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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)》教案3 蘇教版必修4 一、課題：任意角的三角函數(shù)（1） 二、教學(xué)目標(biāo)：1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義； 2.已知角終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角的各三角函數(shù)值； 3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。 三、教學(xué)重、難點(diǎn)：根據(jù)定義求三角函數(shù)值。 四、教學(xué)過(guò)程： （一）復(fù)習(xí)：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？ 在中，設(shè)對(duì)邊為，對(duì)邊為，對(duì)邊為，銳角的正弦、余弦、正切依次為 ． 角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對(duì)三角函數(shù)重新定義。 （二）新課講解： 1．三角函數(shù)定義 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個(gè)任意角，終邊上任意一點(diǎn)（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么 （1）比值叫做的正弦，記作，即； （2）比值叫做的余弦，記作，即； （3）比值叫做的正切，記作，即； （4）比值叫做的余切，記作，即； （5）比值叫做的正割，記作，即； （6）比值叫做的余割，記作，即． 說(shuō)明：①的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，的終邊沒(méi)有表明一定是正角或負(fù)角，以及的大小，只表明與的終邊相同的角所在的位置； ②根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角，六個(gè)比值不以點(diǎn)在的終邊上的位置的改變而改變大?。? ③當(dāng)時(shí)，的終邊在軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，所以與無(wú)意義；同理，當(dāng)時(shí)，與無(wú)意義； ④除以上兩種情況外，對(duì)于確定的值，比值、、、、、分別是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角為自變量，一比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。 2．三角函數(shù)的定義域、值域 函 數(shù) 定 義 域 值 域 3．例題分析 例1 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的六個(gè)函數(shù)制值。 解：因?yàn)?，所以，于? ；； ； ； ； ． 例2 求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值：（1）；（2）；（3）． 解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以 ， ， ， 不存在， ， 不存在。 （2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以 ， ， ， 不存在， ， 不存在。 （3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以 ， ， 不存在， ， 不存在， ． 例3 已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，求的六個(gè)三角函數(shù)值。 解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以， 當(dāng)； ；； 當(dāng)； ；． 4．三角函數(shù)的符號(hào) 由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知： ①正弦值對(duì)于第一、二象限為正（），對(duì)于第三、四象限為負(fù)（）； ②余弦值對(duì)于第一、四象限為正（），對(duì)于第二、三象限為負(fù)（）； ③正切值對(duì)于第一、三象限為正（同號(hào)），對(duì)于第二、四象限為負(fù)（異號(hào)）． 說(shuō)明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。 5．誘導(dǎo)公式 由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。 即有：， ，其中． ， （練習(xí)）確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)： （1）；（2）；（3）；（4）． 五、小結(jié)：1．任意角的三角函數(shù)的定義； 2．三角函數(shù)的定義域、值域； 3．三角函數(shù)的符號(hào)及誘導(dǎo)公式。 六、作業(yè)： 補(bǔ)充：已知點(diǎn)，在角的終邊上，求、、的值。 1.2.1 任意角的三角函數(shù)（2） 一、課題：任意角的三角函數(shù)（2） 二、教學(xué)目標(biāo)：1.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、定義域與值域、符號(hào)、及誘導(dǎo)公式； 2.利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值； 3.利用三角函數(shù)線比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍。 三、教學(xué)重點(diǎn)：正弦、余弦、正切線的概念及利用。 四、教學(xué)過(guò)程： （一）復(fù)習(xí)：（提問(wèn)） 1．三角函數(shù)的定義及定義域、值域： 練習(xí)1：已知角的終邊上一點(diǎn)，且，求的值。 解：由題設(shè)知，，所以，得， 從而，解得或． 當(dāng)時(shí)，， ； 當(dāng)時(shí)，，； 當(dāng)時(shí)，，． 2．三角函數(shù)的符號(hào)： 練習(xí)2：已知且， （1）求角的集合；（2）求角終邊所在的象限；（3）試判斷的符號(hào)。 3．誘導(dǎo)公式： 練習(xí)3：求下列三角函數(shù)的值： （1）， （2）， （3）． （二）新課講解： 當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足時(shí)，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。 1．單位圓：圓心在圓點(diǎn)，半徑等于單位長(zhǎng)的圓叫做單位圓。 2．有向線段： 坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。 規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為負(fù)。 3．三角函數(shù)線的定義： 設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)P， 過(guò)作軸的垂線，垂足為；過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反 向延 長(zhǎng)線交與點(diǎn). （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅳ） （Ⅲ） 由四個(gè)圖看出： 當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段，于是有 ， ， ． 我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。 說(shuō)明： ①三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直線段；余弦 線在軸上；正切線在過(guò)單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。 ②三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)。 ③三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的為負(fù)值。 ④三條有向線段的書(shū)寫(xiě)：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。 4．例題分析： 例1 作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。 （1）； （2）； （3）； （4）． 解：圖略。 例2 利用單位圓寫(xiě)出符合下列條件的角的范圍。 （1）； （2）； （3）且； （4）； （5）且． 答案：（1）；（2）； （3）；（4）； （5）． 五、小結(jié)：1．三角函數(shù)線的定義；2．會(huì)畫(huà)任意角的三角函數(shù)線 3．利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。 六、作業(yè)： 1．利用余弦線比較的大?。? 2．若，則比較、、的大??； 3．分別根據(jù)下列條件，寫(xiě)出角的取值范圍： （1） ； （2） ； （3）