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2019-2020年高一數(shù)學 函數(shù)的應(yīng)用舉例 第八課時 第二章 ●課 題 2.9.1 函數(shù)的應(yīng)用舉例（一） ●教學目標 （一）教學知識點 1.數(shù)學模型. 2.數(shù)學建模. 3.數(shù)學應(yīng)用題的能力要求. 4.解答應(yīng)用題的基本步驟. （二）能力訓練要求 1.了解數(shù)學建模. 2.掌握根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式. 3.培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力. 4.培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學的意識. （三）德育滲透目標 1.認識事物之間的相互聯(lián)系. 2.了解數(shù)學在實際中的應(yīng)用. ●教學重點 根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式 ●教學難點 數(shù)學建模意識 ●教學方法 讀議講練法 首先要求學生通過閱讀課本來了解數(shù)學模型的概念及數(shù)學建模的思想方法，然后通過討論與學生一起分析得出數(shù)學應(yīng)用題的解決應(yīng)達到哪些能力要求，再通過講解例題與大家一起總結(jié)解答應(yīng)用題的基本步驟，最后通過相應(yīng)的課堂練習使學生鞏固對數(shù)學應(yīng)用題的認識，同時加強對相關(guān)知識點的熟悉程度. ●教具準備 幻燈片 第一張：例1（記作2.9.1 A） 第二張：例2（記作2.9.1 B） 第三張：數(shù)學應(yīng)用題能力要求及解答步驟（記作2.9.1 C） ●教學過程 Ⅰ.復(fù)習回顧 ［師］前面，我們已經(jīng)學習了函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，并要求大家在課前對本章作系統(tǒng)地歸納整理，接下來，用已學過的知識舉例說明函數(shù)的應(yīng)用. Ⅱ.講授新課 ［師］大家首先閱讀課本P91～P92，來了解一下數(shù)學建模的有關(guān)知識. 1.數(shù)學模型與數(shù)學建模 簡單地說，數(shù)學模型就是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學描述. 數(shù)學模型方法，是把實際問題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數(shù)學方法. 2.例題講解 ［例1］用長為m的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長為2x，求此框架的面積y與x的函數(shù)式，并寫出它的定義域. 分析：所求框架面積由矩形和半圓組成，數(shù)量關(guān)系較為明確，而且題中已設(shè)出變量，所以屬于函數(shù)關(guān)系的簡單應(yīng)用. 解：如圖，設(shè)AB=2x，則CD弧長=πx,于是AD= 因此y=2x+,即y=－x2+mx 再由, 解之得0＜x＜, 即函數(shù)式是y=－x2+mx 定義域是：（0，） 評述：此題雖為函數(shù)關(guān)系的簡單應(yīng)用，但應(yīng)讓學生通過此題明確應(yīng)用題的能力要求及求解應(yīng)用題的基本步驟. （1）數(shù)學應(yīng)用題的能力要求 ①閱讀理解能力；②抽象概括能力；③數(shù)學語言的運用能力；④分析、解決數(shù)學問題的能力； （2）解答應(yīng)用題的基本步驟 ①合理、恰當假設(shè)；②抽象概括數(shù)量關(guān)系，并能用數(shù)學語言表示；③分析、解決數(shù)學問題；④數(shù)學問題的解向?qū)嶋H問題的還原. ［師］有了上述說明，我們在看例2時就應(yīng)有所注意. ［例2］如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上，寫出這個梯形周長y和腰長x間的函數(shù)式，并求出它的定義域. 分析：要用腰長表示周長的關(guān)系式，應(yīng)該知道等腰梯形各邊的長，下底長已知為2R，兩腰長為2x,因此，只須用已知量（半徑R）和腰長x把上底表示出來，即可寫出周長y與腰長x的函數(shù)式. 解：如圖所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圓周上 設(shè)腰長AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足為E，連結(jié)BD，那么∠ADB直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD. ∴AD2=AEAB，即AE= ∴CD=AB－2AE=2R－ 所以，y=2R+2x+(2R－),即y=－+2x+4R 再由, 解得0＜x＜ ∴周長y與腰長x的函數(shù)式為：y=－ (x2+2x+4R),定義域為：（0，） 評述：例2是實際應(yīng)用問題.解題過程是從問題出發(fā)，引進數(shù)學符號，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問題的實際意義做出回答，這個過程實際上就是建立數(shù)學模型的一種最簡單的情形. Ⅲ.課堂練習 課本P89練習 1.將一個底面圓的直徑為d的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱，若這個長方形截面的一條邊長為x，對角線長為d，截面的面積為A，求面積A以x為自變量的函數(shù)式，并寫出它的定義域. 解：如圖，截面的一條邊為x，對角線AC=d,另一條邊BC=,所以S=x,定義域為：{x|0＜x＜d 2.如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式，并討論這個函數(shù)的定義域. 解：∵底面邊長為a－2x,∴底面積為(a－2x)2 又長方體高為x, ∴長方體體積V=x(a－2x)2 由a－2x＞0,得x＜ 又x＞0,∴函數(shù)定義域為{x|0＜x＜} Ⅳ.課時小結(jié) ［師］通過本節(jié)學習，大家應(yīng)對數(shù)學建模有所了解，并能根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式，逐步掌握解決實際問題的能力. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P89習題2.9 1.建筑一個容積為8000 m3，深為6 m的長方體蓄水池，池壁的造價為a元/m2,池底的造價為2a元/m2,把總造價y(元)表示為底的一邊長為x(m)的函數(shù). 解：設(shè)底面的另一邊長為z(m)，則根據(jù)題意有6xz=8000,z= 池壁造價為a(2x+2z)6=12a(x+) 池底造價為2a=a 所以，總造價：y=[12a(x+)+a](元) 2.如圖，灌溉渠的橫截面是等腰梯形，底寬2 m，邊坡的傾角為45，水深h m，求橫斷面中有水面積A（m2）與水深h(m)的函數(shù)關(guān)系式. 解：如圖，作AC⊥CE，BD⊥CE， ∴Rt△BDE面積：h2，矩形面積：2h ∴A=S矩+2SRt△BDE=2h+2h2=h2+2h(m2) （二）1.預(yù)習內(nèi)容：課本P86例1 2.預(yù)習提綱： （1）例2的數(shù)學模型和哪種函數(shù)有關(guān)？ （2）試列舉有關(guān)平均增長率的實際問題. ●板書設(shè)計 2.9.1 函數(shù)的應(yīng)用舉例 1.應(yīng)用題能力要求： （1）閱讀理解能力； （2）抽象概括能力； （3）數(shù)學語言運用能力； （4）分析、解決數(shù)學問題的能力. 2.解答基本步驟： （1）合理、恰當假設(shè)； （2）抽象數(shù)量關(guān)系； （3）分析解決問題； （4）數(shù)學問題的解向?qū)嶋H問題還原. 例1 例2 學生練習