平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)、運算律的理解 (4)ab＝0，則a＝0或b＝0.() (5)(ab)c＝a(bc)．() (6)ab＝ac(a≠0)，則b＝c.() [感悟提升] 三個防范　一是兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，如(1)； 二是在向量數(shù)量積的幾何意義中，投影是一個數(shù)量，不是向量．設(shè)向量a，b的夾角為θ，當θ為銳角時，投影為正值；當θ為鈍角時，投影為負值；當θ為直角時，投影為0；當θ＝0時，b在a的方向上投影為|b|，當θ＝180時，b在a方向上投影為－|b|，如(2)；當θ＝0時，ab＞0，θ＝180，ab＜0，即ab＞0是兩個向量a，b夾角為銳角的必要而不充分條件，如(3)； 三是ab＝0不能推出a＝0或b＝0，因為ab＝0時，有可能a⊥b，如(4)． 考點一　平面向量數(shù)量積的運算 【例1】 (1)(xx威海期末考試)已知a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，則ab＝(　　)． A．2 B．3 C．4 D．5 (2)(xx江西卷)設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的射影為________． 解析　(1)∵a＝(1,2)，2a－b＝(3,1) ∴b＝2a－(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)． ∴ab＝(1,2)(－1,3)＝－1＋23＝5. (2)由于a＝e1＋3e2，b＝2e1， 所以|b|＝2，ab＝(e1＋3e2)2e1＝2e＋6e1e2 ＝2＋6＝5， 所以a在b方向上的射影為|a|cos＝＝. 答案　(1)D　(2) 學生用書第74頁 規(guī)律方法 求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用． 【訓練1】 (1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)c＝30，則x＝(　　)． A．6 B．5 C．4 D．3 (2)(xx山東卷)已知向量與的夾角為120，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為______． 解析　(1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)， 所以(8a－b)c＝(6,3)(3，x)＝30， 即18＋3x＝30，解得x＝4.故選C. (2)∵⊥，∴＝0， ∴(λ＋)＝0，即(λ＋)(－)＝(λ－1)－λ2＋2＝0. ∵向量與的夾角為120，||＝3，||＝2， ∴(λ－1)||||cos 120－9λ＋4＝0，解得λ＝. 答案　(1)C　(2) 考點二　向量的夾角與向量的模 【例2】 (1)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________． (2)已知向量a，b滿足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝________. 解析　(1)等式平方得|a|2＝9|b|2 ＝|a|2＋4|b|2＋4ab， 則|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cos θ， 即0＝4|b|2＋43|b|2cos θ， 得cos θ＝－. (2)因為|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2＋b2－4ab＝4a2＋b2＝4＋4＝8，故|2a－b|＝2. 答案　(1)－　(2)2 規(guī)律方法 (1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式． (2)|a|＝常用來求向量的模． 【訓練2】 (1)(xx長沙模擬)已知向量a，b夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. (2)若平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|≤1，且以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為，則a和b的夾角θ的取值范圍是________． 解析　(1)由|2a－b|＝平方得， 4a2－4ab＋b2＝10， 即|b|2－4|b|cos 45＋4＝10， 亦即|b|2－2|b|－6＝0， 解得|b|＝3或|b|＝－(舍去)． (2)依題意有|a||b|sin θ＝， 即sin θ＝，由|b|≤1，得 ≤sin θ≤1，又0≤θ≤π， 故有≤θ≤. 答案　(1)3　(2) 考點三　平面向量的垂直問題 【例3】 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求證：a＋b與a－b互相垂直； (2)若ka＋b與a－kb的模相等，求β－α(其中k為非零實數(shù))． 審題路線　證明兩向量互相垂直，轉(zhuǎn)化為計算這兩個向量的數(shù)量積問題，數(shù)量積為零即得證?由模相等，列等式、化簡求β－α. (1)證明　∵(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0， ∴a＋b與a－b互相垂直． (2)解　ka＋b＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)， a－kb＝(cos α－kcos β，sin α－ksin β)， |ka＋b|＝， |a－kb|＝. ∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α)． 又k≠0，∴cos(β－α)＝0. ∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝. 規(guī)律方法 (1)當向量a與b是坐標形式給出時，若證明a⊥b，則只需證明ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)當向量a，b是非坐標形式時，要把a，b用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進行運算證明ab＝0. (3)數(shù)量積的運算ab＝0?a⊥b中，是對非零向量而言的，若a＝0，雖然有ab＝0，但不能說a⊥b. 【訓練3】 已知平面向量a＝(，－1)，b＝. (1)證明：a⊥b； (2)若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t)． (1)證明　∵ab＝－1＝0，∴a⊥b. (2)解　∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d， ∴cd＝[a＋(t2－3)b](－ka＋tb) ＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]ab＝0. 又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，ab＝0， ∴cd＝－4k＋t3－3t＝0， ∴k＝f(t)＝(t≠0)． 1．計算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標運算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用． 2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，將模的　　　　　　　　　　　　　　　　　　 運算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運算． 3．利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧. 學生用書第75頁 教你審題5——數(shù)量積的計算問題 【典例】 (xx上海卷)在矩形ABCD中，設(shè)AB，AD的長分別為2,1.若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足＝，則的取值范圍是________． [審題]　一審：抓住題眼“矩形ABCD”； 二審：合理建立平面直角坐標系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決． 解析　 如圖，以A點為坐標原點建立平面直角坐標系，則各點坐標為A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)， 設(shè)＝＝k(0≤k≤1)，則點M的坐標為(2，k)，點N的坐標為(2－2k,1)， 則＝(2，k)，＝(2－2k,1)，＝2(2－2k)＋k＝4－3k，而0≤k≤1，故1≤4－3k≤4. 答案　[1,4] [反思感悟] 在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何中的問題時，首先要想到是否能建立平面直角坐標系，利用坐標運算題目會容易的多． 【自主體驗】 (xx江蘇卷)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若＝，則的值是________． 解析　法一　以A為原點，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)，∴＝(x,2)，＝(，0)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴＝x＝，解得x＝1，∴F(1,2)，∴＝. 法二?。絴|||cos∠BAF＝， ∴||cos∠BAF＝1，即||＝1，∴||＝－1，＝(＋)(＋)＝＋＋＋＝＋＝(－1)(－1)＋121＝. 答案　 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．(xx湛江二模)向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，則ab＝(　　)． A．2 B．(0,4) C．4 D．(1,4) 解析　ab＝(1,2)(0,2)＝10＋22＝4. 答案　C 2．(xx紹興質(zhì)檢)在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝120，則在方向上的投影為(　　)． A. B. C．1 D．2 解析　如圖所示，在方向上的投影為||cos 60＝2＝1. 答案　C 3．(xx山東省實驗中學診斷)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)．若a＋2b與c垂直，則k＝(　　)． A．－3 B．－2 C．－1 D．1 解析　由題意知(a＋2b)c＝0，即ac＋2bc＝0. 所以k＋＋2＝0，解得k＝－3. 答案　A 4．(xx浙江五校聯(lián)盟)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(2a＋b)b＝0，則向量a，b的夾角為(　　)． A. B. C. D. 解析　由(2a＋b)b＝0，得2ab＋|b|2＝0. ∴2|b|2cos＋|b|2＝0，∴cos＝－， 又∈[0，π]，∴＝. 答案　A 5．(xx福建卷)在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(　　)． A. B．2 C．5 D．10 解析　∵＝1(－4)＋22＝0， ∴⊥，∴S四邊形＝＝＝5. 答案　C 二、填空題 6．(xx新課標全國Ⅰ卷)已知兩個單位向量a，b的夾角為60，c＝ta＋(1－t)b.若bc＝0，則t＝________. 解析　bc＝b[ta＋(1－t)b]＝tab＋(1－t)b2 ＝t|a||b|cos 60＋(1－t)|b|2 ＝＋1－t＝1－. 由bc＝0，得1－＝0，所以t＝2. 答案　2 7．(xx南京三模)在平面直角坐標系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0,2)．若＝0，＝λ，則實數(shù)λ的值為________． 解析　設(shè)C(x，y)，則＝(x，y)，又＝－＝(0,2)－(3，－1)＝(－3,3)，所以＝－3x＋3y＝0，解得x＝y(tǒng).又＝(x－3，y＋1)＝λ(0,2)，得結(jié)合x＝y(tǒng)，解得λ＝2. 答案　2 8.(xx濰坊二模)如圖，在△ABC中，O為BC中點，若AB＝1，AC＝3，<，>＝60，則||＝________. 解析　因為<，>＝60，所以＝||||cos 60＝13＝，又＝，所以2＝(＋)2＝(2＋2＋2)，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝. 答案　 三、解答題 9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)． (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解　(1)若a⊥b， 則ab＝1(2x＋3)＋x(－x)＝0. 整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，則有1(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 當x＝0時，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)， ∴|a－b|＝＝2. 當x＝－2時，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)