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2019-2020年高中數(shù)學 第四講《數(shù)學歸納法證明不等式》教案（1） 新人教版選修4-5 數(shù)學歸納法證明不等式是高中選修的重點內(nèi)容之一，包含數(shù)學歸納法的定義和數(shù)學歸納法證明基本步驟，用數(shù)學歸納法證明不等式。數(shù)學歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一，在數(shù)列推理能力的考查中占有重要的地位。 本講主要復習數(shù)學歸納法的定義、數(shù)學歸納法證明基本步驟、用數(shù)學歸納法證明不等式的方法：作差比較法、作商比較法、綜合法、分析法和放縮法，以及類比與猜想、抽象與概括、從特殊到一般等數(shù)學思想方法。 在用數(shù)學歸納法證明不等式的具體過程中，要注意以下幾點： （1）在從n=k到n=k+1的過程中，應分析清楚不等式兩端（一般是左端）項數(shù)的變化，也就是要認清不等式的結(jié)構(gòu)特征； （2）瞄準當n=k+1時的遞推目標，有目的地進行放縮、分析； （3）活用起點的位置； （4）有的試題需要先作等價變換。 例題精講 例1、用數(shù)學歸納法證明 分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法定義，證明基本步驟 證明： 1當n=1時，左邊=1-=，右邊==，所以等式成立。 2假設(shè)當n=k時，等式成立， 即。 那么，當n=k+1時， 這就是說，當n=k+1時等式也成立。 綜上所述，等式對任何自然數(shù)n都成立。 點評： 數(shù)學歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法．設(shè)要證命題為P（n）．（1）證明當n取第一個值n0時，結(jié)論正確，即驗證P（n0）正確；（2）假設(shè)n=k（k∈N且k≥n0）時結(jié)論正確，證明當n=k+1時，結(jié)論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對于從n0開始的所有自然數(shù)n都正確． 要證明的等式左邊共2n項，而右邊共n項。f(k)與f(k+1)相比較，左邊增加兩項，右邊增加一項，并且二者右邊的首項也不一樣，因此在證明中采取了將與合并的變形方式，這是在分析了f(k)與f(k+1)的差異和聯(lián)系之后找到的方法。 練習： 1.用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 解析：由題意知n≥3，∴應驗證n=3.答案：C 2.用數(shù)學歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N 證明： (1)當n=1時，421+1+31+2=91能被13整除 (2)假設(shè)當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時， 42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23－42k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2) ∵42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當n=k+1時也成立. 由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除. 例2、求證：． 分析：該命題意圖：本題主要考查應用數(shù)學歸納法證明不等式的方法和一般步驟。 用數(shù)學歸納法證明，要完成兩個步驟，這兩個步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變． 證明： （1）當n=2時，右邊=，不等式成立． （2）假設(shè)當時命題成立，即 ． 則當時，　 　 所以則當時，不等式也成立． 　　　由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立． 點評：本題在由到時的推證過程中， （1）一定要注意分析清楚命題的結(jié)構(gòu)特征，即由到時不等式左端項數(shù)的增減情況； （2）應用了放縮技巧： 例3、已知，， 用數(shù)學歸納法證明：． 證明： （1）當n=2時，，∴命題成立． （2）假設(shè)當時命題成立，即 ． 則當時，　 　 所以則當時，不等式也成立． 　　　由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立． 點評：本題在由到時的推證過程中， （1）不等式左端增加了項，而不是只增加了“”這一項，否則證題思路必然受阻； （2）應用了放縮技巧： 練習： 1、證明不等式： 分析 1、數(shù)學歸納法的基本步驟： 設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1P(n0)成立(奠基) 2假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立. 2、用數(shù)學歸納法證明不等式是較困難的課題，除運用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對目標，合理放縮，從而達到目標． 證明：（1）當n=1時，不等式成立． （2）假設(shè)n=k時，不等式成立，即 那么， 這就是說，n=k+1時，不等式也成立． 根據(jù)（1）（2）可知不等式對n∈N+都成立． 2.求證：用數(shù)學歸納法證明 ． 證明： （1） 當n=1時， ，不等式成立； 當n=2時， ，不等式成立； 當n=3時， ，不等式成立． （2）假設(shè)當時不等式成立，即 ． 則當時，　 ， ∵，∴，（*） 從而， ∴． 即當時，不等式也成立． 　由（1），（2）可知，對一切都成立． 點評： 因為在（*）處，當時才成立，故起點只證n=1還不夠，因此我們需注意命題的遞推關(guān)系式中起點位置的推移． 3．求證：，其中，且． 分析：此題是xx年廣東高考數(shù)學試卷第21題的適當變形，有兩種證法 證法一：用數(shù)學歸納法證明． （1）當m=2時，，不等式成立． （2）假設(shè)時，有， 則 ， ∵，∴，即． 從而， 即時，亦有． 由（1）和（2）知，對都成立． 證法二：作差、放縮，然后利用二項展開式和放縮法證明． ∴當，且時，． 例4、（xx年江西省高考理科數(shù)學第21題第（1）小題，本小題滿分12分） 已知數(shù)列 證明 求數(shù)列的通項公式an. 分析：近年來高考對于數(shù)學歸納法的考查，加強了數(shù)列推理能力的考查。對數(shù)列進行了考查，和數(shù)學歸納法一起，成為壓軸題。 解：（1）方法一 用數(shù)學歸納法證明： 1當n=1時， ∴，命題正確. 2假設(shè)n=k時有 則 而 又 ∴時命題正確. 由1、2知，對一切n∈N時有 方法二：用數(shù)學歸納法證明： 1當n=1時，∴； 2假設(shè)n=k時有成立， 令，在[0，2]上單調(diào)遞增， 所以由假設(shè)有： 即 也即當n=k+1時 成立， 所以對一切． （2）下面來求數(shù)列的通項： 所以 則 又bn=－1，所以 ． 點評： 本題問給出的兩種方法均是用數(shù)學歸納法證明，所不同的是：方法一采用了作差比較法；方法二利用了函數(shù)的單調(diào)性． 本題也可先求出第（2）問，即數(shù)列的通項公式，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性，來證明第（1）問的不等式．但若這樣做，則無形當中加大了第（1）問的難度，顯然不如用數(shù)學歸納法證明來得簡捷． 練習： 1.試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn. 分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式，考查的知識包括等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟. 技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞akc+cka. 證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1) ∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn (2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*) 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n=2時，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴ ②設(shè)n=k時成立，即 則當n=k+1時， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c) ＞()k()=()k+1 根據(jù)①、②可知不等式對n＞1,n∈N*都成立． 二.基礎(chǔ)訓練 一、選擇題 1.已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( ) A.30 B.26 C.36 D.6 解析：∵f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 證明：n=1,2時，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時， f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，則n=k+1時， f(k+1)－f(k)=(2k+9)3k+1－(2k+7)3k =(6k+27)3k－(2k+7)3k =(4k+20)3k=36(k+5)3k－2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36. 答案：C 二、填空題 2.觀察下列式子：…則可歸納出_________. 解析： (n∈N*) (n∈N*) 3.已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________. 、、、 三、解答題 4.若n為大于1的自然數(shù)，求證：. 證明：(1)當n=2時， (2)假設(shè)當n=k時成立，即 所以：對于n∈N*，且n>1時，有 5.已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn; (2)設(shè)數(shù)列{an}的通項an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論. (1)解：設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得,∴bn=3n－2 (2)證明：由bn=3n－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga［(1+1)(1+)…(1+ )］ 而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1的大小比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小. 取n=1，有(1+1)= 取n=2，有(1+1)(1+ 推測：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*) ①當n=1時，已驗證(*)式成立. ②假設(shè)n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞ 則當n=k+1時， ,即當n=k+1時，(*)式成立 由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立. 于是，當a＞1時，Sn＞logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 6.設(shè)實數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,anan+1=－qn,求an表達式，又如果S2n＜3,求q的取值范圍. 解：∵a1a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－, ∵anan+1=－qn,an+1an+2=－qn+1 兩式相除，得,即an+2=qan 于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn…猜想：a2n+1=－qn(n=1,2,3,…) 綜合①②，猜想通項公式為an= 下證：(1)當n=1,2時猜想成立 (2)設(shè)n=2k－1時，a2k－1=2qk－1則n=2k+1時，由于a2k+1=qa2k－1 ∴a2k+1=2qk即n=2k－1成立. 可推知n=2k+1也成立. 設(shè)n=2k時，a2k=－qk,則n=2k+2時，由于a2k+2=qa2k, 所以a2k+2=－qk+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立. 綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立. 這樣所求通項公式為an= S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n) =2(1+q+q2+…+qn-1)－ (q+q2+…+qn) 由于|q|＜1,∴= 依題意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜ 三.鞏固練習 1. （06 年湖南卷. 理 .19本小題滿分14分） 已知函數(shù),數(shù)列{}滿足: 證明:(ⅰ);(ⅱ). 證明: （I）．先用數(shù)學歸納法證明，ｎ＝1,2,3,… (i).當n=1時,由已知顯然結(jié)論成立. (ii).假設(shè)當n=k時結(jié)論成立,即.因為00成立.于是． 　　　　　　　故． 點評：不等式的問題常與函數(shù)、三角、數(shù)列、導數(shù)、幾何等數(shù)學分支交匯，綜合考查運用不等式知識解決 問題的能力，在交匯中尤其以各分支中蘊藏的不等式結(jié)論的證明為重點. 需要靈活運用各分支的數(shù)學知識. 2. （ 05 年遼寧卷.19本小題滿分12分） 已知函數(shù)設(shè)數(shù)列}滿足，數(shù)列}滿足 （Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明； （Ⅱ）證明 分析：本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識，考查運用數(shù)學歸納法解決有關(guān)問題的能力 （Ⅰ）證明：當 因為a1=1， 所以 下面用數(shù)學歸納法證明不等式 （1）當n=1時，b1=，不等式成立， （2）假設(shè)當n=k時，不等式成立，即 那么 所以，當n=k+1時，不等也成立。 根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意n∈N*都成立。 （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知， 所以 故對任意） 3.（05 年湖北卷.理22.本小題滿分14分） 已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項為正，且滿足 （Ⅰ）證明 （Ⅱ）猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）； 分析：本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應用以及歸納遞推的思想. （Ⅰ）證法1：∵當 即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當n≥3時有， ∵ 證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學歸納法證不等式 （i）當n=3時， 由 知不等式成立. （ii）假設(shè)當n=k（k≥3）時，不等式成立，即 則 即當n=k+1時，不等式也成立. 由（i）、（ii）知， 又由已知不等式得 （Ⅱ）有極限，且 （Ⅲ）∵ 則有 故取N=1024，可使當n>N時，都有