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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類(lèi)典型的隨機(jī)分布3完整講義（學(xué)生版） 知識(shí)內(nèi)容 1． 離散型隨機(jī)變量及其分布列 ⑴離散型隨機(jī)變量 如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母表示． 如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量． ⑵離散型隨機(jī)變量的分布列 將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對(duì)應(yīng)的概率列表表示： … … … … 我們稱(chēng)這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，或稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的分布列． 2．幾類(lèi)典型的隨機(jī)分布 ⑴兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量的分布列為 其中，，則稱(chēng)離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布． 二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿(mǎn)足二點(diǎn)分布． 兩點(diǎn)分布又稱(chēng)分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分布又稱(chēng)為伯努利分布． ⑵超幾何分布 一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類(lèi)物品，其中一類(lèi)有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類(lèi)物品件數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為時(shí)的概率為 ，為和中較小的一個(gè)． 我們稱(chēng)離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱(chēng)服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率，從而列出的分布列． ⑶二項(xiàng)分布 1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同．在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱(chēng)它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn)．次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為． 2．二項(xiàng)分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … … … … 由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式 各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱(chēng)這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布， 記作． 二項(xiàng)分布的均值與方差： 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則 ，． ⑷正態(tài)分布 1． 概率密度曲線(xiàn)：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來(lái)越大時(shí)， 直方圖上面的折線(xiàn)所接近的曲線(xiàn)．在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量，則這條曲線(xiàn)稱(chēng)為的概率密度曲線(xiàn)． 曲線(xiàn)位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機(jī)變量落在指定的兩個(gè)數(shù)之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積． 2．正態(tài)分布 ⑴定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布． 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)變量． 正態(tài)變量概率密度曲線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，，其中，是參數(shù)，且，． 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差．期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作． 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線(xiàn)． ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． ⑶重要結(jié)論： ①正態(tài)變量在區(qū)間，，內(nèi)，取值的概率分別是，，． ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則． ⑷若，為其概率密度函數(shù)，則稱(chēng)為概率分布函數(shù)，特別的，，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)． ． 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得． 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線(xiàn)的理解即可． 3．離散型隨機(jī)變量的期望與方差 1．離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱(chēng)期望）． 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫(huà)了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平． 2．離散型隨機(jī)變量的方差 一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，，…，，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，，…，，則叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差． 離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大?。x散程度）． 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量． 3．為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則； 4． 典型分布的期望與方差： ⑴二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為，在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為． ⑵二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，． ⑶超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布， 則，． 4．事件的獨(dú)立性 如果事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，即， 這時(shí)，我們稱(chēng)兩個(gè)事件，相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件． 如果事件，，…，相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件后等式仍成立． 5．條件概率 對(duì)于任何兩個(gè)事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)“”來(lái)表示．把由事件與的交（或積），記做（或）． 典例分析 二項(xiàng)分布的概率計(jì)算 【例1】 已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，則等于 ． 【例2】 甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，比賽采取五局三勝制，無(wú)論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為，則甲以的比分獲勝的概率為（ ） A． B． C． D． 【例3】 某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線(xiàn)投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率 ．（用數(shù)值表示） 【例4】 某人參加一次考試，道題中解對(duì)道則為及格，已知他的解題正確率為， 則他能及格的概率為_(kāi)________（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位小數(shù)） 【例5】 接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為，現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為 ．（精確到） 【例6】 從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到兩次次品的概率（結(jié)果保留位有效數(shù)字）． 【例7】 一臺(tái)型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要人照看的概為，有四臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作，則在一小時(shí)內(nèi)至多有臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是（ ） A． B． C． D． 【例8】 設(shè)在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同，若已知事件至少發(fā)生一次的概率等于，求事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率． 【例9】 我艦用魚(yú)雷打擊來(lái)犯的敵艦，至少有枚魚(yú)雷擊中敵艦時(shí)，敵艦才被擊沉．如果每枚魚(yú)雷的命中率都是，當(dāng)我艦上的個(gè)魚(yú)雷發(fā)射器同是向敵艦各發(fā)射枚魚(yú)雷后，求敵艦被擊沉的概率（結(jié)果保留位有效數(shù)字）． 【例10】 某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中的任意連續(xù)取出2件，求次品數(shù)的概率分布列及至少有一件次品的概率． 【例11】 某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專(zhuān)家，獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審．假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是．若某人獲得兩個(gè)“支持”，則給予萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”，則給予萬(wàn)元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助．求： ⑴ 該公司的資助總額為零的概率； ⑵ 該公司的資助總額超過(guò)萬(wàn)元的概率． 【例12】 某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購(gòu)買(mǎi)．根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用一次性付款的概率是，經(jīng)銷(xiāo)一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)元；若顧客采用分期付款，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)元． ⑴ 求位購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客中至少有位采用一次性付款的概率； ⑵ 求位位顧客每人購(gòu)買(mǎi)件該商品，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不超過(guò)元的概率． 【例13】 某萬(wàn)國(guó)家具城進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，促銷(xiāo)方案是：顧客每消費(fèi)元，便可獲得獎(jiǎng)券一張，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為，若中獎(jiǎng)，則家具城返還顧客現(xiàn)金元．某顧客消費(fèi)了元，得到3張獎(jiǎng)券． ⑴求家具城恰好返還該顧客現(xiàn)金元的概率； ⑵求家具城至少返還該顧客現(xiàn)金元的概率． 【例14】 某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹(shù)各2株．設(shè)甲、乙兩種大樹(shù)移栽的成活率分別為和，且各株大樹(shù)是否成活互不影響．求移栽的4株大樹(shù)中： ⑴至少有1株成活的概率； ⑵兩種大樹(shù)各成活1株的概率． 【例15】 一個(gè)口袋中裝有個(gè)紅球（且）和個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng)． ⑴試用表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率； ⑵若，求三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率； ⑶記三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為．當(dāng)取多少時(shí)，最大？ 【例16】 袋子和中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，從中摸出一個(gè)紅球的概率為． ⑴從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止． ①求恰好摸5次停止的概率； ②記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布． ⑵若兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為，將中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求的值． 【例17】 設(shè)飛機(jī)有兩個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)，飛機(jī)有四個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)，如有半數(shù)或半數(shù)以上的發(fā)動(dòng)機(jī)沒(méi)有故障，就能夠安全飛行，現(xiàn)設(shè)各個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生故障的概率是的函數(shù)，其中為發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后所經(jīng)歷的時(shí)間，為正的常數(shù)，試討論飛機(jī)與飛機(jī)哪一個(gè)安全？（這里不考慮其它故障）． 【例18】 假設(shè)飛機(jī)的每一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)在飛行中的故障率都是，且各發(fā)動(dòng)機(jī)互不影響．如果至少的發(fā)動(dòng)機(jī)能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可以順利地飛行．問(wèn)對(duì)于多大的而言，四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全？ 【例19】 一名學(xué)生每天騎車(chē)上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是． ⑴設(shè)為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列； ⑵設(shè)為這名學(xué)生在首次停車(chē)前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，求的分布列； ⑶求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率． 【例20】 一個(gè)質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲次，正面向上恰為次的可能性不為，而且與正面向上恰為次的概率相同．令既約分?jǐn)?shù)為硬幣在次拋擲中有次正面向上的概率，求． 【例21】 某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為，計(jì)算（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位） ⑴5次預(yù)報(bào)中恰有次準(zhǔn)確的概率； ⑵次預(yù)報(bào)中至少有次準(zhǔn)確的概率； ⑶5次預(yù)報(bào)中恰有次準(zhǔn)確，且其中第次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率； 【例22】 某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第層可以停靠．若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，求至少有兩位乘客在20層下的概率． 【例23】 10個(gè)球中有一個(gè)紅球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第次才取得次紅球的概率． 【例24】 某車(chē)間為保證設(shè)備正常工作，要配備適量的維修工．設(shè)各臺(tái)設(shè)備發(fā)生的故障是相互獨(dú)立的，且每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是．試求： ⑴若由一個(gè)人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率； ⑵若由3個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率，并進(jìn)行比較說(shuō)明哪種效率高． 【例25】 是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱(chēng)該試驗(yàn)組為甲類(lèi)組．設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為．觀察3個(gè)試驗(yàn)組，求至少有1個(gè)甲類(lèi)組的概率．（結(jié)果保留四位有效數(shù)字） 【例26】 已知甲投籃的命中率是，乙投籃的命中率是，兩人每次投籃都不受影響，求投籃3次甲勝乙的概率．（保留兩位有效數(shù)字） 【例27】 若甲、乙投籃的命中率都是，求投籃次甲勝乙的概率．（） 【例28】 省工商局于某年3月份，對(duì)全省流通領(lǐng)域的飲料進(jìn)行了質(zhì)量監(jiān)督抽查，結(jié)果顯示，某種剛進(jìn)入市場(chǎng)的飲料的合格率為，現(xiàn)有甲，乙，丙人聚會(huì)，選用瓶飲料，并限定每人喝瓶，求： ⑴甲喝瓶合格的飲料的概率； ⑵甲，乙，丙人中只有人喝瓶不合格的飲料的概率（精確到）． 【例29】 在一次考試中出了六道是非題，正確的記“√”號(hào)，不正確的記“”號(hào)．若某考生隨手記上六個(gè)符號(hào)，試求：⑴全部是正確的概率； ⑵正確解答不少于4道的概率； ⑶至少答對(duì)道題的概率． 【例30】 某大學(xué)的校乒乓球隊(duì)與數(shù)學(xué)系乒乓球隊(duì)舉行對(duì)抗賽，校隊(duì)的實(shí)力比系隊(duì)強(qiáng)，當(dāng)一個(gè)校隊(duì)隊(duì)員與系隊(duì)隊(duì)員比賽時(shí)，校隊(duì)隊(duì)員獲勝的概率為． 現(xiàn)在校、系雙方商量對(duì)抗賽的方式，提出了三種方案：⑴雙方各出人；⑵雙方各出人；⑶雙方各出人．三種方案中場(chǎng)次比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利．問(wèn)：對(duì)系隊(duì)來(lái)說(shuō)，哪一種方案最有利？ 二項(xiàng)分布的期望與方差 【例31】 已知，求與． 【例32】 已知，，，則與的值分別為（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例33】 已知隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，則它的期望 ， 方差 ． 【例34】 已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，，則二項(xiàng)分布的參數(shù)，的值分別為 ， ． 【例35】 一盒子內(nèi)裝有個(gè)乒乓球，其中個(gè)舊的，個(gè)新的，每次取一球，取后放回，取次，則取到新球的個(gè)數(shù)的期望值是 ． 【例36】 同時(shí)拋擲枚均勻硬幣次，設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望是（ ） A． B． C． D． 【例37】 某服務(wù)部門(mén)有個(gè)服務(wù)對(duì)象，每個(gè)服務(wù)對(duì)象是否需要服務(wù)是獨(dú)立的，若每個(gè)服務(wù)對(duì)象一天中需要服務(wù)的可能性是，則該部門(mén)一天中平均需要服務(wù)的對(duì)象個(gè)數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【例38】 一個(gè)袋子里裝有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黃球，從中同時(shí)取出個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是_________．（用數(shù)字作答） 【例39】 同時(shí)拋擲枚均勻硬幣次，設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望是（ ） A． B． C． D． 【例40】 某批數(shù)量較大的商品的次品率是，從中任意地連續(xù)取出件，為所含次品的個(gè)數(shù)，求． 【例41】 甲、乙、丙人投籃，投進(jìn)的概率分別是． ⑴ 現(xiàn)3人各投籃1次，求3人都沒(méi)有投進(jìn)的概率； ⑵ 用表示乙投籃3次的進(jìn)球數(shù)，求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望． 【例42】 拋擲兩個(gè)骰子，當(dāng)至少有一個(gè)點(diǎn)或點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功． ⑴ 求一次試驗(yàn)中成功的概率； ⑵ 求在次試驗(yàn)中成功次數(shù)的分布列及的數(shù)學(xué)期望與方差． 【例43】 某尋呼臺(tái)共有客戶(hù)人，若尋呼臺(tái)準(zhǔn)備了份小禮品，邀請(qǐng)客戶(hù)在指定時(shí)間來(lái)領(lǐng)?。僭O(shè)任一客戶(hù)去領(lǐng)獎(jiǎng)的概率為．問(wèn)：尋呼臺(tái)能否向每一位顧客都發(fā)出獎(jiǎng)邀請(qǐng)？若能使每一位領(lǐng)獎(jiǎng)人都得到禮品，尋呼臺(tái)至少應(yīng)準(zhǔn)備多少禮品？ 【例44】 某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有，參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響． ⑴任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率； ⑵任選3名下崗人員，記為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布和期望． 【例45】 設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購(gòu)買(mǎi)甲種商品的概率為，購(gòu)買(mǎi)乙種商品的概率為，且購(gòu)買(mǎi)甲種商品與購(gòu)買(mǎi)乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購(gòu)買(mǎi)商品也是相互獨(dú)立的．記表示進(jìn)入商場(chǎng)的3位顧客中至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布及期望． 【例46】 某班級(jí)有人，設(shè)一年天中，恰有班上的（）個(gè)人過(guò)生日的天數(shù)為，求的期望值以及至少有兩人過(guò)生日的天數(shù)的期望值． 【例47】 購(gòu)買(mǎi)某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)元，若投保人在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有人購(gòu)買(mǎi)了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立．已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金元的概率為． ⑴求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率； ⑵設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為元，為保證盈利的期望不小于，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）． 【例48】 某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門(mén)對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查（簡(jiǎn)稱(chēng)安檢）．若安檢不合格，則必須進(jìn)行整改．若整改后復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)行關(guān)閉．設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是，整改后安檢合格的概率是，計(jì)算（結(jié)果精確到）． ⑴恰好有兩家煤礦必須整改的概率； ⑵平均有多少家煤礦必須整改； ⑶至少關(guān)閉一家煤礦的概率． 【例49】 設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作．若一周5個(gè)工作日里均無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤(rùn)0萬(wàn)元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元．求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？（精確到） 【例50】 在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過(guò)程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐．已知只有發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是． ⑴求油罐被引爆的概率； ⑵如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為，求的分布列及． 【例51】 某商場(chǎng)準(zhǔn)備在國(guó)慶節(jié)期間舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商場(chǎng)決定從種服裝商品，種家電商品，種日用商品中，選出種商品進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)． ⑴試求選出的種商品中至少有一種是日用商品的概率； ⑵商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用的促銷(xiāo)方案是有獎(jiǎng)銷(xiāo)售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高元，同時(shí)，若顧客購(gòu)買(mǎi)該商品，則允許有次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都獲得數(shù)額為的獎(jiǎng)金．假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是，請(qǐng)問(wèn)：商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額最高定為多少元，才能使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利? 【例52】 將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^(guò)程中，將次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是． ⑴ 求小球落入袋中的概率； ⑵ 在容器入口處依次放入個(gè)小球，記為落入袋中的小球個(gè)數(shù)，試求的概率和的數(shù)學(xué)期望． 【例53】 一個(gè)袋中有大小相同的標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個(gè)球（拿后放回），記下標(biāo)號(hào)．若拿出球的標(biāo)號(hào)是3的倍數(shù)，則得1分，否則得分． ⑴ 求拿4次至少得2分的概率； ⑵ 求拿4次所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【例54】 某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位的二進(jìn)制數(shù)，其中的各位數(shù)中，，出現(xiàn)的概率為，出現(xiàn)的概率為．記，當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)， ⑴ 求的概率； ⑵ 求的概率分布和期望． 【例55】 某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2 min． ⑴ 求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率； ⑵ 求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望．