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2019-2020年高中數(shù)學 第2章 4二項分布課時作業(yè) 北師大版選修2-3 一、選擇題 1．設隨機變量ξ服從二項分布B(6，)，則P(ξ＝3)等于(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [答案]　A [解析]　P(ξ＝3)＝C()3()3＝. 2．一名學生通過英語聽力測試的概率為，她模擬測試3次，至少有1次通過測試的概率為(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [答案]　C [解析]　模擬測試3次相當于做了3次獨立重復試驗，“測試通過”即試驗成功，則模擬測試3次通過測試的次數(shù)X～B(3，)，故所求概率為1－P(X＝0)＝1－C()0(1－)3＝. 3．位于坐標原點的一個質(zhì)點P按下列規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是，質(zhì)點P移動五次后位于點(2,3)的概率是(　　) A．()5 B．C()5 C．C()3 D．CC()5 [答案]　B [解析]　質(zhì)點P移動五次后位于點(2,3)，即質(zhì)點向上移動了2次，向右移動了3次，將質(zhì)點移動5次視為做了5次獨立重復試驗，“向上移動”視為試驗成功，設5次移動中向上移動的次數(shù)為X，則X～B(5，)，所以P(X＝2)＝C()2()3＝C()5. 4．如果X～B(15，)，則使P(X＝k)最大的k值是(　　) A．3 B．4 C．4或5 D．3或4 [答案]　D [解析]　P(X＝k)＝C()15－k()k，然后把選擇項代入驗證． 5．某同學做了10道選擇題，每道題四個選擇項中有且只有一項是正確的，他每道題都隨意地從中選了一個答案，記該同學至少答對9道題的概率為P，則下列數(shù)據(jù)中與P最接近的是(　　) A．310－4 B．310－5 C．310－6 D．310－7 [答案]　B [解析]　P＝C()9()＋C()10≈310－5. 二、填空題 6．一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9，則服用這種新藥的4個病人中至少3人被治愈的概率為________(用數(shù)字作答)． [答案]　0.947 7 [解析]　4人服用新藥相當于做了4次獨立重復試驗，設服用新藥的4個病人中被治愈的人數(shù)為X，則X～B(4,0.9)，所求概率為P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C0.930.11＋C0.940.10＝0.291 6＋0.656 1＝0.947 7. 7．設隨機變量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，則P(η≥1)＝________. [答案]　 [解析]　由P(ξ≥1)＝1－p(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝得p＝，則P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)3＝. 8．一射手對同一目標獨立地進行了四次射擊，已知他至少命中一次的概率為，則四次射擊中，他命中3次的概率為________． [答案]　 [解析]　設一次射擊中，他命中的概率為p，則他四次至少命中一次的概率為1－(1－p)4＝，解得p＝. ∴他命中3次的概率為 P4(3)＝C()3(1－)＝. 三、解答題 9.某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為，且各次射擊的結果互不影響．該射手射擊了5次，求： (1)其中只在第一、三、五次3次擊中目標的概率； (2)其中恰有3次擊中目標的概率； (3)其中恰有3次連續(xù)擊中目標，而其他兩次沒有擊中目標的概率． [解析]　(1)該射手射擊了5次，其中只在第一，三，五次3次擊中目標，是在確定的情況下?lián)糁心繕?次，也即在第二，四次沒有擊中目標，所以只有一種情況，又各次射擊的結果互不影響，故所求概率為p＝(1－)(1－)＝. (2)該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標的概率情況不確定，根據(jù)排列組合知識，5次當中選3次，共有C種情況，又各次射擊的結果互不影響，故所求概率為p＝C()3(1－)2＝. (3)該射手射擊了5次，其中恰有3次連續(xù)擊中目標，而其他兩次沒有擊中目標，應用排列組合知識，將3次連續(xù)擊中目標看成一個整體，另外兩次沒有擊中目標，產(chǎn)生3個空隙，所以共有C種情況，故所求概率為P＝C()3(1－)2＝. 10.在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從河上游河漂而下的一個巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是. (1)求油罐被引爆的概率； (2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數(shù)為X，求X的概率分布． [解析]　(1)解法一：記B表示“引爆油罐”，則射擊次數(shù)符合獨立重復試驗，X＝2,3,4,5. X＝2表明第一次擊中，第二次也擊中， P(X＝2)＝＝； X＝3表明前2次擊中一次，第3次擊中， P(X＝3)＝C()1()1＝； X＝4表明前3次擊中一次，第4次擊中， P(X＝4)＝C()1()2＝； X＝5表明前4次擊中一次，第5次擊中， P(X＝5)＝C()1()3＝. 所以P(B)＝＋＋＋＝. 解法二：利用P(B)＝1－P()．油罐沒有引爆的情況有兩種：①射擊五次，都沒擊中；②射擊五次，只擊中一次． 所以P(B)＝1－()5－C()4＝. (2)X＝2,3,4時同(1)，當X＝5時，擊中次數(shù)分別為0,1,2. ∴P(X＝5)＝()5＋C()1()4＋C()1()3＝. 所以X的概率分布為 X 2 3 4 5 P 一、選擇題 1．在4次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在1次試驗中出現(xiàn)的概率為(　　) A. B． C. D．以上全不對 [答案]　A [解析]　設事件A在1次試驗中出現(xiàn)的概率為p.由二項分布的概率公式得1－Cp0(1－p)4＝，所以(1－p)4＝，解得p＝. 2．將一枚硬幣連擲5次，如果出現(xiàn)k次正面的概率等于出現(xiàn)k＋1次正面的概率，那么k的值為(　　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 [答案]　C [解析]　依題意有C()k()5－k＝C()k＋1()5－(k＋1)，所以C＝C. 故有k＋(k＋1)＝5.∴k＝2. 3．把10個骰子全部投出，設出現(xiàn)6點的骰子個數(shù)為X，則P(X≤2)等于(　　) A．C()2()8 B．C()()9＋()10 C．C()()9＋C()2()8 D．以上均不對 [答案]　D [解析]　由題意，X～B(10，)， ∴P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝()10＋C()9＋C()2()8. ∴A、B、C三選項均不對． 4．若X～B(10,0.8)，則P(X＝8)等于(　　) A．C0.880.22 B．C0.820.28 C．0.880.22 D．0.820.28 [答案]　A [解析]　∵X～B(10,0.8)，∴P(X＝k)＝C0.8k(1－0.8)10－k，∴P(X＝8)＝C0.880.22，故選A. 二、填空題 5．設每門高射炮擊中飛機的概率為0.6，今有一飛機來犯，則至少需要________門高射炮射擊，才能以99%的概率擊中它． [答案]　6 [解析]　設需要n門高射炮才可達到目的，用A表示“命中飛機”這一事件，由題意得，沒有命中飛機的概率為1－0.6＝0.4，故由對立事件的概率分式得P(A)＝1－0.4n.由題意得1－0.4n≥0.99，∴n≥5.02.故應取6. 6．某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響．有下列結論：①他僅第3次擊中目標的概率是0.9；②他恰好擊中目標3次的概率是0.930.1；③他至少擊中目標1次的概率是1－0.14.其中正確結論的序號是________． [答案]?、? [解析]　“僅第3次擊中目標”意味著其他各次均未擊中，故①錯；而“恰好擊中目標3次”的概率為C0.930.1，故②錯；由于“至少擊中目標1次”的對立事件為“一次都未擊中目標”，所以概率為1－0.14.故③正確． 三、解答題 7.(xx烏魯木齊診斷)某公司招聘員工，先由兩位專家面試，若兩位專家都同意通過，則視作通過初審予以錄用；若這兩位專家都未同意通過，則視作未通過初審不予錄用；當這兩位專家意見不一致時，再由第三位專家進行復審，若能通過復審則予以錄用，否則不予錄用．設應聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為0.5，復審能通過的概率為0.3，各專家評審的結果相互獨立． (1)求某應聘人員被錄用的概率； (2)若4人應聘，設X為被錄用的人數(shù)，試求隨機變量X的分布列． [解析]　設“兩位專家都同意通過”為事件A，“只有一位專家同意通過”為事件B，“通過復審”為事件C. (1)設“某應聘人員被錄用”為事件D，則D＝A＋BC， ∵P(A)＝＝，P(B)＝2(1－)＝，P(C)＝， ∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝. (2)根據(jù)題意，X＝0,1,2,3,4， Ai表示“應聘的4人中恰有i人被錄用”(i＝0,1,2,3,4)， ∵P(A0)＝C()4＝， P(A1)＝C()3＝， P(A2)＝C()2()2＝， P(A3)＝C()3＝， P(A4)＝C()4()0＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 8.實力相等的甲，乙兩隊參加乒乓球團體比賽，規(guī)定5局3勝制(即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出，并停止比賽)． (1)試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率； (2)求按比賽規(guī)則甲獲勝的概率． [解析]　記事件A為“甲打完3局才能取勝”，記事件B為“甲打完4局才能取勝”，記事件C為“甲打完5局才能取勝”． (1)①甲打完3局取勝，相當于進行3次獨立重復試驗，且每局比賽甲均取勝． ∴甲打完3局取勝的概率為P(A)＝C()3＝. ②甲打完4局取才能取勝，相當于進行4次獨立重復試驗，且甲第4局比賽取勝，前3局為2勝1負， ∴甲打完4局才能取勝的概率為P(B)＝C()2＝. ③甲打完5局才能取勝，相當于進行5次獨立重復試驗，且甲第5局比賽取勝，前4局恰好2勝2負， ∴甲打完5局才能取勝的概率為P(C)＝C()2()2＝. (2)設事件D為“按比賽規(guī)則甲獲勝”，則D＝A∪B∪C. 又∵事件A、B、C彼此互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝. 因此按比賽規(guī)則甲獲勝的概率為.