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2019-2020年高一數(shù)學 等比數(shù)列的前n項和 第十課時 第三章 ●課 題 3.5.2 等比數(shù)列的前n項和(二) ●教學目標 （一）教學知識點 1.等比數(shù)列的前n項求和公式： Sn= (q≠1),Sn=na1(q=1). （二）能力訓練要求 綜合運用等比數(shù)列的定義式、通項公式、性質及前n項求和公式解決相關問題. （三）德育滲透目標 提高學生分析、解決問題的能力. ●教學重點 進一步熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式. ●教學難點 靈活使用有關知識解決問題 ●教學方法 講練相結合 講解思路，尋求規(guī)律，使學生通過練習加深理解. ●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］前面我們學習了哪些有關等比數(shù)列的知識? ［生］定義式：=q(q≠0,n≥2) 通項公式：an=a1qn－1(a1,q≠0) 若m+n=p+q,則aman=apaq, Sn= (q≠1) Sn=na1,(q=1) an=Sn－Sn－1(n≥2),a1=S1(n=1) Ⅱ.講授新課 ［師］我們結合一些練習來看一下如何靈活應用它們. ［例1］求和：(x+(其中x≠0，x≠1，y≠1) 分析：上面各個括號內的式子均由兩項組成，其中各括號內的前一項與后一項分別組成等比數(shù)列，分別求出這兩個等比數(shù)列的和，就能得到所求式子的和. 解：當x≠0，x≠1，y≠1時， (x+)+…+(xn+) =(x+x2+…+xn)+( +…+) = = ［師］此方法為求和的重要方法之一：分組求和法. ［例2］已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證：a2,a8,a5成等差數(shù)列. 分析：由題意可得S3+S6=2S9，要證a2,a8,a5成等差數(shù)列，只要證a2+a5=2a8即可. 證明：∵S3,S9,S6成等差數(shù)列，∴S3+S6=2S9 若q=1,則S3=3a1，S6=6a1,S9=9a1，由等比數(shù)列中，a1≠0得S3+S6≠2S9，與題設矛盾 ∴q≠1， ∴S3=且 整理得q3+q6=2q9，由q≠0得1+q3=2q6 又∵a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3) ∴a2+a5=a1q2q6=2a1q7=2a8, ∴a2,a8,a5成等差數(shù)列. 評述：要注意題中的隱含條件與公式的應用條件. ［例3］某制糖廠第1年制糖5萬噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么從第1年起，約幾年內可使總產(chǎn)量達到30萬噸(保留到個位)? 分析：由題意可知，每年產(chǎn)量比上一年增加的百分率相同，所以從第1年起，每年的產(chǎn)量組成一個等比數(shù)列，總產(chǎn)量則為等比數(shù)列的前n項和. 解：設每年的產(chǎn)量組成一個等比數(shù)列{an},其中a1=5,q=1+10%=1.1,Sn=30 ∴=30， 整理可得：1.1n=1.6 兩邊取對數(shù)，得nlg1.1=lg1.6，即：n=≈5 答：約5年內可以使總產(chǎn)量達到30萬噸. 評述：首先應根據(jù)題意準確恰當建立數(shù)學模型，然后求解. Ⅲ.課堂練習 ［生］(板演)課本P131練習3，4 3.求和 解：（1）（a－1）+(a2－2)+…+(an－n)=(a+a2+…+an)－(1+2+…+n) 當a=1時，原式=n－ 當a≠1時，原式=. (2)(2－35-1)+(4－35-2)+…+(2n－35－n)=(2+4+…+2n)－3(5-1+5-2+…+5－n) =－3. 評述：根據(jù)所求式的特點，選取恰當?shù)那蠛头椒?，將其轉化為等差或等比數(shù)列求和問題. 4.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，求證S7,S14－S7,S21－S14成等比數(shù)列，設k∈N*,Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等比數(shù)列嗎？ 解：（1）①當q=1時，S7=7a1,S14=14a1,S14－S7=14a1－7a1=7a1,S21－S14=21a1－14a1=7a1 ∴S7,S14－S7,S21－S14為以7a1為首項，1為公比的等比數(shù)列. ②當q≠1時，S7= = S21－S14= = ∴(S14－S7)2= S7(S21－S14)= = ∴(S14－S7)2=S7(S21－S14) ∴S7,S14－S7,S21－S14成等比數(shù)列. [這一過程也可如下證明： S14－S7=(a1+a2+…a14)－(a1+a2+…+a7)=a8+a9+…+a14=a1q7+a2q7+…+a7q7=(a1+a2+…+a7)q7=q7S7 同理，S21－S14=a15+a16+…+a21=a1q14+a2q14+…+a7q14=q14S7 ∴S7,S14－S7,S21－S7為等比數(shù)列] （2）①當q=－1且k為偶數(shù)時，Sk,S2k－Sk,S3k－S2k不是等比數(shù)列. ∵此時，Sk=S2k－Sk=S3k－S2k=0. 例如：數(shù)列1,－1,1,－1,…是公比為－1的等比數(shù)列，S2=0,S4－S2=0,S6－S4=0 ②當q≠－1或k為奇數(shù)時，Sk=a1+a2+…ak= S2k－Sk= = [或S2k－Sk=ak+1+…+a2k=a1qk+a2qk+…+akqk=qkSk] S3k－S2k= = [或S3k－S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k+a2q2k+…+akq2k=q2kSk 由(S2k－Sk)2=Sk(S3k－S2k),可得，Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等比數(shù)列. 評述：應注意等比數(shù)列中的公比q的各種取值情況的討論，還易忽視等比數(shù)列的各項應全不為0的前提條件. Ⅳ.課時小結 通過本節(jié)學習，應掌握等比數(shù)列的定義式、通項公式、性質以及前n項求和公式的靈活應用.利用它們解決一些相關問題時，應注意其特點. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P131習題3.5 4，5，6 （二）1.預習內容：課本P132 2.預習提綱：（1）怎樣數(shù)學建模?（2）怎樣解決實際問題？（3）收集有關分期付款的資料. ●板書設計 3.5.2 等比數(shù)列的前n項和(二) 例1 例2 例3 復習回顧 an=a1qn－1(a1,q≠0) Sn= = (q≠1)