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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 4.2拋物線的幾何性質(zhì) 蘇教版選修2-1 課時(shí)目標(biāo)　1.了解拋物線的幾何圖形，知道拋物線的簡單幾何性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用拋物線方程研究拋物線的幾何性質(zhì)的方法.2.了解拋物線的簡單應(yīng)用． 1．拋物線的簡單幾何性質(zhì) 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0) (1)范圍：拋物線上的點(diǎn)(x，y)的橫坐標(biāo)x的取值范圍是________，拋物線在y軸的______側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也________，拋物線向右上方和右下方無限延伸． (2)對稱性：拋物線關(guān)于________對稱，拋物線的對稱軸叫做________________． (3)頂點(diǎn)：拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的________．拋物線的頂點(diǎn)為______________． (4)離心率：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的__________，用e表示，其值為______． (5)拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為______，這就是p的幾何意義，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 為，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為________． 2．拋物線的焦點(diǎn)弦 設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)，AB為過焦點(diǎn)的一條弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，則有以下結(jié)論． (1)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線________． (2)AB＝__________(焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系)． (3)AB＝x1＋x2＋______. (4)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即x1x2＝________，y1y2＝________. 一、填空題 1．邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過A，B的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是______________________． 2．拋物線y2＝2px (p>0)上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則此拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線之間的距離是________． 3．若過拋物線x2＝－2py (p>0)的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦長為6，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________． 4．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為________． 5．已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，A、B是拋物線C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(2,2)，則△ABF的面積為________． 6．拋物線y2＝2px與直線ax＋y－4＝0的一個(gè)交點(diǎn)是(1,2)，則拋物線的焦點(diǎn)到該直線的距離為______． 7.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為______________． 8．已知點(diǎn)Q(4,0)，P為y2＝x＋1上任意一點(diǎn)，則PQ的最小值為________． 二、解答題 9．設(shè)拋物線y＝mx2 (m≠0)的準(zhǔn)線與直線y＝1的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 10.已知拋物線y2＝2px (p>0)的一條過焦點(diǎn)F的弦AB被焦點(diǎn)F分成長度為m，n的兩部分．求證：＋為定值． 能力提升 11．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么PF＝________. 12．已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)． (1)若AF＝4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)； (2)求線段AB的長的最小值． 1．研究拋物線的性質(zhì)要結(jié)合定義，理解參數(shù)p的幾何意義，注意拋物線的開口方向． 2．解決過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交有關(guān)的問題時(shí)，一是注意直線方程和拋物線方程聯(lián)立得方程組，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題，二是注意焦點(diǎn)弦，焦半徑公式的應(yīng)用．解題時(shí)注意整體代入的思想，可以使運(yùn)算、化簡簡便． 3．與拋物線有關(guān)的最值問題 具備定義背景的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為幾何問題；一般方法是建立目標(biāo)函數(shù)，求函數(shù)的最值． 2．4.2　拋物線的幾何性質(zhì) 知識梳理 1．(1)x≥0　右　增大　(2)x軸　拋物線的軸 (3)頂點(diǎn)　坐標(biāo)原點(diǎn)　(4)離心率　1　(5)p　 2．(1)相切　(2)2(x0＋)　(3)p　(4)?。璸2 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．y2＝x 解析　易求得A，B的坐標(biāo)為或，又由題意可設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px (p>0)，將A，B的坐標(biāo)代入即可求得． 2．2 解析　由拋物線的定義可知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，故4＋＝5，p＝2，此拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線之間的距離為p＝2. 3. 解析　易知弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則有2p＝6，p＝3.故焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 4．4 解析　橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為(2,0)，即＝2，得p＝4. 5．2 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y＝4x1，y＝4x2. ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．∵x1≠x2， ∴＝＝1. ∴直線AB的方程為y－2＝x－2，即y＝x. 將其代入y2＝4x，得A(0,0)，B(4,4)． ∴AB＝4.又F(1,0)到y(tǒng)＝x的距離為， ∴S△ABF＝4＝2. 6. 解析　由已知得拋物線方程為y2＝4x，直線方程為2x＋y－4＝0，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(1,0)，到直線2x＋y－4＝0的距離d＝＝. 7．(1,2)或(1，－2) 解析設(shè)A（x0,y0）,F(1,0),＝(x0，y0)， ＝(1－x0，－y0)， ＝x0(1－x0)－y＝－4. ∵y＝4x0，∴x0－x－4x0＋4＝0， 即x＋3x0－4＝0，x0＝1或x0＝－4(舍)． ∴x0＝1，y0＝2. 8. 解析　設(shè)點(diǎn)P(x，y)．∵y2＝x＋1，∴x≥－1. ∴PQ＝＝ ＝＝. ∴當(dāng)x＝時(shí)，PQmin＝. 9．解　由y＝mx2 (m≠0)可化為x2＝y(tǒng)， 其準(zhǔn)線方程為y＝－. 由題意知－＝－2或－＝4， 解得m＝或m＝－. 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y或x2＝－16y. 10．證明　若AB⊥x軸，直線AB的方程為x＝， 則A，B，∴m＝n＝p， ∴＋＝， 若AB不與x軸垂直，設(shè)直線AB的方程為 y＝k，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則m＝AF＝x1＋，n＝BF＝x2＋. 將AB方程代入拋物線方程，得 k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0. ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴＋＝ ＝＝. 故＋為定值． 11.8 解析　如圖所示，直線AF的方程為y＝－(x－2)，與準(zhǔn)線方程x＝－2聯(lián)立得A (－2,4)． 設(shè)P(x0,4)，代入拋物線y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6， ∴PF＝x0＋2＝8. 12．解　由y2＝4x，得p＝2，其準(zhǔn)線方程為x＝－1，焦點(diǎn)F(1,0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 分別過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A′、B′. (1)由拋物線的定義可知，AF＝x1＋， 從而x1＝4－1＝3. 代入y2＝4x，解得y1＝2. ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (3,2)或(3，－2)． (2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)， 設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)． 與拋物線方程聯(lián)立， 消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 因?yàn)橹本€與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)， 則k≠0，并設(shè)其兩根為x1，x2，則x1＋x2＝2＋. 由拋物線的定義可知， AB＝x1＋x2＋p＝4＋>4. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝1，與拋物線相交于A(1,2)，B(1，－2)，此時(shí)AB＝4， 所以，AB≥4，即線段AB的長的最小值為4.