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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊一 離散型隨機(jī)變量及其分布列1完整講義（學(xué)生版） 知識(shí)內(nèi)容 1． 離散型隨機(jī)變量及其分布列 ⑴離散型隨機(jī)變量 如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母表示． 如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱為離散型隨機(jī)變量． ⑵離散型隨機(jī)變量的分布列 將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對(duì)應(yīng)的概率列表表示： … … … … 我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量的分布列． 2．幾類典型的隨機(jī)分布 ⑴兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量的分布列為 其中，，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布． 二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點(diǎn)分布． 兩點(diǎn)分布又稱分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分布又稱為伯努利分布． ⑵超幾何分布 一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為時(shí)的概率為 ，為和中較小的一個(gè)． 我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率，從而列出的分布列． ⑶二項(xiàng)分布 1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同．在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn)．次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為． 2．二項(xiàng)分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … … … … 由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式 各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布， 記作． 二項(xiàng)分布的均值與方差： 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則 ，． ⑷正態(tài)分布 1． 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來(lái)越大時(shí)， 直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線． 曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機(jī)變量落在指定的兩個(gè)數(shù)之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積． 2．正態(tài)分布 ⑴定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布． 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱正態(tài)變量． 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，，其中，是參數(shù)，且，． 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差．期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作． 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線． ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． ⑶重要結(jié)論： ①正態(tài)變量在區(qū)間，，內(nèi)，取值的概率分別是，，． ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則． ⑷若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)． ． 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得． 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可． 3．離散型隨機(jī)變量的期望與方差 1．離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望）． 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平． 2．離散型隨機(jī)變量的方差 一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，，…，，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，，…，，則叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差． 離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大小（離散程度）． 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量． 3．為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則； 4． 典型分布的期望與方差： ⑴二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為，在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為． ⑵二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，． ⑶超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布， 則，． 4．事件的獨(dú)立性 如果事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，即， 這時(shí)，我們稱兩個(gè)事件，相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件． 如果事件，，…，相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件后等式仍成立． 5．條件概率 對(duì)于任何兩個(gè)事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)“”來(lái)表示．把由事件與的交（或積），記做（或）． 典例分析 【例1】 以下隨機(jī)變量中，不是離散型隨機(jī)變量的是： ⑴ 某城市一天之內(nèi)發(fā)生的火警次數(shù)； ⑵ 某城市一天之內(nèi)的溫度． 【例2】 下列隨機(jī)變量中，不是離散隨機(jī)變量的是（ ） A．從10只編號(hào)的球 （ 0號(hào)到9號(hào)） 中任取一只，被取出的球的號(hào)碼 B．拋擲兩個(gè)骰子，所得的最大點(diǎn)數(shù) C．區(qū)間內(nèi)任一實(shí)數(shù)與它四舍五入取整后的整數(shù)的差值 D．一電信局在未來(lái)某日內(nèi)接到的電話呼叫次數(shù) 【例3】 寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值． ⑴ 小明要去北京旅游，可能乘火車、汽車，也可能乘飛機(jī)，他的旅費(fèi)分別為元、元和 元，記他的旅費(fèi)為； ⑵ 正方體的骰子，各面分別刻著，隨意擲兩次，所得的點(diǎn)數(shù)之和． 【例4】 寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果． ⑴一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號(hào)為1，2，3，4，5 現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3只球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)； ⑵某單位的某部電話在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)． 注意事件與數(shù)字間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 【例5】 拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為，那么表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（ ） A．一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn) B．兩顆都是2點(diǎn) C．兩顆都是4點(diǎn) D．一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn) 【例6】 如果是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則假命題是（ ） A．取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)數(shù)； B．取所有可能值的概率之和為1； C．取某幾個(gè)值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和； D．在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和