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x y 65 43 21 -1-2 -3-4 -6 -4 -2 2 4 6 8 2019-2020 年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 9.函數(shù)教案 新人教 A 版 1.映射: AB 的概念.在理解映射概念時(shí)要注意：⑴A 中元素必須都有象且唯一；⑵B 中元 素不一定都有原象(B 中元素可以無原象) ，但原象不一定唯一（A 中不同元素在 B 中可以有 相同的象）. 如①設(shè)是集合到的映射，下列說法正確的是 A、中每一個(gè)元素在中必有象 B、中每一個(gè)元素在中必有原象 C、中每一個(gè)元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（答：A） ； ②點(diǎn)在映射的作用下的象是，則在作用下點(diǎn)的原象為點(diǎn)________（答：（2，－1） ） ； ③若， ， ，則到的映射有 個(gè)，到的映射有 個(gè)，到的函數(shù)有 個(gè)（答：81,64,81） ； 更一般地：若 A 中含有 m 個(gè)元素 B 中含有 n 個(gè)元素，從 A 到 B 能建立多少個(gè)映射？（） ④設(shè)集合 ，映射滿足條件“對(duì)任意的，是奇數(shù)” ，這樣的映射{,0}1,2345}MN?? 有____個(gè)（答：12） ； ⑤設(shè)是集合 A 到集合 B 的映射，若 B={1,2}，則一定是_____（答：或{1}）. 2.函數(shù): AB 是特殊的映射.特殊在定義域 A 和值域 B 都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像 與軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有任意個(gè). 如①已知函數(shù)， ，那么集合 中所含元素的個(gè)數(shù)有 {(,)|(),}{(,)|1}xyfxFxy???? 個(gè)（答：0 或 1） ； ②若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則＝ （答：2） 3. 同一函數(shù)的概念.構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則.而值域可由定義域 和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù). 如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函 數(shù)” ，那么解析式為，值域?yàn)閧4，1}的“天一函數(shù)”共有______個(gè)（答：9） 4.分段函數(shù)的概念.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來表 示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù).注意分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).在 求分段函數(shù)的值時(shí)，一定首先要判斷屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；求分 段函數(shù)的定義域,先選定所有分段的區(qū)間,然后取這些區(qū)間的并集所得到的集合就是分段函數(shù) 的定義域,分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集. 如①設(shè)函數(shù) ， 2(1).)4()xf????????? 則使得的自變量的取值范圍是__________（答：） ； ②已知，則不等式的解集是________（答：） ③作出分段函數(shù)的圖像 解：根據(jù)“零點(diǎn)分段法”去掉絕對(duì)值符號(hào)，即： = ??? ???123)(x12????x 作出圖像如圖. ④作出函數(shù)的函數(shù)圖像 解： ????????03)(232xxy 步驟：（1）作出函數(shù) y=?2x?3 的圖象 （2）將上述 圖象 x 軸下方部分以 x 軸為對(duì)稱軸向上翻折 （上方部分不 變） ，即得 y=|?2x?3| 的圖象 ⑤作函數(shù) y=|x-2|(x＋1)的圖像 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 分析 顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點(diǎn)有些困難，除去對(duì)其函數(shù)性質(zhì)分析外， 我們還應(yīng)想到對(duì)已知解析式進(jìn)行等價(jià)變形． 解：(1)當(dāng) x≥2 時(shí)，即 x-2≥0 時(shí)， 當(dāng) x＜249)1(2)1(22?????xxxy 時(shí)，即 x-2＜0 時(shí)， 49)1(22???xy ∴ ??? ??????????92142xy??x 這是分段函數(shù)， 每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出 5.求函數(shù)解析 式的常用方法： （1）待定系 數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表 達(dá)形式有三種： 一般式：； 頂點(diǎn)式：； 零點(diǎn)式：，要 會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù) 的表達(dá)形式）. 如已知為二次函數(shù)，且 ，且 f(0)=1,圖象在 x 軸上截得的線段長為 2,求的解析式 .（答：） （2）代換（配湊）法――已知形如的表達(dá)式，求的表達(dá)式. 如①已知求的解析式（答： ） ；242(),[,2]fx????? ②若，則函數(shù)=_____（答：） ； ③若函數(shù)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ，那么當(dāng)時(shí)，=________（答：）. 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即的定義域應(yīng)是的值域. （3）方程的思想――已知條件是含有及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等 式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組. 如①已知，求的解析式（答：） ； ②已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+= ,則= __（答：）. (4)分段函數(shù)解析式分段求解. 如函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象如右圖所示，則求此函數(shù)的解析式. 解： ． 1(0)()2xf????????? (5)實(shí)際應(yīng)用問 題 把長為的鐵絲 折成矩形，設(shè)矩形的一邊長為，面積 為，求矩形面 積與一邊長的函數(shù)關(guān)系式. 解：設(shè)矩形一邊長 為，則另一邊長為， ∴（） ． 說明：在解決實(shí)際問題時(shí)，求出函數(shù)解析式后，一定要寫出定義域. 6. 求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則）： （1）約定：如果不單獨(dú)指出函數(shù)的定義域是什么集合，那么函數(shù)的定義域就是能使這 個(gè)式子有意義的所有實(shí)數(shù) x 的集合. 有這個(gè)約定，我們?cè)谟媒馕鍪浇o出函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則的同 時(shí)也就給定了定義域，而求函數(shù)的定義域就是在這個(gè)意義之下寫出使式子有意義的所有實(shí)數(shù) 組成的集合. 根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)中且，三角形中, 最 大角，最小角等. 如①函數(shù)的定義域是____(答：)； ②若函數(shù)的定義域?yàn)?R，則_______(答：)； ③函數(shù)的定義域是， ，則函數(shù)的定義域是_ (答：)； （4）設(shè)函數(shù)，①若的定義域是 R，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若的值域是 R，求實(shí)數(shù)的取值 范圍（答：①；②） （2）根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍. （3）復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知的定義域?yàn)?其復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式解出即可； 若已知的定義域?yàn)?求的定義域，相當(dāng)于當(dāng)時(shí)，求的值域（即的定義域）. 如①若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)開_______. （答：） ； ②若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_______（答：[1,5]） ． (4) 求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？ ??如 ： ， 求fxefxx??1(). ??∴ ()??210 用解析式 y=f(x)表示的函數(shù)的定義域時(shí)，常有以下幾種情況： ①若 f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集 R； ②若 f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于 0 的實(shí)數(shù)集； ③若 f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于 0 的實(shí)數(shù)集合； ④若 f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的 實(shí)數(shù)集合； ⑤若 f(x)是由實(shí)際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題. 7.求函數(shù)值域（最值）的方法： （1）配方法——二次函數(shù) 主要有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)） ，對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值 問題. 如①求函數(shù) 的值域（答：[4,8]） ；25,[1,2]yx???? ②當(dāng)時(shí)，函數(shù) 在時(shí)取得最大值，則的取值范圍是___（答：） ；3)(4)(?xaf ③已知的圖象過點(diǎn)（2,1） ，則 的值域?yàn)開_（答：[2, 5]）212(()Fffx?? 注：給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題的解題步驟 （1）配方—找軸 （2）判斷軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置—確定在所給區(qū)間上的單調(diào)性（軸的左右單調(diào)性不同） （3）畫出草圖 （4）結(jié)合草圖，利用單調(diào)性得出結(jié)論. 求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對(duì)稱軸 與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系. 閉區(qū)間上的二次函數(shù)必有最值，最值在端點(diǎn)處或頂點(diǎn)處取得. （2）換元法 通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)（如 ） ，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型， 如①的值域?yàn)開____（答：） ； ②的值域?yàn)開____（答：） （令，.運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元的范圍） ； ③ 的值域?yàn)開___（答：） ；sincosincyxx??A ④的值域?yàn)開___（答：） ； （2）函數(shù)有界性法――直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來 確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性. 如求函數(shù)， ，的值域（答： 、 （0,1） 、 ） ； （3）單調(diào)性法――利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性. 如求， ，的值域?yàn)開_____（答：、 、 ） ； （4）數(shù)形結(jié)合法――函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、 等等， 如①已知點(diǎn)在圓上，求及的取值范圍（答：、 ） ； ②求函數(shù)的值域（答：） ； ③求函數(shù) 及 的值域（答：、 ）2261345yxx???? 注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差 時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在軸的同側(cè). （5）函數(shù)的值域是自變量 X 在定義域中取每一個(gè)值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合，也就是 對(duì) Y 在且只在值域中的每一個(gè)取值，X 在定義域中一定有一個(gè)值之對(duì)應(yīng).這樣求函數(shù)的值域就 是把函數(shù)解析式看作關(guān)于 X 的方程后，此方程在定義域內(nèi)有解的參數(shù) Y 的取值范圍.從而在 函數(shù)與方程間建立了一種關(guān)系“適當(dāng)條件下可互（但不能解決方程根的個(gè)數(shù)問題，方程根的 個(gè)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題（一曲線、一直線，曲線定，直線動(dòng)）一元二次函 數(shù)根的個(gè)數(shù)問題可考慮根的分布來解）由此： ①y=型的所謂反函數(shù)法(也可按分母整理，用反比例函數(shù)處理 同樣處理的有 y=) ②y=型的判別式法：第一步，判斷分子分母有無公因式;第二步，有時(shí)約分化為上面 y=型， 但要注意定義域改變所引起的后果，無時(shí)考察是否自然定義.第三步，自然定義的可考慮判 別式法，但注意二次項(xiàng)是否為零，不是的不能簡單用判別式法，而應(yīng)化為在定義域內(nèi)有解， 用根的分布來解. （6）不等式法――利用基本不等式求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積 為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。 如設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是____________.（答：） 。 （7）導(dǎo)數(shù)法――一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如求函數(shù)，的最小值。 （答：－48） 提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值 與值域之間有何關(guān)系？ 8.函數(shù)的單調(diào)性。 （1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法： ①在解答題中常用： 定義法：取值――作差――變形――定號(hào) 注：為便于判斷差的符號(hào)對(duì)差變形的方向是：完全平方的和或因式的積. 導(dǎo)數(shù)法:在區(qū)間內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則，請(qǐng)注意兩 者的區(qū)別所在。 如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是____(答：))； ②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意，型函數(shù)的圖象和單 調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為，減區(qū)間為. 如（1）若函數(shù) 在區(qū)間（－∞，4） 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______(答：))； （2）已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_____（答：）； （3）若函數(shù) 的值域?yàn)?R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是????log40,1afxax???????????且 ______(答：且))； ③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是先外后內(nèi)、同增異減. ??如 ： 求 的 單 調(diào) 區(qū) 間yx???log12 ,log221uyxu????， 則解 ： 設(shè) ， ） 上 是 減 函 數(shù) ，，在 （又 ?0l21u 0-02??xu得即由 為 增 函 數(shù) ，時(shí) ，，當(dāng) xx?2-]( 為 減 函 數(shù)時(shí) ，，當(dāng) ux?2-)1[ ∴ 為，單調(diào)遞減區(qū)間為.??的 單 調(diào) 增 區(qū) 間ylog21??? 提醒：判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性. ??（ 內(nèi) 層 ）（ 外 層 ） ， 則，令 )()()( xfyxufy??? 先外后內(nèi)：先求外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再在其基礎(chǔ)上求內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性. 同增異減：當(dāng) ， .同 時(shí)內(nèi) 、 外 層 函 數(shù) 單 調(diào) 性 相 ????為 減 函 數(shù)為 增 函 數(shù) ， 否 則 )()(xfxf ? （2）特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，如若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的 取值范圍（答：）；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號(hào)“”和“或”；三是單調(diào)區(qū) 間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示． （3）你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大?。虎诮獠坏仁剑虎矍髤?shù) 范圍）. 如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（答：） 9.函數(shù)的奇偶性。 （1）具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！為此確定函數(shù)的 奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如若函數(shù)， 為奇函數(shù)，其中，則的值是 （答：0） ； （2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷 其奇偶性）： ①定義法：如判斷函數(shù)的奇偶性____（答：奇函數(shù)） 。 ②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：或（） 。 如判斷的奇偶性___.（答：偶函數(shù)） ③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。 （3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)： ①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原 點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反. ②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù). ③若為偶函數(shù)，則. 如若定義在 R 上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且=2，則不等式的解集為______. （答：） ④若奇函數(shù)定義域中含有 0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇 函數(shù)，則實(shí)數(shù)＝____（答：1）. ⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù) 的和（或差） ”。 如設(shè)是定義域?yàn)?R 的任一函數(shù)， ， 。 ①判斷與的奇偶性； ②若將函數(shù)，表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，則 ＝____（答：①為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；②＝） ⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”. u O 1 2 x ⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集）. ⑧在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶 函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 上 的 奇 函 數(shù) ，，為 定 義 在如 ： )1()(?xf ，時(shí) ，，當(dāng) 142)()10(???xfx??求 在 ， 上 的 解 析 式 。 ?142)(10????xfxx，，， 則，（ 令 又 為 奇 函 數(shù) ， ∴f x() 10.函數(shù)的周期性??又 ， ∴ ，， ）ffxx()()()02410????????? (1) 由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足，則是周期為的周期函數(shù)”得： ①函數(shù)滿足，則是周期為 2 的周期函數(shù)； ②若恒成立，則； ③若 恒成立，則.1()(0)fxafx??? 提醒：（1）函數(shù)滿足， ， ， (m、n、p∈R,且 p≠0,) 則函數(shù)是周期為 2 的周期函數(shù)； （2）函數(shù)對(duì) x∈R 時(shí),對(duì)于非零實(shí)數(shù) a,恒有 f（x+a）=,則 f(x)是周期函數(shù)且 3a 是函數(shù) 的一個(gè)周期. 如(1) 設(shè)是上的奇函數(shù)， ，當(dāng)時(shí)， ，則等于_____(答：)； (2)定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則的大小關(guān) 系為_________(答：)； （3）已知是偶函數(shù)，且=993，=是奇函數(shù)，求的值(答：993)； （4）設(shè)是定義域?yàn)?R 的函數(shù)，且，又，則= . (答：) （2）類比“三角函數(shù)圖像”得： ①若圖像有兩條對(duì)稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為； 特別地：若 y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線 x=a 對(duì)稱，則 f(x)是周期為的周期函 數(shù)； ②若圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心，則是周期函數(shù)，且一周期為； ③如果函數(shù)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為； 特別地：若 y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線 x=a 對(duì)稱，則 f(x)是周期為的周期函數(shù)； 如已知定義在上的函數(shù)是以 2 為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有__________個(gè)實(shí)數(shù)根 （答：5） 11.常見的圖象變換 （1）平移變換：圖進(jìn)標(biāo)退（變的只是解析式中的）. ①函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位得到的。注意 x 的系數(shù)非 1 時(shí)的情 況. 如設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，的圖像由的圖像向右平移 1 個(gè)單位得到，則為 __________(答： ) ②函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得到的。 如（1）若，則函數(shù)的最小值為____(答：2)； （2）要得到的圖像，只需作關(guān)于_____軸對(duì)稱的圖像，再向____平移 3 個(gè)單位而得到 (答：；右)； （3）函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有____個(gè)(答：2) ③函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個(gè)單位得到的； ④函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個(gè)單位得到的； 如將函數(shù)的圖象向右平移 2 個(gè)單位后又向下平移 2 個(gè)單位,所得圖象如果與原圖象關(guān)于 直線對(duì)稱,那么 (答：C) （2）伸縮變換：圖伸標(biāo)縮（變的只是解析式中的）. ⑤函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。 如（1）將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變） ，再將此圖像沿軸方 向向左平移 2 個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為_____(答：)； （2）如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對(duì)稱軸方程是_______(答：)． ⑥函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的. 12. 函數(shù)的對(duì)稱性。 ①滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。 特別地：若 x∈R 時(shí)，f(a+x)=f(a－x)恒成立，則 y=f(x)圖像關(guān)于直線 x=a 對(duì)稱； 如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則＝_____(答：)； 函數(shù) y=f(x－a)與 y=f(b－x)的圖像關(guān)于直線 x=對(duì)稱； 函數(shù) y=f(a+x)與 y=f(b－x)的圖像關(guān)于直線 x=對(duì)稱. 特別地 對(duì) 稱的 圖 象 關(guān) 于 直 線與 axxaf ??)2() （1）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，1） ，則的反函數(shù)的圖象過點(diǎn) 。 （2）由函數(shù)的圖象，通過怎樣的變換得到的圖象？ ②點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對(duì)稱曲線方程為； ③點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對(duì)稱曲線方程為； ④點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為； ⑤點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為。特別地，點(diǎn)關(guān)于直線的 對(duì)稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為 ；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為。 如己知函數(shù),若的圖像是,它關(guān)于直線對(duì)稱圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是 ___________（答：） ； ⑥曲線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱曲線的方程為。特別地 如若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，3）對(duì)稱，fxaa())()與 的 圖 象 關(guān) 于 點(diǎn) ， 對(duì) 稱?20 則＝______（答：） ⑦形如 的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線(由分母為零(,)xbycdbc??? 確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對(duì)稱中心是點(diǎn)。 如已知函數(shù)圖象與 關(guān)于直線對(duì)稱，且圖象關(guān)于點(diǎn)2:11Cyax?? （2，－3）對(duì)稱，則 a 的值為______（答：2） ⑧的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對(duì)稱圖形，然后擦去 軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的 圖象關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到。 如（1）作出函數(shù)及的圖象； （2）若函數(shù)是定義在 R 上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于____對(duì)稱 （答：軸） 提醒：（1）從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對(duì)稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法 轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問題；（2）證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心 （對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；（3）證明圖像與的對(duì)稱性，需證兩方面：①證明上任意 點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在上；②證明上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì) 稱點(diǎn)仍在上。 如（1）已知函數(shù)。求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；（2）設(shè)曲線 C 的方程是,將 C 沿軸, 軸正方向分別平行移動(dòng)單位長度后得曲線。①寫出曲線的方程（答：） ；②證明曲線 C 與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。 13. 函數(shù)零點(diǎn)與二分法 （1）函數(shù)零點(diǎn)定義：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)． 若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點(diǎn)通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)； 若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點(diǎn)通常稱為變號(hào)零點(diǎn)． （2）函數(shù)零點(diǎn)的意義： 函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根函 數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)． （3）函數(shù)零點(diǎn)的求法： ①（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根； ②（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函 數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)． 提醒：很多情況下，通過導(dǎo)數(shù)來確定圖像的大致形狀. （4）圖像連續(xù)的函數(shù)的零點(diǎn)的性質(zhì) ①函數(shù)的圖像是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點(diǎn)時(shí)（變號(hào)零點(diǎn)） ，函數(shù)值變號(hào). 函數(shù)零點(diǎn)存在定理：函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)的，且，那么函數(shù)在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn). ②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的函數(shù)值保持同號(hào) （5）二分法及步驟： 對(duì)于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分 為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下： 1．確定區(qū)間， ，驗(yàn)證，給定精度； 2．求區(qū)間，的中點(diǎn)； 3．計(jì)算：二分法 通過每次把 f(x)的零點(diǎn)所在的小區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近函數(shù)的零 點(diǎn)，以求得零點(diǎn)的近似值，這種方法叫做兩分法. 若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；○ 1 若<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)） ；○ 2 若0 1 [1，1.5] <0 0.5 [1.25，1.5] 0,a≠1,b>0,n∈R +); (2) ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); (3) ( a>0,a≠1,N>0 ); 提醒：指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則要求參與運(yùn)算的指數(shù)對(duì)數(shù)式是同底的. (4) 的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”記憶; 注意公式從)0,;1,(logllog????NMaMNaa )0,;1,(logllog????NMaaa 左→右應(yīng)用，也注意右→左運(yùn)用，以及在此過程中的對(duì)的要求. 強(qiáng)調(diào)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則時(shí)要注意各字母值的范圍 a＞0，a≠1，M，N＞0 (4) 的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”記憶; 口訣“同大異小” 可用來比較與 1 的大小. 如（1）的值為________(答：8)； （2）的值為________(答：) 15. 指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較： （1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0 或 1） ； （4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較。 比較兩個(gè)冪值的大小是常見的題型，也是一類容易出錯(cuò)的問題 .解決這類問題，首先要 分清是底數(shù)相同還是指數(shù)相同，如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；如果指數(shù)相同， 可利用圖像（時(shí)，底大圖高） ；如果底數(shù)、指數(shù)都不同，則要利用中間變量 基本思維程序是： ①中間量（0 再 1） ②化為同底利用單調(diào)性（可引進(jìn)中間量：以保證同底、同真或同指） ③作差或作商法（必要時(shí)可轉(zhuǎn)化） 16.指數(shù)函數(shù) 與對(duì)數(shù)函數(shù) y= （a > 0，a≠1） ①互為反函數(shù)，②其單調(diào)性與 a 的大小有關(guān)， ③圖像特征： 底大圖高， 底大圖低 . 滿 足那的 圖 像 如 圖 所 示函 數(shù) dcbayxy xxa,,,logl ?? C 17.冪函數(shù)及其性質(zhì)（只要求 ）.1223,,yxyx?? （1）都過點(diǎn)（1，1）. （2）時(shí)，圖像過點(diǎn)（0，0） ，且在第一象限中逐漸上升，時(shí)，圖像不過（0，0） ，且在 第一象限中逐漸下降. 提醒：可用來判斷指數(shù)是正還是負(fù). （3）時(shí)，指大圖高. 時(shí)，指大圖低. 18.函數(shù)的圖象和性質(zhì)； 定義域 值域 奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)性 在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增； 19. 函數(shù)的應(yīng)用 （1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟： ①審題――認(rèn)真讀題，確切理解題意，明確問題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系； ②建模――通過抽象概括，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，別忘了注上符合實(shí)際意義 的定義域； ③解模――求解所得的數(shù)學(xué)問題； ④回歸――將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問題中去。 （2）常見的函數(shù)模型有：①建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；②建立分段函數(shù)模型；③ 建立指數(shù)函數(shù)模型；④建立型。 20. 抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條 件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題。求解抽象函數(shù)問題的 常用方法是： （1）借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù) ： ①正比例函數(shù)型： ---------------； ②冪函數(shù)型： --------------，--------------； ③指數(shù)函數(shù)型： ------------，--------------； ④對(duì)數(shù)函數(shù)型： ---------------，--------------； ⑤三角函數(shù)型： ----------- 。 ----- 如已知是定義在 R 上)2()(2)(1211 xfxfxff ????? 的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為 T，則____（答：0） （2）利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等）進(jìn)行演繹探究： 如（1）設(shè)函數(shù)表示除以 3 的余數(shù)，則對(duì)任意的，都有 A、 B、 C、 o y x D、 （答：A） ； （2）設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集 R 上的函數(shù)，且滿足 ，如果， ，求)(1()2(xffxf??? （答：1） ； （3）如設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，證明：直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸； （4）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。如果，且，則的值的符號(hào)是 ____（答：負(fù)數(shù)） （3）利用一些方法（如賦值法（令＝0 或 1，求出或、令或等） 、遞推法、反證法等） 進(jìn)行邏輯探究。 如（1）若，滿足，則的奇偶性是______（答：奇函數(shù)） ； （2）若，滿足，則的奇偶性是______（答：偶函數(shù)） ； （3）已知是定義在上的 奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖像如右圖所示，那么不 等式的解集是 _____________ （答：） ； （4）設(shè)的定義域?yàn)椋瑢?duì) 任意，都有，且時(shí)， ，又，①求證為減函數(shù)； ②解不等式.（答：） ． O 1 2 3 x y