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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 1回歸分析課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-3 一、選擇題 1．相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是(　　) A．[－1,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．(－1,1) [答案]　A 2．(xx重慶理，3)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得線性回歸方程可能為(　　) A.＝0.4x＋2.3 B．＝2x－2.4 C.＝－2x＋9.5 D．＝－0.3x＋4.4 [答案]　A [解析]　本題考查了線性回歸方程，將點(diǎn)(3,3.5)代入個(gè)方程中可知，選項(xiàng)A成立，所以選A，線性回歸方程一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，)． 3．(xx全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ，3)根據(jù)下面給出的2004年至xx年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是(　　) A．逐年比較，xx年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．xx年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．xx年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì) D．xx年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) [答案]　D [解析]　由柱形圖得，從xx年以來(lái)，我國(guó)二氧化硫排放量呈下降趨勢(shì)，故年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D. 4．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　　) A．－1 B．0 C. D．1 [答案]　D [解析]　本題考查了相關(guān)系數(shù)及相關(guān)性的判定． 樣本相關(guān)系數(shù)越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，現(xiàn)在所有的樣本點(diǎn)都在直線y＝x＋1上，樣本的相關(guān)系數(shù)應(yīng)為1. 要注意理清相關(guān)系數(shù)的大小與相關(guān)性強(qiáng)弱的關(guān)系． 5．(xx福建理，4)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表： 收入x(萬(wàn)元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬(wàn)元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為(　　) A．11.4萬(wàn)元 B．11.8萬(wàn)元 C．12.0萬(wàn)元 D．12.2萬(wàn)元 [答案]　B [解析]　由已知得＝＝10(萬(wàn)元)， ＝＝8(萬(wàn)元)， 故＝8－0.7610＝0.4. 所以回歸直線方程為＝0.76x＋0.4，社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭年支出為＝0.7615＋0.4＝11.8(萬(wàn)元)，故選B. 二、填空題 6．對(duì)于回歸方程y＝4.75x＋257，當(dāng)x＝28時(shí)，y的估計(jì)值是____________． [答案]　390 [解析]　∵y＝4.75x＋257，當(dāng)x＝28時(shí)，y＝4.7528＋257＝390. 7．某市居民xx～xx年家庭年平均收入x(單位：萬(wàn)元)與年平均支出Y(單位：萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： 年份 xx xx xx xx xx 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是__________，家庭年平均收入與年平均支出有__________線性相關(guān)關(guān)系． [答案]　13　較強(qiáng)的 [解析]　由表中所組的數(shù)據(jù)知所求的中位數(shù)為13，畫出x與Y的散點(diǎn)圖知它們有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． 8．如圖所示，有5組數(shù)據(jù)，去掉________后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更好了． [答案]　D(3,10) [解析]　由散點(diǎn)圖可見(jiàn)：點(diǎn)A、B、C、E近似地在一條直線上，所以去掉D點(diǎn)以后，線性相關(guān)性就更好了． 三、解答題 9.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造實(shí)行后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ (參考數(shù)值：32.5＋43＋54＋64.5＝66.5) [解析]　(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如下圖所示． (2)由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得 x＝86， ＝＝4.5， ＝＝3.5， 已知xiyi＝66.5， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為： b＝＝＝0.7， a＝－b＝3.5－0.74.5＝0.35. 因此，所求的線性回歸方程為y＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為90－(0.7100＋0.35)＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)． [反思總結(jié)]　解本節(jié)有關(guān)散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)、回歸直線方程時(shí)，要明確散點(diǎn)圖的意義，熟記公式，準(zhǔn)確計(jì)算．由于有關(guān)公式較為麻煩，一般說(shuō)來(lái)，計(jì)算量比較大，建議采用分步計(jì)算的方法． 10．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià)x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b； (2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)＝銷售收入－成本) [解析]　(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5， ＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80. 所以a＝－b＝80＋208.5＝250，從而回歸直線方程為y＝－20x＋250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1000 ＝－20(x－)2＋361.25. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時(shí)，L取得最大值． 故當(dāng)單價(jià)定價(jià)為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn). 一、選擇題 1．(xx湖北理，4)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 得到的回歸方程為＝bx＋a，則(　　) A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0 C．a(chǎn)<0，b>0 D．a(chǎn)<0，b<0 [答案]　B [解析]　作出散點(diǎn)圖如下： 由圖象不難得出：回歸直線＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0.所以a>0，b<0.解答本題的關(guān)鍵是畫出散點(diǎn)圖，然后根據(jù)散點(diǎn)圖中回歸直線的斜率、截距來(lái)判斷系數(shù)b，a與0的大小． 2．對(duì)四對(duì)變量y和x進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，已知n是觀測(cè)值的組數(shù)，r是相關(guān)系數(shù)，且知①n＝3，r＝0.9950；②n＝7，r＝0.9533；③n＝15，r＝0.3012；④n＝17，r＝0.4991.(已知n＝3時(shí)，r0.05＝0.997；n＝7時(shí)，r0.05＝0.754；n＝15時(shí)，r0.05＝0.514；n＝17時(shí)，r0.05＝0.482)(r0.05為r的臨界值) 則變量y和x具有線性相關(guān)關(guān)系的是(　　) A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ [答案]　C [解析]　若y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，則需r＞r0.05，對(duì)②和④都滿足r＞r0.05. 3．已知x、y之間的一組數(shù)據(jù)： x 1.08 1.12 1.19 1.28 y 2.25 2.37 2.40 2.55 x與y之間的線性回歸方程必過(guò)點(diǎn)(　　) A．(0,0) B．(，0) C．(0，) D．(，) [答案]　D [解析]　任何線性回歸方程必定過(guò)(，)點(diǎn)． 4．(xx湖北文，4)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x、y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論： ①y與x負(fù)相關(guān)且＝2.347x－6.423； ②y與x負(fù)相關(guān)且＝－3.476x＋5.648； ③y與x正相關(guān)且＝5.437x＋8.493； ④y與x正相關(guān)且＝－4.326x－4.578 其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是(　　) A．①②　 B．②③　　 C．③④　 D．①④ [答案]　D [解析]　若y與x負(fù)相關(guān)，則＝bx＋a中b<0，故①不正確，②正確； 若y與x正相關(guān)，則＝bx＋a中b>0，故③正確，④不正確；故選D. 二、填空題 5．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的命題序號(hào)是________． (1)如果變量η與ξ之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，則我們根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的點(diǎn)(xi，yi)(i＝1、2、…，n)將散布在某一條直線的附近 (2)如果兩個(gè)變量ξ與η之間不存在線性關(guān)系，那么根據(jù)它們的一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)不能寫出一個(gè)線性方程 (3)設(shè)x、y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且x關(guān)于y的線性回歸方程為y＝bx＋a，b叫作回歸系數(shù) (4)為使求出的線性回歸方程有意義，可用統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的方法來(lái)判斷變量η與ξ之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系 [答案]　(2) [解析]　兩個(gè)變量不具有相關(guān)關(guān)系，但據(jù)公式，我們也能求得其回歸方程，只是無(wú)意義，因此要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．然后再求回歸直線的方程．故(2)不正確，∴填(2)． 6．某化工廠為預(yù)測(cè)某產(chǎn)品的回收率y，研究得知它和原料有效成分含量x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取8對(duì)觀測(cè)值，計(jì)算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1849，則y與x的線性回歸方程是____________．(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)) [答案]　y＝11.47＋2.62x [解析]　根據(jù)給出的數(shù)據(jù)可先求＝i＝，＝i＝，然后代入公式b＝＝≈2.62，a＝－b ＝11.47，進(jìn)而求得回歸方程y＝11.47＋2.62x. 三、解答題 7．假設(shè)某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料． 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用 y(萬(wàn)元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對(duì)x有線性相關(guān)關(guān)系．試求： (1)線性回歸方程y＝bx＋a的回歸系數(shù)a、b； (2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？ [解析]　(1)＝4，＝5， ＝90，iyi＝112.3， 于是b＝＝1.23， a＝－b＝5－1.234＝0.08. (2)回歸直線方程為y＝1.23x＋0.08.當(dāng)x＝10年時(shí)，y＝1.2310＋0.08＝12.38(萬(wàn)元)，即估計(jì)使用10年時(shí)的維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元． 8.從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720. (1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a； (2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)； (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄． 附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b， 其中，為樣本平均值．線性回歸方程也可寫為＝x＋. [解析]　(1)由題意知n＝10，＝－i＝＝8，＝i＝＝2. 又lxx＝－n2＝720－1082＝80， lxy＝iyi＝n＝184－1082＝24. 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.38＝－0.4， 故所求回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值B隨x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)． (3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為 y＝0.37－0.4＝1.7(千元)．