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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 推理與證明 板塊一 合情推理與演繹推理完整講義（學(xué)生版） 典例分析 題型一：合情推理 【例1】 迄今為止，人類已借助“網(wǎng)格計算”技術(shù)找到了630萬位的最大質(zhì)數(shù)。小王發(fā)現(xiàn)由8個質(zhì)數(shù)組成的數(shù)列41，43，47，53，61，71，83，97的一個通項公式，并根據(jù)通項公式得出數(shù)列的后幾項，發(fā)現(xiàn)它們也是質(zhì)數(shù)。小王欣喜萬分，但小王按得出的通項公式，再往后寫幾個數(shù)發(fā)現(xiàn)它們不是質(zhì)數(shù)。他寫出不是質(zhì)數(shù)的一個數(shù)是 （ ） A．1643 B．1679 C．1681 D．1697 【例2】 下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的四種類比推理： ①復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類比多項式的加減法運(yùn)算法則； ②由向量A的性質(zhì)|A|2=A2類比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)|z|2=z2； ③方程有兩個不同實數(shù)根的條件是可以類比得到：方程有兩個不同復(fù)數(shù)根的條件是； ④由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義. 其中類比錯誤的是 ( ) A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【例3】 定義的運(yùn)算分別對應(yīng)下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的（A）、（B）所對應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是 ( ) （1） （2） （3） （4） （A） （B） A. B. C. D. 【例4】 在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直，則可得” （ ） (A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B) (C) (D)AB2AC2AD2=BC2 CD2 BD2 【例5】 已知 ，猜想的表達(dá)式為 ( ) A. B. C. D. 【例6】 觀察下列數(shù):1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( ) (A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123. 【例7】 觀察下列數(shù)的特點 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100項是( ) （A） 10 （B） 13 （C） 14 （D） 100 【例8】 設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法，可求得的值為 （ ） A、 B、2 C、3 D、4 【例9】 平面上有n個圓，其中每兩個都相交于兩點，每三個都無公共點，它們將平面分成塊區(qū)域，有，則的表達(dá)式為 （ ） A、 B、 C、 D、 【例10】 在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25項為 （ ） A．25 B．6 C．7 D．8 【例11】 如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點,F為左焦點,當(dāng)時,其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出”黃金雙曲線”的離心率e等于 （ ） A. B. C. D. O x A B F y 【例12】 觀察式子：，…，則可歸納出式子為（ ） A、 B、 C、 D、 【例13】 公比為的等比數(shù)列中，若是數(shù)列的前項積，則有也成等比數(shù)列，且公比為；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為的等差數(shù)列中，若是的前項和，則數(shù)列 也成等差數(shù)列,且公差為 。 【例14】 考察下列一組不等式： .將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是___________________. 【例15】 如下圖，第（1）個多邊形是由正三角形“擴(kuò)展“而來，第（2）個多邊形是由正四邊形“擴(kuò)展”而來，……如此類推.設(shè)由正邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為，則 ； ＝ . 【例16】 古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，……叫做三角數(shù)，它有一定的規(guī)律性，第30個三角數(shù)與第28個三角數(shù)的差為 。 【例17】 數(shù)列是正項等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列. 類比上述結(jié)論，寫出正項等比數(shù)列，若= ，則數(shù)列{}也為等比數(shù)列. 【例18】 在一次珠寶展覽會上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成如圖1所示的正六邊形, 第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所示的正六邊形, 第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形, 第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4所示的正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應(yīng)有_______________顆珠寶;則前件首飾所用珠寶總數(shù)為________________顆.(結(jié)果用表示) 圖1 圖2 圖3 圖4 【例19】 在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有： 設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O—LMN，如果用表示三個側(cè)面面積，表示截面面積，那么你類比得到的結(jié)論是 . 【例20】 對于平面幾何中的命題“如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)垂直,那么這兩個角相等或互補(bǔ)”,在立體幾何中,類比上述命題,可以得到命題: 。 【例21】 依次有下列等式：，按此規(guī)律下去，第8個等式為 。 【例22】 在等差數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式 成立. 【例23】 將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第次全行的數(shù)都為1的是第行；第61行中1的個數(shù)是． 第1行　　　　　 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 【例24】 在平面幾何里，可以得出正確結(jié)論：“正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這正三角形的高的”。拓展到空間，類比平面幾何的上述結(jié)論，則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個正四面體的高的 。 【例25】 已知：； 通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題： ________________= （ * ）并給出（ * ）式的證明。 【例26】 觀察以下各等式： ，分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明。 【例27】 在△ABC中，若∠C=90，AC=b,BC=A，則△ABC的外接圓的半徑，把上面的結(jié)論推廣到空間，寫出相類似的結(jié)論。 【例28】 請你把不等式“若是正實數(shù)，則有”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論。 【例29】 二十世紀(jì)六十年代，日本數(shù)學(xué)家角谷發(fā)現(xiàn)了一個奇怪現(xiàn)象：一個自然數(shù)，如果它是偶數(shù)就用2除它，如果是奇數(shù)，則將它乘以3后再加1，反復(fù)進(jìn)行這樣兩種運(yùn)算，必然會得到什么結(jié)果，試考查幾個數(shù)并給出猜想。 【例30】 圓的垂徑定理有一個推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，這一性質(zhì)能推廣到橢圓嗎？設(shè)AB是橢圓的任一弦，M是AB的中點，設(shè)OM與AB的斜率都存在，并設(shè)為KOM、KAB，則KOM與KAB之間有何關(guān)系？并證明你的結(jié)論。 【例31】 已知橢圓C：具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是橢圓C上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關(guān)的定值。試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。 【例32】 觀察下面由奇數(shù)組成的數(shù)陣，回答下列問題： （Ⅰ）求第六行的第一個數(shù)． （Ⅱ）求第20行的第一個數(shù)． （Ⅲ）求第20行的所有數(shù)的和． 【例33】 （xx年上海春招高考題）在DEF中有余弦定理： . 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABC-的3個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明. 【例34】 已知數(shù)列，其中是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列（）. （1）若，求； （2）試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍； （3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，……，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列. 提出同（2）類似的問題（（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？ 【例35】 已知橢圓具有性質(zhì)：若是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點P的位置無關(guān)的定值．試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明 【例36】 已知數(shù)列(為正整數(shù))的首項為，公比為的等比數(shù)列． ⑴求和：；． ⑵由①的結(jié)果，概括出關(guān)于正整數(shù)的一個結(jié)論，并加以證明． 題型二：演繹推理 【例37】 由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù)“三段論”推理出一個結(jié)論，則這個結(jié)論是 （ ） (A) 正方形的對角線相等 (B) 平行四邊形的對角線相等 (C) 正方形是平行四邊形 (D)其它 【例38】 下列表述正確的是（ ）。 ①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理。 （A）①②③； （B）②③④； （C）②④⑤； （D）①③⑤。 【例39】 有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為（ ）。 A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤 【例40】 （4） 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為 （ ）。 A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤 【例41】 小王、小劉、小張參加了今年的高考，考完后在一起議論。 小王說：“我肯定考上重點大學(xué)?！? 小劉說：“重點大學(xué)我是考不上了?！? 小張說：“要是不論重點不重點，我考上肯定沒問題?！? 發(fā)榜結(jié)果表明，三人中考取重點大學(xué)、一般大學(xué)和沒考上大學(xué)的各有一個，并且他們?nèi)齻€人的預(yù)言只有一個人是對的，另外兩個人的預(yù)言都同事實恰好相反?？梢姡海? ） （A）小王沒考上，小劉考上一般大學(xué)，小張考上重點大學(xué) （B）小王考上一般大學(xué)，小劉沒考上，小張考上重點大學(xué) （C）小王沒考上，小劉考上重點大學(xué)，小張考上一般大學(xué) （D）小王考上一般大學(xué)，小劉考上重點大學(xué)，小張沒考上 【例42】 已知直線l、m，平面α、β，且l⊥α，m ∥β，給出下列四個命題： （1）若α∥β，則l⊥m； （2）若l⊥m，則α∥β； （3）若α⊥β，則l∥m； （4）若l∥m，則α⊥β； 其中正確命題的個數(shù)是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【例43】 給出下列三個命題：①若；②若正整數(shù)滿足，則；③設(shè)上任意一點，圓以為圓心且半徑為1。當(dāng)時，圓相切。 其中假命題的個數(shù)是（ ） （A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3 【例44】 給定集合A、B，定義，若A={4,5,6},B={1,2,3},則集合中的所有元素之和為 （ ） A.15 B.14 C.27 D.-14 【例45】 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為 （ ） A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤 【例46】 為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文對應(yīng)密文,例如,明文對應(yīng)密文.當(dāng)接收方收到密文時,則解密得到的明文為（ ） A． B． C． D． 【例47】 下面幾種推理過程是演繹推理的是 （ ） A、兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A+∠B=180 B、由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體性質(zhì) C、某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推測各班都超過50人 D、在數(shù)列中，，由此推出的通項公式 【例48】 設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法，可求得的值為 . 【例49】 函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關(guān)系是 . 【例50】 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見的一種思維形式。如從指數(shù)函數(shù)中可抽象出的性質(zhì)；從對數(shù)函數(shù)中可抽象出的性質(zhì)。那么從函數(shù) (寫出一個具體函數(shù)即可)可抽象出的性質(zhì)。 【例51】 “AC,BD是菱形ABCD的對角線，AC,BD互相垂直且平分?！毖a(bǔ)充以上推理的大前提是 。 【例52】 由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù) “三段論”推理出一個結(jié)論，則這個結(jié)論是 。 【例53】 已知數(shù)列的第1項，且，試歸納出這個數(shù)列的通項公式． 【例54】 （1）在演繹推理中，只要 是正確的，結(jié)論必定是正確的。 （2）用演繹法證明y=x2是增函數(shù)時的大前提是 。 【例55】 如圖，S為△ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求證：AB⊥BC。 【例56】 已知：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，判斷直線EF與平面ABD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 直線BD和平面ABD的位置關(guān)系是平行 【例57】 設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax2+bx+c (A,b,c∈R,A≠0)滿足條件： ①當(dāng)x∈R時，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；②當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)≤ ③f(x)在R上的最小值為0。 求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x. 【例58】 規(guī)定：，其中，是正整數(shù)，且，這是組合數(shù)是正整數(shù)，且的一種推廣． ①求的值； ②組合數(shù)的兩個性質(zhì)()是否都能推廣到(是正整數(shù))的情形？說明理由； ③已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)，是正整數(shù)時，． 【例59】 指出下面推理中的大前提和小前提。 （1）5與2可以比較大??； （2）直線。 【例60】 已知函數(shù)，對任意的兩個不相等的實數(shù)，都有成立，且，求的值。 【例61】 已知α、β是銳角，，且滿足。 （1）求證：； （2）求證：，并求等號成立時的值。