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2019-2020年高中數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)冪的運算》教案13（第二課時） 蘇教版必修1 導入新課 思路1.碳14測年法.原來宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14,并與氧結合成二氧化碳后進入所有活組織,先為植物吸收,再為動物吸收,只要植物和動物生存著,它們就會不斷地吸收碳14在機體內(nèi)保持一定的水平.而當有機體死亡后,即會停止吸收碳14,其組織內(nèi)的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失.對于任何含碳物質(zhì)只要測定剩下的放射性碳14的含量,便可推斷其年代(半衰期:經(jīng)過一定的時間,變?yōu)樵瓉淼囊话?.引出本節(jié)課題:指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分數(shù)指數(shù)冪. 思路2.同學們,我們在初中學習了整數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì),那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是肯定的.這就是本節(jié)的主講內(nèi)容,教師板書本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分數(shù)指數(shù)冪. 推進新課 新知探究 提出問題 (1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是什么？ (2)觀察以下式子,并總結出規(guī)律：a＞0, ①==a2=a; ②==a4=a; ③==a3=a; ④==a5=a. (3)利用(2)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎？ ,,,(x>0,m,n∈N*,且n>1). (4)你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？ (5)你能推廣到一般的情形嗎？ 活動：學生回顧初中學習的整數(shù)指數(shù)冪及運算性質(zhì),仔細觀察,特別是每題的開始和最后兩步的指數(shù)之間的關系,教師引導學生體會方根的意義,用方根的意義加以解釋,指點啟發(fā)學生類比(2)的規(guī)律表示,借鑒(2)(3),我們把具體推廣到一般,對寫正確的同學及時表揚,其他學生鼓勵提示. 討論結果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：an=aaa…a,a0=1(a≠0);00無意義; a-n=(a≠0);aman=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn. (2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根.實質(zhì)上①=a,②=a,③=a,④=a結果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫成了,,,,形式上變了,本質(zhì)沒變. 根據(jù)4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時,根式可以寫成分數(shù)作為指數(shù)的形式（分數(shù)指數(shù)冪形式）. (3)利用(2)的規(guī)律,=5,=7,=a,=x. (4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x. 結果表明方根的結果和分數(shù)指數(shù)冪是相通的. (5)如果a>0,那么am的n次方根可表示為m=a,即a=m(a>0,m,n∈N*,n>1). 綜上所述,我們得到正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義,教師板書: 規(guī)定:正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1). 提出問題 ①負整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的? ②你能得出負分數(shù)指數(shù)冪的意義嗎? ③你認為應怎樣規(guī)定零的分數(shù)指數(shù)冪的意義? ④綜合上述,如何規(guī)定分數(shù)指數(shù)冪的意義? ⑤分數(shù)指數(shù)冪的意義中,為什么規(guī)定a＞0,去掉這個規(guī)定會產(chǎn)生什么樣的后果? ⑥既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢? 活動：學生回想初中學習的情形,結合自己的學習體會回答,根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負整數(shù)指數(shù)冪的意義來類比,把正分數(shù)指數(shù)冪的意義與負分數(shù)指數(shù)冪的意義融合起來,與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),教師在黑板上板書,學生合作交流,以具體的實例說明a＞0的必要性,教師及時作出評價. 討論結果：①負整數(shù)指數(shù)冪的意義是:a-n=(a≠0),n∈N*. ②既然負整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的,類比正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義. 規(guī)定:正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a==(a>0,m,n∈N*,n>1). ③規(guī)定:零的分數(shù)指數(shù)冪的意義是:零的正分數(shù)次冪等于零,零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義. ④教師板書分數(shù)指數(shù)冪的意義.分數(shù)指數(shù)冪的意義就是: 正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,n∈N*,n>1),正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分數(shù)次冪等于零,零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義. ⑤若沒有a＞0這個條件會怎樣呢? 如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現(xiàn)了截然不同的結果,這只說明分數(shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時是無意義的.因此在把根式化成分數(shù)指數(shù)時,切記要使底數(shù)大于零,如無a＞0的條件,比如式子3a2=|a|,同時負數(shù)開奇次方是有意義的,負數(shù)開奇次方時,應把負號移到根式的外邊,然后再按規(guī)定化成分數(shù)指數(shù)冪,也就是說,負分數(shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù),而不是負數(shù),負數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上. ⑥規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù). 有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):對任意的有理數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì): （1）aras=ar+s(a>0,r,s∈Q), （2）(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q), （3）(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 我們利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解決一些問題,來看下面的例題. 應用示例 思路1 例1求值:①8;②25③()-5;④(). 活動：教師引導學生考慮解題的方法,利用冪的運算性質(zhì)計算出數(shù)值或化成最簡根式,根據(jù)題目要求,把底數(shù)寫成冪的形式,8寫成23,25寫成52, 寫成2-1,寫成()4,利用有理數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解答,完成后,把自己的答案用投影儀展示出來. 解：①8=(23)=2=22=4; ②25=(52)=5=5-1=; ③()-5=(2-1)-5=2-1(-5)=32; ④()=()=()-3=. 點評：本例主要考查冪值運算,要按規(guī)定來解.在進行冪值運算時,要首先考慮轉化為指數(shù)運算,而不是首先轉化為熟悉的根式運算,如8===4. 例2用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式. a3;a2;(a>0). 活動：學生觀察、思考,根據(jù)解題的順序,把根式化為分數(shù)指數(shù)冪,再由冪的運算性質(zhì)來運算,根式化為分數(shù)指數(shù)冪時,要由里往外依次進行,把握好運算性質(zhì)和順序,學生討論交流自己的解題步驟,教師評價學生的解題情況,鼓勵學生注意總結. 解：a3=a3a=a=a; a2=a2a=a=a; =(aa)=(a)=a. 點評：利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行根式運算時,其順序是先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪,再由冪的運算性質(zhì)來運算.對于計算的結果,不強求統(tǒng)一用什么形式來表示,沒有特別要求,就用分數(shù)指數(shù)冪的形式來表示,但結果不能既有分數(shù)指數(shù)又有根式,也不能既有分母又有負指數(shù). 例3計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）: （1）(2ab)(-6ab)(-3ab); （2）(mn)8. 活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征,然后分析,四則運算的順序是先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號的先算括號內(nèi)的,整數(shù)冪的運算性質(zhì)及運算規(guī)律擴充到分數(shù)指數(shù)冪后,其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序,再解答,把自己的答案用投影儀展示出來,相互交流,其中要注意到（1）小題是單項式的乘除運算,可以用單項式的乘除法運算順序進行,要注意符號,第（2）小題是乘方運算,可先按積的乘方計算,再按冪的乘方進行計算,熟悉后可以簡化步驟. 解：（1）原式=［2(-6)(-3)］ab=4ab0=4a; （2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=. 點評：分數(shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積,而是根式的另一種寫法.有了分數(shù)指數(shù)冪,就可把根式轉化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則進行運算了. 本例主要是指數(shù)冪的運算法則的綜合考查和應用. 變式訓練 求值: (1)3; (2). 解：(1)3=3333=3=32=9； (2)=(=(===. 例4計算下列各式: （1）(); （2）(a＞0）. 活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征,然后分析,化為同底.利用分數(shù)指數(shù)冪計算,在第（1）小題中,只含有根式,且不是同次根式,比較難計算,但把根式先化為分數(shù)指數(shù)冪再計算,這樣就簡便多了,第（2）小題也是先把根式轉化為分數(shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算,最后寫出解答. 解：（1）原式=(25-125)25=(5-5)5 =5-5=5-5=-5; （2）==a=a=. 思路2 例1比較,,的大小. 活動：學生努力思考,積極交流,教師引導學生解題的思路,由于根指數(shù)不同,應化成統(tǒng)一的根指數(shù),才能進行比較,又因為根指數(shù)最大的是6,所以我們應化為六次根式,然后,只看被開方數(shù)的大小就可以了. 解：因為==,=,而125＞123＞121,所以>>. 所以>>. 點評：把根指數(shù)統(tǒng)一是比較幾個根式大小的常用方法. 例2求下列各式的值: (1); (2)2. 活動：學生觀察以上幾個式子的特征,既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式,應把根式轉化為分數(shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算,如果根式中根指數(shù)不同,也應化成分數(shù)指數(shù)冪,然后分析解答,對(1)應由里往外=,對(2)化為同底的分數(shù)指數(shù)冪,及時對學生活動進行評價. 解：(1)=［34(3)］=(3)=(3)=3=; (2)=23()(322)=23=23=6. 例3計算下列各式的值: （1）［(ab2)-1(ab-3)(b)7］; （2）; (3). 活動：先由學生觀察以上三個式子的特征,然后交流解題的方法,把根式用分數(shù)指數(shù)冪寫出,利用指數(shù)的運算性質(zhì)去計算,教師引導學生,強化解題步驟,對(1)先進行積的乘方,再進行同底數(shù)冪的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再進行同底數(shù)冪的乘法,對（2）把分數(shù)指數(shù)化為根式,然后通分化簡,對（3）把根式化為分數(shù)指數(shù),進行積的乘方,再進行同底數(shù)冪的運算. 解：(1)原式=(ab2)(ab-3)(b)=ababb=ab=ab0=a; 另解：原式=(ab-2abb) =(ab)=(a2b0)=a; （2）原式===== =; （3）原式=（ab）-3(b-4a-1)=ab-2b-2a=ab-2+2=a-1=. 例4已知a＞0,對于0≤r≤8,r∈N*,式子()8-rr能化為關于a的整數(shù)指數(shù)冪的情形有幾種？ 活動：學生審題,考慮與本節(jié)知識的聯(lián)系,教師引導解題思路,把根式轉化為分數(shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算,即先把根式轉化為分數(shù)指數(shù)冪,再進行冪的乘方,化為關于a的指數(shù)冪的情形,再討論,及時評價學生的作法. 解：()8-rr=aa=a=a. 16-3r能被4整除才行,因此r=0,4,8時上式為關于a的整數(shù)指數(shù)冪. 點評：本題中確定整數(shù)的指數(shù)冪時,可由范圍的從小到大依次驗證,決定取舍.利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式運算時,結果可以化為根式形式或保留分數(shù)指數(shù)冪的形式. 例5已知f（x）=ex－e-x,g（x）=ex+e-x. （1）求［f（x）］2－［g（x）］2的值； （2）設f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值. 活動：學生觀察題目的特點,說出解題的辦法,整體代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果學生有難度,教師可以提示引導,對（1）為平方差,利用公式因式分解可將代數(shù)式化簡,對(2)難以發(fā)現(xiàn)已知和未知的關系,可寫出具體算式,予以探求. 解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=［f（x）+g（x）］［f（x）－g（x）］ =（ex－e-x+ex+e-x）（ex－e-x－ex－e-x）=2ex（－2e-x）=－4e0=－4; 另解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2 =e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x =-4ex-x=-4e0=-4; (2)f（x）f（y）=（ex－e-x）（ey－e-y）=ex+y+e-(x+y)－ex-y－e-(x-y)=g（x+y）－g（x－y）=4, 同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（x－y）=8, 得方程組解得g（x+y）=6,g（x－y）=2. 所以==3. 點評：將已知條件變形為關于所求量g（x+y）與g（x－y）的方程組,從而使問題得以解決,這種處理問題的方法在數(shù)學上稱之為方程法,方程法所體現(xiàn)的數(shù)學思想即方程思想,是數(shù)學中重要的數(shù)學思想. 知能訓練 課本P54練習 1、2、3. ［補充練習］ 教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答,教師巡視,啟發(fā),對做得好的同學給予表揚鼓勵. 1.(1)下列運算中,正確的是( ) A.a2a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-1)0=0 D.(-a2)3=-a6 (2)下列各式①,②③,④（各式的n∈N,a∈R）中,有意義的是( ) A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④ (3)等于( ) A.a B.a2 C.a3 D.a4 (4)把根式－2改寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式為( ) A.-2(a-b) B.-2(a-b) C.-2(a-b) D.-2(a-b) (5)化簡（ab）（-3ab）（ab）的結果是( ) A.6a B.-a C.-9a D.9a 2.計算：(1)0.027－（－）-2+256－3-1+（2－1）0=________. (2)設5x=4,5y=2,則52x-y=________. 3.已知x+y=12,xy=9且x＜y,求的值. 答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3.解：==. 因為x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=427. 又因為x＜y,所以x-y=-233=-63.所以原式=. 拓展提升 1.化簡. 活動：學生觀察式子特點,考慮x的指數(shù)之間的關系可以得到解題思路,應對原式進行因式分解,根據(jù)本題的特點,注意到: x-1=(x)3-13=(x-1)(x+x+1); x+1=(x)3+13=(x+1)(x-x+1); x-x=x［(x)2-1］=x(x-1)(x+1). 構建解題思路教師適時啟發(fā)提示. 解：= = =x-1+x-x+1-x-x=-x. 點撥:解這類題目,要注意運用以下公式, (a-b)(a+b)=a-b, (ab)2=a2ab+b, (ab)(aab+b)=ab. 2.已知a+a=3,探究下列各式的值的求法. (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3). 解：(1)將a+a=3,兩邊平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7; (2)將a+a-1=7兩邊平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47; (3)由于a-a=(a)3-(a)3, 所以有==a+a-1+1=8. 點撥:對“條件求值”問題,一定要弄清已知與未知的聯(lián)系,然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值. 課堂小結 活動：教師,本節(jié)課同學們有哪些收獲?請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上,同學們之間相互交流.同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點: (1)分數(shù)指數(shù)冪的意義就是:正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1),正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分數(shù)次冪等于零,零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義. (2)規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù). (3)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):對任意的有理數(shù)r、s,均有下面的運算性質(zhì): ①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q), ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q), ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (4)說明兩點: ①分數(shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定,我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性,其中沒有推出關系. ②整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用.因而分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化,也可以利用(an)==am來計算. 作業(yè) 課本P59習題2.1A組 2、4. 設計感想 本節(jié)課是分數(shù)指數(shù)冪的意義的引出及應用,分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充,要讓學生反復理解分數(shù)指數(shù)冪的意義,教學中可以通過根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解,用觀察、歸納和類比的方法完成,由于是硬性的規(guī)定,沒有合理的解釋,因此多安排一些練習,強化訓練,鞏固知識,要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務.