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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 1.2共面向量定理 蘇教版選修2-1 課時目標(biāo)　1.理解共面向量的定義.2.掌握共面向量定理，并能熟練應(yīng)用． 1．共面向量的定義： 一般地，能________________的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理： 如果兩個向量a、b不共線，那么向量p與向量a、b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p＝__________. 3．共面向量定理的應(yīng)用： (1)空間中任意兩個向量a，b總是共面向量，空間中三個向量a，b，c則不一定共面． (2)空間中四點(diǎn)共面的條件 空間點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)，則存在有序?qū)崝?shù)對x、y使得＝x＋y，① 此為空間共面向量定理，其實(shí)質(zhì)就是平面向量基本定理，，實(shí)質(zhì)就是面MAB內(nèi)平面向量的一組基底． 另外有＝＋x＋y，② 或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)．③ ①、②、③均可作為證明四點(diǎn)共面的條件，但是①更為常用． 一、填空題 1．下列說法中正確的是________．(寫出所有正確的序號) ①平面內(nèi)的任意兩個向量都共線； ②空間的任意三個向量都不共面； ③空間的任意兩個向量都共面； ④空間的任意三個向量都共面． 2．滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點(diǎn)共線的有________．(寫出所有正確的序號) ①＋＝；②－＝； ③＝；④||＝||. 3．在下列等式中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是________．(寫出所有符合要求的序號) ①＝2－－； ②＝＋＋； ③＋＋＝0； ④＋＋＋＝0. 4．已知向量a與b不共線，則“a，b，c共面”是“存在兩個非零常數(shù)λ，μ使c＝λa＋μb”的____________條件． 5．已知P和不共線三點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)共面且對于空間任一點(diǎn)O，都有＝2＋＋λ，則λ＝________. 6．三個向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的關(guān)系是________．(填“共面”“不共面”“無法確定是否共面”)． 7.在ABCD中，＝a，＝b，＝2，M為BC的中點(diǎn)，則＝____________(用a、b表示)． 8.在四面體O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝________(用a，b，c表示)． 二、解答題 9．設(shè)A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線l1，l2上的三點(diǎn)，而M，N，P，Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點(diǎn)．求證：M、N、P、Q四點(diǎn)共面． 10.如圖所示，平行六面體A1B1C1D1-ABCD，M分成的比為，N分 成的比為2，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a、b、c表示. 能力提升 11.如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，則＝__________(用a，b，c表示)． 12．已知A、B、M三點(diǎn)不共線，對于平面ABM外的任一點(diǎn)O，確定下列各條件下，點(diǎn)P是否與A、B、M一定共面． (1)＋＝3－； (2)＝4－－. 向量共面的充要條件的理解 1.空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在實(shí)數(shù)對（x,y），使＝x＋y.滿足這個關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿足這個關(guān)系式．這個充要條件常用以證明四點(diǎn)共面． 2．共面向量的充要條件給出了空間平面的向量表示式，即任意一個空間平面可以由空間一點(diǎn)及兩個不共線的向量表示出來，它既是判斷三個向量是否共面的依據(jù)，又可以把已知共面條件轉(zhuǎn)化為向量式，以便于應(yīng)用向量這一工具．另外，在許多情況下，可以用“若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對于空間任意一點(diǎn)O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，則P、A、B、C四點(diǎn)共面”作為判定空間中四個點(diǎn)共面的依據(jù)． 3．1.2　共面向量定理 知識梳理 1．平移到同一平面內(nèi) 2．xa＋yb 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．③ 2．③ 解析　由＝知與共線，又因有一共同的點(diǎn)B，故A、B、C三點(diǎn)共線． 3．③ 解析　若有＝x＋y，則M與點(diǎn)A、B、C共面，或者＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1，則M與點(diǎn)A、B、C共面，①、②、④不滿足x＋y＋z＝1，③滿足＝x＋y，故③正確． 4．必要不充分 解析　驗(yàn)證充分性時，當(dāng)a，b，c共面且a∥c(或b∥c)時不能成立，不能使λ，μ都非零． 5．－2 解析　P與不共線三點(diǎn)A，B，C共面，且＝x＋y＋z(x，y，z∈R)， 則x＋y＋z＝1是四點(diǎn)共面的充要條件． 6．共面 解析　因xa－yb，yb－zc，zc－xa也是三個向量，且有zc－xa＝－(yb－zc)－(xa－yb)，所以三向量共面． 7．－a＋b 解析　＝＋＝b＋ ＝b＋(＋) ＝b＋(－b－a) ＝－a＋b. 8.a＋b＋c 9．證明　依題意有＝2，＝2. 又∵＝＋＋ ＝＋＋ ＝(＋＋)＋＋ ＝(＋)，(*) A，B，C及A1，B1，C1分別共線， ∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω. 代入(*)式得＝(2λ＋2ω)＝λ＋ω，∴，，共面． ∴M、N、P、Q四點(diǎn)共面． 10．解　＝＋＋ ＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－(a＋b)＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c. 11．－a＋b＋c 解析?。剑剑? ＝c＋(＋)＝－＋＋c ＝－a＋b＋c. 12．解　(1)原式可變形為 ＝＋(－)＋(－) ＝＋＋， ∴－＝＋， ∴＝－－， ∴P與M、A、B共面． (2)原式可變形為 ＝2＋－＋－ ＝2＋＋， ∴＝－－－，表達(dá)式中還含有， ∴P與A、B、M不共面．