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2019-2020年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 第2節(jié) 函數(shù)及其表示（3）教案 新人教A版必修1 導入新課　　　　　 思路1.當x>1時，f(x)＝x＋1；當x≤1時，f(x)＝－x，請寫出函數(shù)f(x)的解析式．這個函數(shù)的解析式有什么特點？教師指出本節(jié)課題． 思路2.化簡函數(shù)y＝|x|的解析式，說說此函數(shù)解析式的特點，教師指出本節(jié)課題． 推進新課　　　　　 ①函數(shù)h(x)＝與f(x)＝x－1，g(x)＝x2在解析式上有什么區(qū)別？ ②請舉出幾個分段函數(shù)的例子． 活動：學生討論交流函數(shù)解析式的區(qū)別．所謂“分段函數(shù)”，習慣上指在定義域的不同部分，有不同對應法則的函數(shù)． 討論結果：①函數(shù)h(x)是分段函數(shù)，在定義域的不同部分，其解析式不同．說明：分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集；生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實際問題，如出租車的計費、個人所得稅納稅額等等． ②例如：y＝等． 例1畫出函數(shù)y＝|x|的圖象． 活動：學生思考函數(shù)圖象的畫法：①化簡函數(shù)的解析式為基本初等函數(shù)；②利用變換法畫出圖象，根據(jù)絕對值的概念來化簡解析式． 解法一：由絕對值的概念，我們有y＝ 所以，函數(shù)y＝|x|的圖象如圖7所示． 圖7 解法二：畫函數(shù)y＝x的圖象，將其位于x軸下方的部分對稱到x軸上方，與函數(shù)y＝x的圖象位于x軸上方的部分合起來得函數(shù)y＝|x|的圖象如圖7所示． 點評：函數(shù)y＝f(x)的圖象位于x軸上方的部分和y＝|f(x)|的圖象相同，函數(shù)y＝f(x)的圖象位于x軸下方的部分對稱到上方就是函數(shù)y＝|f(x)|的圖象的一部分．利用函數(shù)y＝f(x)的圖象和函數(shù)y＝|f(x)|的圖象的這種關系，由函數(shù)y＝f(x)的圖象畫出函數(shù)y＝|f(x)|的圖象. 變式訓練 1．已知函數(shù)y＝ (1)求f{f[f(5)]}的值； (2)畫出函數(shù)的圖象． 分析：本題主要考查分段函數(shù)及其圖象．f(x)是分段函數(shù)，要求f{f[f(5)]}，需要確定f[f(5)]的取值范圍，為此又需確定f(5)的取值范圍，然后根據(jù)所在定義域代入相應的解析式，逐步求解．畫出函數(shù)在各段上的圖象，再合起來就是分段函數(shù)的圖象． 解：(1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.∵－3<0，∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1.∵0<1<4，∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－21＝－1，即f{f[f(5)]}＝－1. (2)圖象如圖8所示： 圖8 2．課本本節(jié)練習3. 3．畫出函數(shù)y＝的圖象． 　步驟：①畫整個二次函數(shù)y＝(x＋1)2的圖象，再取其在區(qū)間(－∞，0]上的圖象，其他部分刪去不要；②畫一次函數(shù)y＝－x的圖象，再取其在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象，其他部分刪去不要；③這兩部分合起來就是所要畫的分段函數(shù)的圖象．如圖9所示． 圖9 例2某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規(guī)則制定： (1)乘坐汽車5千米以內(nèi)(含5千米)，票價2元； (2)5千米以上，每增加5千米，票價增加1元(不足5千米按5千米計算)， 如果某條線路的總里程為20千米，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象． 活動：學生討論交流題目的條件，弄清題意．本例是一個實際問題，有具體的實際意義，根據(jù)實際情況公共汽車到站才能停車，所以行車里程只能取整數(shù)值．由于里程在不同的范圍內(nèi)，票價有不同的計算方法，故此函數(shù)是分段函數(shù)． 解：設里程為x千米時，票價為y元，根據(jù)題意得x∈(0,20]． 由“招手即?！惫财嚻眱r制定的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式： 根據(jù)這個函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)圖象，如圖10所示． 圖10 點評：本題主要考查分段函數(shù)的實際應用，以及應用函數(shù)解決問題的能力．生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實際問題，如出租車的計費、個人所得稅納稅額等等．在列出其解析式時，要充分考慮實際問題的規(guī)定，根據(jù)規(guī)定來求得解析式． 注意： ①本例具有實際背景，所以解題時應考慮其實際意義； ②分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函數(shù)值不同的幾種表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況. 變式訓練 某客運公司確定車票價格的方法是：如果行程不超過100千米，票價是每千米0.5元，如果超過100千米，超過部分按每千米0.4元定價，則客運票價y(元)與行程x(千米)之間的函數(shù)關系式是________． 解析：根據(jù)行程是否大于100千米來求出解析式． 答案：y＝ 1．函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是(　　) 圖11 解析：方法一：函數(shù)的解析式化為y＝畫出此分段函數(shù)的圖象，故選B. 方法二：將函數(shù)f(x)＝x－1位于x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，與f(x)＝x－1位于x軸上方部分合起來，即可得到函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象，故選B. 方法三：由f(－1)＝2，知圖象過點(－1,2)，排除A，C，D，故選B. 答案：B 2．已知函數(shù)f(x)＝ (1)畫出函數(shù)的圖象； (2)求f(1)，f(－1)，f[f(－1)]的值． 解：分別作出f(x)在x>0，x＝0，x<0上的圖象，合在一起得函數(shù)的圖象． (1)如圖12所示，畫法略． 圖12 (2)f(1)＝12＝1，f(－1)＝－＝1，f[f(－1)]＝f(1)＝1. 3．某人驅(qū)車以52千米/時的速度從A地駛往260千米遠處的B地，到達B地并停留1.5小時后，再以65千米/時的速度返回A地．試將此人驅(qū)車走過的路程s(千米)表示為時間t的函數(shù)． 分析：本題中的函數(shù)是分段函數(shù)，要由時間t屬于哪個時間段，得到相應的解析式． 解：從A地到B地，路上的時間為＝5(小時)；從B地回到A地，路上的時間為＝4(小時)．所以走過的路程s(千米)與時間t的函數(shù)關系式為 s＝ 問題：已知函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋2，n∈N*. (1)求：f(2)，f(3)，f(4)，f(5)； (2)猜想f(n)，n∈N*. 探究：(1)由題意得f(1)＝1，則有 f(2)＝f(1)＋2＝1＋2＝3， f(3)＝f(2)＋2＝3＋2＝5， f(4)＝f(3)＋2＝5＋2＝7， f(5)＝f(4)＋2＝7＋2＝9. (2)由(1)得 f(1)＝1＝21－1， f(2)＝3＝22－1， f(3)＝5＝23－1， f(4)＝7＝24－1， f(5)＝9＝25－1. 因此猜想f(n)＝2n－1，n∈N*. 本節(jié)課學習了：畫分段函數(shù)的圖象；求分段函數(shù)的解析式以及分段函數(shù)的實際應用． 課本習題1.2B組3、4. 本節(jié)教學設計容量較大，特別是例題涉及圖象，建議使用信息技術來完成．本節(jié)重點為分段函數(shù)，這是課標明確要求也是高考的重點，通過分段函數(shù)問題能夠區(qū)分學生的思維層次，因此教學中應予以重視．