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2019-2020年高中數(shù)學(xué)3.1回歸分析（一）教案北師大選修2-3 教學(xué)目標(biāo) （1）通過(guò)實(shí)例引入線性回歸模型，感受產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因； （2）通過(guò)對(duì)回歸模型的合理性等問(wèn)題的研究，滲透線性回歸分析的思想和方法； （3）能求出簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的線性回歸方程． 教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) 線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值的探求方法． 教學(xué)過(guò)程 一．問(wèn)題情境 1． 情境：對(duì)一作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程觀測(cè)了次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，試估計(jì)當(dāng)x=９時(shí)的位置y的值． 時(shí)刻/s 位置觀測(cè)值/cm 根據(jù)《數(shù)學(xué)（必修）》中的有關(guān)內(nèi)容，解決這個(gè)問(wèn)題的方法是： 先作散點(diǎn)圖，如下圖所示： 從散點(diǎn)圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈直線趨勢(shì)，時(shí)間與位置觀測(cè)值y之間有著較好的線性關(guān)系．因此可以用線性回歸方程來(lái)刻畫(huà)它們之間的關(guān)系．根據(jù)線性回歸的系數(shù)公式， 可以得到線性回歸方為，所以當(dāng)時(shí)，由線性回歸方程可以估計(jì)其位置值為 2．問(wèn)題：在時(shí)刻時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置一定是嗎？ 二．學(xué)生活動(dòng) 思考，討論：這些點(diǎn)并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反映與之間的關(guān)系，的值不能由完全確定，它們之間是統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系，的實(shí)際值與估計(jì)值之間存在著誤差． 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．線性回歸模型的定義： 我們將用于估計(jì)值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)； 的實(shí)際值與估計(jì)值之間的誤差記為，稱之為隨機(jī)誤差； 將稱為線性回歸模型． 說(shuō)明：（1）產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有： ①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差； ②忽略了某些因素的影響； ③存在觀測(cè)誤差． （2）對(duì)于線性回歸模型，我們應(yīng)該考慮下面兩個(gè)問(wèn)題： ①模型是否合理（這個(gè)問(wèn)題在下一節(jié)課解決）； ②在模型合理的情況下，如何估計(jì)，？ 2．探求線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值： 對(duì)于問(wèn)題②，設(shè)有對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)線性回歸模型，對(duì)于每一個(gè)，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)，我們希望總誤差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值時(shí)的，值作為，的估計(jì)值，記為，． 注：這里的就是擬合直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離． 用什么方法求，？ 回憶《數(shù)學(xué)3（必修）》“2．4線性回歸方程”P(pán)71“熱茶問(wèn)題”中求，的方法：最小二乘法． 利用最小二乘法可以得到，的計(jì)算公式為 ， 其中， 由此得到的直線就稱為這對(duì)數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計(jì)值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值． 在前面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線性回歸方程中，，． 3． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個(gè)單位，相應(yīng)地平均增加個(gè)單位； 4． 化歸思想（轉(zhuǎn)化思想） 在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識(shí)或散點(diǎn)圖，對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)．下面列舉出一些常見(jiàn)的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式． （1），令，，則有． （2），令，，，則有． （3），令，，，則有． （4），令，，，則有． （5），令，，則有． 四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例1．下表給出了我國(guó)從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)我國(guó)年的人口數(shù)． 年份 人口數(shù)/百萬(wàn) 解：為了簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)，先將年份減去，并將所得值用表示，對(duì)應(yīng)人口數(shù)用表示，得到下面的數(shù)據(jù)表： 作出個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖， 由圖可知，這些點(diǎn)在一條直線附近，可以用線性回歸模型來(lái)表示它們之間的關(guān)系． 根據(jù)公式（1）可得 這里的分別為的估 計(jì)值，因此線性回歸方程 為 由于年對(duì)應(yīng)的,代入線性回歸方程可得（百萬(wàn)），即年的人口總數(shù)估計(jì)為13.23億. 例2． 某地區(qū)對(duì)本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本（萬(wàn)元）與人均產(chǎn)出（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)： 人均 資本 /萬(wàn)元 人均 產(chǎn)出 /萬(wàn)元 （1）設(shè)與之間具有近似關(guān)系（為常數(shù)），試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)和的值； （2）估計(jì)企業(yè)人均資本為萬(wàn)元時(shí)的人均產(chǎn)出（精確到）． 分析：根據(jù)，所具有的關(guān)系可知，此問(wèn)題不是線性回歸問(wèn)題，不能直接用線性回歸方程處理．但由對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可知，只要對(duì)的兩邊取對(duì)數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系． 解（1）在的兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得，設(shè)，，，則．相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如圖所示． 1 人均資本/萬(wàn)元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 2 人均產(chǎn)出/萬(wàn)元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66 45.2 3 0.47712 0.60206 0.74036 0.81291 0.8451 0.90309 0.95424 1.02119 1.0607 1.14613 4 0.6149 0.66932 0.93852 1.04179 1.11528 1.15927 1.24304 1.40586 1.42586 1.65514 仿照問(wèn)題情境可得，的估計(jì)值，分別為由可得，即，的估計(jì)值分別為和． （2）由（1）知．樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖（見(jiàn)書(shū)本 頁(yè)） 當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元），故當(dāng)企業(yè)人均資本為萬(wàn)元時(shí)，人均產(chǎn)值約為萬(wàn)元． 2．練習(xí)：練習(xí)第題． 五．回顧小結(jié)： 1． 線性回歸模型與確定性函數(shù)相比，它表示與之間是統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系（非確定性關(guān)系）其中的隨機(jī)誤差提供了選擇模型的準(zhǔn)則以及在模型合理的情況下探求最佳估計(jì)值，的工具； 2． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個(gè)單位，相應(yīng)地平均增加個(gè)單位； 3．求線性回歸方程的基本步驟． 六．課外作業(yè)：第題． 回歸分析(2) 教學(xué)目標(biāo) （1）通過(guò)實(shí)例了解相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，感受相關(guān)性檢驗(yàn)的作用； （2）能對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，并解決簡(jiǎn)單的回歸分析問(wèn)題； （3）進(jìn)一步了解回歸的基本思想、方法及初步應(yīng)用． 教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)及其顯著性檢驗(yàn)的基本思想、操作步驟． 教學(xué)過(guò)程 一．問(wèn)題情境 1．情境：下面是一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，若求出相應(yīng)的線性回歸方程，求出的線性回歸方程可以用作預(yù)測(cè)和估計(jì)嗎？ 2．問(wèn)題：思考、討論：求得的線性回歸方程是否有實(shí)際意義． 二．學(xué)生活動(dòng) 對(duì)任意給定的樣本數(shù)據(jù)，由計(jì)算公式都可以求出相應(yīng)的線性回歸方程，但求得的線性回歸方程未必有實(shí)際意義．左圖中的散點(diǎn)明顯不在一條直線附近，不能進(jìn)行線性擬合，求得的線性回歸方程是沒(méi)有實(shí)際意義的；右圖中的散點(diǎn)基本上在一條直線附近，我們可以粗略地估計(jì)兩個(gè)變量間有線性相關(guān)關(guān)系，但它們線性相關(guān)的程度如何，如何較為精確地刻畫(huà)線性相關(guān)關(guān)系呢？ 這就是上節(jié)課提到的問(wèn)題①，即模型的合理性問(wèn)題．為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們需要對(duì)變量與的線性相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)（簡(jiǎn)稱相關(guān)性檢驗(yàn)）． 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式： 對(duì)于，隨機(jī)取到的對(duì)數(shù)據(jù)，樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為 ． 2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： （1）； （2）越接近與1，，的線性相關(guān)程度越強(qiáng)； （3）越接近與0，，的線性相關(guān)程度越弱． 可見(jiàn)，一條回歸直線有多大的預(yù)測(cè)功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)． 3．對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的步驟： 相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值與1接近到什么程度才表明利用線性回歸模型比較合理呢？這需要對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)．對(duì)此，在統(tǒng)計(jì)上有明確的檢驗(yàn)方法，基本步驟是： （1）提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：變量，不具有線性相關(guān)關(guān)系； （2）如果以的把握作出推斷，那么可以根據(jù)與（是樣本容量）在附錄（教材P111）中查出一個(gè)的臨界值（其中稱為檢驗(yàn)水平）； （3）計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)； （4）作出統(tǒng)計(jì)推斷：若，則否定，表明有的把握認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若，則沒(méi)有理由拒絕，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒(méi)有充分理由認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系． 說(shuō)明：1．對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般取檢驗(yàn)水平，即可靠程度為． 2．這里的指的是線性相關(guān)系數(shù)，的絕對(duì)值很小，只是說(shuō)明線性相關(guān)程度低，不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系． 3．這里的是對(duì)抽樣數(shù)據(jù)而言的．有時(shí)即使，兩者也不一定是線性相關(guān)的．故在統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理解釋． 4．對(duì)于上節(jié)課的例1,可按下面的過(guò)程進(jìn)行檢驗(yàn)： （1）作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：與不具有線性相關(guān)關(guān)系； （2）由檢驗(yàn)水平與在附錄中查得； （3）根據(jù)公式得相關(guān)系數(shù)； （4）因?yàn)?，即，所以有﹪的把握認(rèn)為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,線性回歸方程為是有意義的． 四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例1．下表是隨機(jī)抽取的對(duì)母女的身高數(shù)據(jù),試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討與之間的關(guān)系． 母親身高 女兒身高 解：所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可以看出，這些點(diǎn)在一條直線附近， 因?yàn)?，? ， ， ， 所以， 由檢驗(yàn)水平及，在附錄中查得，因?yàn)?所以可以認(rèn)為與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．線性回歸模型中的估計(jì)值分別為 ， 故對(duì)的線性回歸方程為． 例2．要分析學(xué)生高中入學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，在高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和高一年級(jí)期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦卤恚? 學(xué)生編號(hào) 入學(xué)成績(jī) 高一期末成績(jī) （1）計(jì)算入學(xué)成績(jī)與高一期末成績(jī)的相關(guān)系數(shù)； （2）如果與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程； （3）若某學(xué)生入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉?，試估?jì)他高一期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)． 解：(1)因?yàn)椋? ，， ． 因此求得相關(guān)系數(shù)為． 結(jié)果說(shuō)明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的； 小結(jié)解決這類問(wèn)題的解題步驟： （1）作出散點(diǎn)圖，直觀判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近； （2）求相關(guān)系數(shù)； （3）由檢驗(yàn)水平和的值在附錄中查出臨界值，判斷與是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系； （4）計(jì)算，，寫(xiě)出線性回歸方程． 2．練習(xí)：練習(xí)第題． 五．回顧小結(jié)： 1．相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式與回歸系數(shù)計(jì)算公式的比較； 2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)； 3．探討相關(guān)關(guān)系的基本步驟． 六．課外作業(yè)：習(xí)題3.2第題．