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2019-2020年高中數學知識精要 17.立體幾何教案 新人教A版 1．三個公理和三條推論： （1）公理1：一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內。這是判斷直線在平面內的常用方法。 （2）公理2：經過不在同一直線上的三點有且只有一個平面。推論1：經過直線和直線外一點有且只有一個平面。推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面。推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面。公理2和三個推論是確定平面的依據。 （3）公理3、如果兩個平面有兩個公共點，它們有無數個公共點，而且這無數個公共點都在同一條直線上。這是判斷幾點共線（證這幾點是兩個平面的公共點）和三條直線共點（證其中兩條直線的交點在第三條直線上）的方法之一。 如（1）在空間四點中，三點共線是四點共面的_____條件（答：充分非必要）； （2）給出命題：①若A∈l，A∈α，B∈l ，B∈α，則 l α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β＝AB；③若lα　，A∈l，則Aα　④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共線，則α與β重合。上述命題中，真命題是_____（答：①②④）； （3）長方體中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在線段BD，A1C1上各有一點P、Q，在PQ上有一點M，且PM=MQ，則M點的軌跡圖形的面積為_______（答：24） 2．直觀圖與三視圖 （1）直觀圖的畫法（斜二側畫法規(guī)則）：在畫直觀圖時，要注意：①使，所確定的平面表示水平平面。②已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中保持長度和平行性不變，平行于軸的線段平行性不變，但在直觀圖中其長度為原來的一半。 如（1）用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形的形狀是（　?。ù穑篈） （2）已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為_____（答：） （2）三視圖畫法規(guī)則 高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊 長對正：主視圖與俯視圖的長應對正 寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應相等 3．空間直線的位置關系： （1）相交直線――有且只有一個公共點。 （2）平行直線――在同一平面內，沒有公共點。 （3）異面直線――不在同一平面內，也沒有公共點。 如（1）空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點，則直線EG和FH的位置關系_____（答：相交）； （2）給出下列四個命題：①異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；②兩異面直線，如果平行于平面，那么不平行平面；③兩異面直線，如果平面，那么不垂直于平面；④兩異面直線在同一平面內的射影不可能是兩條平行直線 。其中正確的命題是_____（答：①③） 4．判定線線平行的方法： （1）公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；（找一線和這兩線都平行） （2）線面平行的性質：如果一條直線和一個平面平行，那么經過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行； （3）面面平行的性質：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行； （4）線面垂直的性質：如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。 （5）利用中位線的性質； 5．兩直線垂直的判定：轉化為證線面垂直； 相交垂直可以考慮勾股定理. 6．直線與平面的位置關系：（1）直線在平面內；（2）直線與平面相交。其中，如果一條直線和平面內任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。注意：任一條直線并不等同于無數條直線；（3）直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。 如（1）下列命題中，正確的是 Ａ、若直線平行于平面內的一條直線b , 則 // 　 Ｂ、若直線垂直于平面的斜線b在平面內的射影，則⊥b　　 Ｃ、若直線垂直于平面,直線b是平面的斜線，則與b是異面直線　　 Ｄ、若一個棱錐的所有側棱與底面所成的角都相等，且所有側面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐（答：D）； （2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且總保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是___________（答：線段B1C）。 7．直線與平面平行的判定和性質： （1）判定： ①判定定理：如果平面內一條直線和這個平面平面平行，那么這條直線和這個平面平行； （在平面內找一條直線與已知直線平行：找一平面過已知直線與已知平面相交，則交線就是） ②面面平行的性質：若兩個平面平行，則其中一個平面內的任何直線與另一個平面平行。 （找一平面過已知直線與已知平面平行） 另外，如下方法有時也用：α、β表示平面，a、b表示直線 ① （定義法）：通常反證 ②. （2）性質：如果一條直線和一個平面平行，那么經過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行。在遇到線面平行時，常需作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質。 如（1）α、β表示平面，a、b表示直線，則a∥α的一個充分不必要條件是　 A、α⊥β，a⊥β　　　　　　B、α∩β＝b，且a∥b　 C、a∥b且b∥α　 D、α∥β且aβ（答：D）； （2）正方體ABCD-A１B１C１D１中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM=DN，求證：MN∥面AA1B1B。 8．直線和平面垂直的判定和性質： （1）判定： ①判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。 ②兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直。 ③一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面 ④（2）性質：①如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內所有直線都垂直。②如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。 如（1）如果命題“若∥z，則”不成立，那么字母x、y、z在空間所表示的幾何圖形一定是_____（答：x、y是直線，z是平面）； （2）已知a，b，c是直線，α、β是平面，下列條件中能得出直線a⊥平面α的是　 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂα，ｃα　　B、a⊥b ，ｂ∥α　C、α⊥β，ａ∥β　 D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D）； （3）AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求證：BD⊥平面AEF。 9．平面與平面的位置關系： （1）平行――沒有公共點；（2）相交――有一條公共直線。 10．兩個平面平行的判定和性質： （1）判定： ①判定定理：一個如果平面內有兩條相交直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行。 一面內找兩相交直線與另一平面平行（線面面面）. ②依據垂直于同一直線的兩平面平行來判定 . ③利用面面平行傳遞性依定義 ④采用反證法證明兩平面沒有公共點. （2）性質：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。 如（1）是兩個不重合的平面，在下列條件中，不能判定平面的條件是 A、是內一個三角形的兩條邊，且　　 B、內有不共線的三點到的距離都相等　　 C、都垂直于同一條直線　　 D、是兩條異面直線，，且（答：B）； （2）給出以下六個命題：①垂直于同一直線的兩個平面平行；②平行于同一直線的兩個平面平行；③平行于同一平面的兩個平面平行；④與同一直線成等角的兩個平面平行；⑤一個平面內的兩條相交直線于另一個平面內的兩條相交直線平行，則這兩個平面平行；⑥兩個平面分別與第三個平面相交所得的兩條交線平行，則這兩個平面平行。其中正確的序號是___________（答：①③⑤）； （3）正方體ABCD-A１B１C１D１中AB=。①求證：平面AD1B1∥平面C1DB；②求證：A1C⊥平面AD1B1 ；③求平面AD1B1與平面C1DB間的距離（答：）； 11．兩個平面垂直的判定和性質： （1）判定：①判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（在一個面中找另一個面的一條垂線：在一面內作兩面交線的垂線，即為所求）； ②定義法：找一個平面與這兩個平面都垂直相交，證明兩交線交角為直角； （2）性質：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。 如（1）三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點O，P到三個面的距離分別為3、4、5，則OP的長為_____（答：5）； （2）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足___________時，平面MBD⊥平面PCD（答：）； （3）過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60，∠BSC＝90，求證：平面ABC⊥平面BSC。 特別指出：立體幾何中平行、垂直關系的證明的基本思路是利用線面關系的轉化，即： 如（1）已知直線平面，直線平面，給出下列四個命題：① ②；③；④。其中正確的命題是_____（答：①③）； （2）設是兩條不同直線，是兩個不同平面，給出下列四個命題： ①若則； ②若，則； ③若，則或； ④若則。其中正確的命題是_____（答：①③④） 12．棱柱： （1）棱柱的分類： ①按側棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱（側棱不垂直于底面）和直棱柱（側棱垂直于底面），其中底面為正多邊形的直棱柱叫正棱柱。 ②按底面邊數的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形…，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，…； （2）棱柱的性質： ①棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等，直棱柱的各個側面都是矩形，正棱柱的各個側面都是全等的矩形。 ②與底面平行的截面是與底面對應邊互相平行的全等多邊形。 ③過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形。 如（1）斜三棱柱A1B1C1－ABC，各棱長為，A1B=A1C=，則側面BCC1B1是____形，棱柱的高為_____（答：正方；）； （2）下列關于四棱柱的四個命題：①若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；②若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；③若四個側面兩兩全等，則該四棱柱為直棱柱；④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直棱柱。其中真命題的為_____（答：②④）。 13．平行六面體： （1）定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體； （2）幾類特殊的平行六面體：{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}； （3）性質：①平行六面體的任何一個面都可以作為底面； ②平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分； ③平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和； ④長方體的一條對角線的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和。 如長方體三度之和為a+b+c＝6，全面積為11，則其對角線為_____（答：5） 14．棱錐的性質：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來棱錐的體積比等于頂點至截面距離與棱錐高的立方比。 如若一個錐體被平行于底面的平面所截，若截面面積是底面積的，則錐體被截面截得的一個小棱錐與原棱錐體積之比為_____（答：1∶8） 15．正棱錐：（1）定義：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。特別地，側棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體。 如四面體中，有如下命題：①若，則；②若分別是的中點，則的大小等于異面直線與所成角的大小；③若點是四面體外接球的球心，則在面上的射影是外心；④若四個面是全等的三角形，則為正四面體。其中正確的是___（答：①③） （2）性質：①正棱錐的各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側高）也相等。 ②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內切圓的半徑）、側棱、側棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長可組成四個直角三角形。 如圖，正棱錐的計算集中在四個直角三角形（特征三角形）中：，，其中分別表示底面邊長、側棱長、側面與底面所成的角和側棱與底面所成的角。 如（1）在三棱錐的四個面中，最多有___個面為直角三角形（答：4）； （2）把四個半徑為R的小球放在桌面上，使下層三個，上層一個，兩兩相切，則上層小球最高處離桌面的距離為________（答：）。 特別提醒：熟練掌握正三棱錐、正四棱錐中的線面位置關系和數量位置關系。 16．棱臺：一個棱錐被平行于底面的平面截去小錐以后所剩留部分的幾何體，叫做棱臺 正棱臺： 由正棱錐截得的棱臺叫正棱臺 正棱臺的特性，尤其是正棱臺的上、下底面半徑、邊心距和側棱、斜高和臺高所形成的三個直角梯形和兩個直角三角形，在解決問題中往往起到關鍵的作用。直角梯形可以轉化為直角三角形，這四個直角三角形包含了正棱臺的主要元素，底面邊長、邊心距、高、斜高、側棱以及側面與底面、側棱與底面所成的角。應用它們之間的關系就可以解決正棱臺的有關計算問題。 特別提醒：由于棱臺是以棱錐用平行于底面的平面截得，所以棱臺與棱錐有相當密切的關系，學習中應引起足夠的重視. 如.正四棱臺的高是17cm，兩底面的邊長分別是4cm和16cm。求這個棱臺的側棱的長和斜高（如圖）。 解：設棱臺兩底面的中心分別是和，和BC的中點分別是和。連結、、、、、，則和都是直角梯形。 ∵=4㎝， AB=16㎝， ∴=2㎝， OE=8㎝， =cm, OB=. 因此=， = 即 這個棱臺的側棱長是19cm，斜高是 17、直棱柱、正棱錐與正棱臺的側面積（各個側面面積之和）： （1）直棱柱：直棱柱的側面積＝底面周長側棱長. （2）正棱錐：正棱錐的側面積＝底面周長斜高。 （3）正棱臺：正棱臺的側面積＝（上底面周長+下底面周長）斜高. 提醒：（1）直棱柱、正棱錐與正棱臺的側面積公式是通過其側面展開圖獲得的. （2）全面積（也稱表面積）是各個表面面積之和，故棱柱的全面積＝側面積＋2底面積；棱錐的全面積＝側面積＋底面積，棱臺的全面積＝側面積＋（上底面積+下底面積）. 如（1）已知正四棱錐P－ABCD的高為4，側棱與底面所成的角為60，則該正四棱錐的側面積是_______（答：）； （2）已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H.設四面體EFGH的表面積為T，則等于______（答：）。 18、柱、錐、臺、球的體積： （1）柱體：體積＝底面積高，特別地，直棱柱的體積＝底面積側棱長。 如（1）設長方體的三條棱長分別為a、b、c，若長方體所有棱的長度之和為24，一條對角線長度為5，體積為2，則等于__（答：）； （2）斜三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側棱長為，側棱AA1和AB、AC都成45的角，則棱柱的側面積為___，體積為___（答：；）。 （2）錐體：體積＝底面積高。 如（1）已知棱長為1的正方體容器ABCD—A1B1C1D1中，在A1B、A1B1、B1C1的中點E、F、G處各開有一個小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對容積的影響忽略不計）是_____（答：）； （2）在正三棱錐A-BCD中，E、F是AB、BC的中點，EF⊥DE，若BC=，則正三棱錐A-BCD的體積為__（答：）； （3）已知正三棱錐底面邊長為，體積為，則底面三角形的中心到側面的距離為___（答：）； （4）在平面幾何中有：Rt△ABC的直角邊分別為a,b，斜邊上的高為h，則。類比這一結論，在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩點互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱錐P—ABC的高為h，則結論為______________（答：）． 特別提醒：求多面體體積的常用技巧是割補法（割補成易求體積的多面體）。 補形：三棱錐三棱柱平行六面體； 分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關系是 （答：1：2：3）和等積變換法(平行換點、換底)和比例(性質轉換)法等. 如（1）用平面去截三棱錐，與三條側棱交于三點，若，，則多面體的體積為_____（答：7）；（2）直三棱柱ABC—A1B1C1的體積為，P、Q分別是側棱AA1、CC1上的點，且AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積為 （答：）； （3）如圖的多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABC∥DEFG，平面BEF∥ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則該多面體的體積為________（答：4）。 19．球的截面的性質：①用任意平面截球所得的截面是一個圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個截面垂直．②如果用R和r分別表示球的半徑和截面圓的半徑，d表示球心到截面的距離，則，即球的半徑，截面圓的半徑，和球心到截面的距離組成一個直角三角形，有關球的計算問題，常歸結為解這個直角三角形． 提醒：球與球面的區(qū)別（球不僅包括球面，還包括其內部）。 如（1）在半徑為10的球面上有三點，如果，則球心到平面的距離為______（答：）； （2）已知球面上的三點A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，則球心到平面ABC的距離為______（答：12） 20、球的體積和表面積公式：V＝。 如（1）在球內有相距9cm的兩個平行截面，面積分別為49cm2、400cm2，則球的表面積為______（答：）； （2）三條側棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐P-ABC內接于球O，求球O的表面積與體積。（答：表面積，體積）； （3）已知直平行六面體的各條棱長均為3，，長為2的線段的一個端點在上運動，另一端點在底面上運動，則的中點的軌跡（曲面）與共一頂點的三個面所圍成的幾何體的體積為為______（答：）； 21．圓柱、圓錐、圓臺的性質 　　(1)圓柱的性質：①是連心線垂直圓柱的底面；②是三個截面的性質——平行于底面的截面是與底面全等的圓；軸截面是一個以上、下底面圓的直徑和母線所組成的矩形；平行于軸線的截面是一個以上、下底的圓的弦和母線組成的矩形． 　　(2)圓錐的性質： 　?、倨叫杏诘酌娴慕孛鎴A的性質： 　　截面圓面積和底面圓面積的比等于從頂點到截面和從頂點到底面距離的平方比． 　?、谶^圓錐的頂點，且與其底面相交的截面是一個由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形，其面積為： 　　易知，截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角，事實上，由BC≥AB，VC=VB=VA可得∠AVB≤BVC． 　　由于截面三角形的頂角α不大于軸截面的頂角θ． 　　所以，當軸截面的頂角θ≤90，有0＜α≤θ≤90，即有 　　當軸截面的頂角θ＞90時，軸截面的面積卻不是最大的，這是因為，若90≤α＜θ＜180時，1≥sinα＞sinθ＞0．截面的面積的最大值為. 　?、蹐A錐的母線l，高h和底面圓R的半徑組成一個直徑三角形，圓錐的有關計算問題，一般都要歸結為解這個直角三角形，特別是關系式. 　　　(3)圓臺的性質，都是從“圓臺為截頭圓錐”這個事實推得的，但必須明確： ①是連心線垂直圓柱的底面 　?、趫A臺的母線l，高h和上、下兩底圓的半徑r、R，組成一個直角梯形，且有 　　 圓臺的有關計算問題，常歸結為解這個直角梯形． ③圓臺的母線共點，所以任兩條母線確定的截面為一等腰梯形，但是，與上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形． 如圓臺上、下底面半徑分別為r，R，平行于底面的截面把圓臺分成側面積相等的兩個部分，則以此截面為底面，圓臺所在的圓錐的頂點為頂點的圓錐與該圓臺的體積比為______． 22．折疊問題：要將折疊前后的兩個圖形對照考察，弄清所涉及的元素在折疊前后的數量關系或位置關系． 23．幾何體表面內兩點間的最短距離問題： 　?。?）柱、錐、臺的表面都可以平面展開，這些幾何體表面內兩點間最短距離，就是其平面內展開圖內兩點間的線段長． 如已知正方體的棱長為1，是的中點，是上的一點，則的最小值是_____（答：）； 由于球面不能平面展開，所以求球面內兩點間的球面距離是一個全新的方法，這個最短距離是過這兩點大圓的劣弧長． （2）球面距離（球面上經過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度）： 求球面上兩點A、B間的距離的步驟：①計算線段AB的長；②計算球心角∠AOB的弧度數；③用弧長公式計算劣弧AB的長。 如（1）設地球半徑為，在北緯圈上有兩地，它們的緯度圈上的弧長等于，求兩地間的球面距離（答：）； （2）球面上有3點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經過這3點的小圓的周長為，那么這個球的半徑為______（答：）； （3）三棱錐的三個側面兩兩垂直，，若四個點都在同一球面上，則此球面上兩點A、B之間的球面距離是_________（答：）。 24．“切”“接”問題：對簡單多面體、旋轉體的“切”“接”問題，一般是通過選擇能夠包含各元素間的關系的一個截面（多為軸截面），轉化為平面圖形或采用“等積法”來解決．應特別注意截面圖形與直觀圖的聯系，并注意兩者構成元素的異同． 對于球的內接外切問題，作適當的截面――既要能反映出位置關系，又要反映出數量關系。 如（1）甲球與某立方體的各個面都相切，乙球與這個立方體的各條棱都相切，丙球過這個立方體的所有頂點，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為_____（答：1∶2∶3）； （2）若正四面體的棱長為，則此正四面體的外接球的表面積為_____（答：）； （3）已知一個半徑為的球中有一個各條棱長都相等的內接正三棱柱，則這一正三棱柱的體積是_____（答：）； 25．（理科）空間向量之空間角： （1）異面直線所成的角：范圍： 轉化為相應方向向量的夾角，但必須注意角的范圍，必要時進行處理 設、分別為異面直線a、b的方向向量, 則兩異面直線所成的角，則,= （2）直線和平面所成的角：范圍：； 設是斜線l的方向向量，是平面的法向量， 則斜線l與平面所成的角,則， （平面的法向量與直線的方向向量的夾角，即為所求） （3）二面角：范圍： 法一、在內，在內，其方向如圖，則二面角的平面角，= 法二、轉化為兩個平面的法向量所成的角，若二面角的兩個半平面的法向量都是指向二面角的內部或外部，二面角的兩個半平面的法向量的夾角的補角即為所求；若二面角的兩個半平面的法向量一個指向二面角的內部，一個指向外部，二面角的兩個半平面的法向量的夾角即為所求 具體地： 設是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內側，另一個指向外側，則二面角的平面角，=，若都是指向二面角的內部或外部，，， 則兩異面直線所成的角，則,= 附：空間角的幾何求法 （1）異面直線所成角的求法：計算異面直線所成角的關鍵是平移（中點平移，頂點平移以及補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)現兩條異面直線間的關系）轉化為相交兩直線的夾角。如（1）正四棱錐的所有棱長相等，是的中點，那么異面直線與所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方體AC1中，M是側棱DD1的中點，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一點，則OP與AM所成的角的大小為____（答：90）；（3）已知異面直線a、b所成的角為50，P為空間一點，則過P且與a、b所成的角都是30的直線有且僅有____條（答：2）；（4）若異面直線所成的角為，且直線，則異面直線所成角的范圍是____（答：）； （2）直線和平面所成的角：（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角。（2）求法：作出直線在平面上的射影；（3）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，則AD與平面AA1C1C所成的角為______（答：arcsin）；（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點，則棱 A1B1 與截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：）； （3）是從點引出的三條射線，每兩條的夾角都是，則直線與平面所成角的余弦值為______（答：）； （4）若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角θ，則sinθ的值為______（答：）。 （3）二面角：（1）平面角的三要素：①頂點在棱上；②角的兩邊分別在兩個半平面內；③角的兩邊與棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：①定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；②三垂線法：過其中一個面內一點作另一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：過一點作棱的垂面，則垂面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的求法：①轉化為求平面角；②面積射影法：利用面積射影公式，其中為平面角的大小。對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積射影法）。 如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小為________（答：）； （2）將∠A為60的棱形ABCD沿對角線BD折疊，使A、C的距離等于BD，則二面角A-BD-C的余弦值是______（答：）； （3）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對角線BD1＝8，BD1與側面B1BCC1所成的為30，則二面角C1—BD1—B1的大小為______（答：）； （4）從點P出發(fā)引三條射線PA、PB、PC，每兩條的夾角都是60，則二面角B-PA-C的余弦值是______（答：）； 找垂面--找交線--作交線的垂線 過一點作平面垂線的一種方法 （5）二面角α--β的平面角為120，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB=AC=BD=1，則CD的長______（答：2）； （6）ABCD為菱形，∠DAB＝60，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，則面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小為______（答：）。 26．（理科）空間向量之空間距： （1）點到平面的距離 附：空間距離的幾何求法 （1）異面直線的距離：①直接找公垂線段而求之；②轉化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和另一條直線平行。③轉化為求平面到平面的距離，即過兩直線分別作相互平行的兩個平面。如已知正方體ABCD- A1B1C1D1的棱長為，則異面直線BD與B1C的距離為_____（答：）。 （2）點到直線的距離：一般作出垂線再求解。 如（1）等邊三角形的邊長為，是邊上的高，將沿折起，使之與所在平面成的二面角，這時點到的距離是_____（答：）； （2）點P是120的二面角α--β內的一點，點P到α、β的距離分別是3、4，則P到的距離為　_______（答：）；（3）在正方體ABCD—A1B1C1D1的側面AB1內有一動點P到棱A1B1與棱BC的距離相等，則動點P所在曲線的形狀為_______（答：拋物線弧）。 （3）點到平面的距離：①垂面法：借助于面面垂直的性質來作垂線，其中過已知點確定已知面的垂面是關鍵；（找一面過該點且與已知平面垂直，在所找到的面內過該點作兩面交線的垂線，垂線段的長即為所求）； ②體積法：不作出公垂線，轉化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解（注意找三棱錐、換底） ③等價轉移法。必要時可通過平行線（面）轉化為另外一點與面的距離 如（1）長方體的棱，則點到平面　的距離等于______（答：）； （2）在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則A1到平面MBD的距離為______（答：a）。 （4）直線與平面的距離：前提是直線與平面平行，利用直線上任意一點到平面的距離都相等，轉化為求點到平面的距離。 （5）兩平行平面之間的距離：轉化為求點到平面的距離。 （特別強調：立體幾何中有關角和距離的計算，要遵循“一作，二證，三計算”的原則） 27．你熟悉下列結論嗎？ ⑴三個平面兩兩相交得到三條交線，如果其中的兩條交線交于一點，那么第三條交線也經過這一點； ⑵從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上； ⑶如果兩個相交平面都與第三個平面垂直，那么它們的交線也垂直于第三個平面； ⑷在三棱錐中：①側棱長相等(側棱與底面所成角相等)頂點在底上射影為底面外心；②側棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底上射影為底面垂心；③頂點到底面三角形各邊的距離相等(側面與底面所成角相等)且頂點在底面上的射影在底面三角形內頂點在底上射影為底面內心.提醒：③若頂點在底面上的射影在底面三角形外，則頂點在底上射影為底面的旁心。 ⑸正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；正四面體的外接球半徑R與內切球半徑r之比為R：r＝3：1。 ⑹（理科）若正棱錐的側面與底面所成的角為，則。如若正三棱錐的一個側面的面積與底面面積之比為，則這個三棱錐的側面和底面所成的二面角等于__（答：） ⑺（理科）AB和平面所成的角是，AC在平面內，AC和AB的射影成，設∠BAC=,則coscos=cos； ⑻（理科）若長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為，則cos2+cos2+cos2=1；若長方體的體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2。 如（1）長方體中若一條對角線與過同一頂點的三個面中的二個面所成的角為30、45，則與第三個面所成的角為____________（答：30）； （2）若一條對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為，則的關系為____________。（答：）