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2019-2020年高一數(shù)學(xué)《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教案和教學(xué)反思 1.理解函數(shù)零點(diǎn)的定義以及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的聯(lián)系，了解“函數(shù)零點(diǎn)存在” 的判斷方法，對(duì)新知識(shí)加以應(yīng)用。 2.滲透由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，提升學(xué)生的抽象和概括能力，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合、等數(shù)學(xué)思想。 3.認(rèn)識(shí)函數(shù)零點(diǎn)的價(jià)值所在，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的；培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、耐心、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)品質(zhì)；讓學(xué)生在自我解決問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)成功的喜悅。 【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】 理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問(wèn)題的意識(shí)。函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的理解及初步應(yīng)用。 【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的理解及初步應(yīng)用。 【學(xué)習(xí)方法1】 自學(xué)、發(fā)現(xiàn)、合作、探究、演練相結(jié)合。 【學(xué)習(xí)過(guò)程】（試教課） （一）學(xué)前準(zhǔn)備 1、某電冰箱內(nèi)通電前的溫度是25℃，通電2小時(shí)后的溫度是-7℃ ．在這段時(shí)間內(nèi)，假設(shè)溫度是均勻變化的，問(wèn)：1）是否存在某時(shí)刻的溫度為0℃？ 2）你能從數(shù)學(xué)的角度來(lái)解釋這一現(xiàn)象嗎？3）能計(jì)算出具體的時(shí)刻嗎？ （設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)溫度均勻變化時(shí)，溫度隨時(shí)間的變化圖是一條直線，學(xué)生能夠根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)直線一定與x軸相交，求出相應(yīng)函數(shù)的解析式，最終得出一次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，為一般函數(shù)及相應(yīng)方程關(guān)系作準(zhǔn)備．） 2、解方程（同桌比賽）：①6x－1=0 ；②3x2＋6x－1=0 。 再比賽解3x5＋6x－1=0 。 【學(xué)習(xí)方法2】 自學(xué)、發(fā)現(xiàn)、探究、演練相結(jié)合。（刪去合作，突出自學(xué)。） 【學(xué)習(xí)過(guò)程】（正式上課） （一）激疑引入：生活中許多實(shí)際問(wèn)題需要方程知識(shí)求解，一元二次是否有根我們可以用判別式判斷，如何判斷更復(fù)雜的方程是否有根？如：x3+3x-1=0是否有根？ （設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)蔚吨比朦c(diǎn)題） （二）自學(xué)釋疑，研討新知 1、帶著以下問(wèn)題閱讀87頁(yè)第8段到88頁(yè)例1之前。 （1）怎樣求函數(shù)的零點(diǎn)？函數(shù)零點(diǎn)是不是一個(gè)點(diǎn)？零點(diǎn)是不是f(0)？ （2）對(duì)于第88頁(yè)的零點(diǎn)存在性定理，思考： ①如果函數(shù)圖象不是“連續(xù)不斷”的，結(jié)論還成立嗎？試作圖說(shuō)明。 學(xué)生無(wú)法解答，產(chǎn)生疑惑。現(xiàn)在人們已經(jīng)知道：一次方程、二次方程、三次方程、四次方程的解都可以通過(guò)系數(shù)的四則運(yùn)算，乘方與開(kāi)方等運(yùn)算來(lái)表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，1824年才由阿貝爾（挪威）證明了五次及高于五次的一般代數(shù)方程沒(méi)有的根式解，1828年伽羅瓦（法國(guó)）證明了存在不能用開(kāi)方運(yùn)算求解的具體方程，開(kāi)辟了近世代數(shù)學(xué)的群論。 人們一直在研究方程的近似解方法，值得一提的是，早在十三世紀(jì)的中國(guó)，秦九韶等數(shù)學(xué)家就提出了高次方程數(shù)值解的解法…… （二）互動(dòng)交流，研討新知 1、學(xué)生自學(xué)86頁(yè)到88頁(yè)，記下疑惑摘要。 2、總結(jié)一元二次方程與相應(yīng)函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)及其坐標(biāo)的關(guān)系： 判別式△ =b2－4ac 一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)根的個(gè)數(shù) 二次函數(shù)y= ax2 +bx+c(a≠0)圖象與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) 二次函數(shù)圖象與軸 交點(diǎn)坐標(biāo) ②條件“”舍去后，函數(shù)在區(qū)間上一定沒(méi)有零點(diǎn)嗎？一定有零點(diǎn)嗎？試作圖說(shuō)明。 ③若，函數(shù)在區(qū)間在上只有一個(gè)零點(diǎn)嗎？可能有幾個(gè)？試作圖說(shuō)明。 （設(shè)計(jì)意圖：帶著重點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題閱讀自學(xué)，培養(yǎng)閱讀中思考、質(zhì)疑能力。指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)定理可從訓(xùn)練學(xué)生找出定理的條件、結(jié)論入手，分析定理的使用環(huán)境及證題的類型，尤其注意條件的嚴(yán)密性，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注若有條件減弱會(huì)有什么結(jié)果。） （三）形成概念，初步理解定理 1、函數(shù)零點(diǎn)概念 對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的 。 2、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系 方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸 函數(shù)有 以上關(guān)系說(shuō)明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，從而有些方程問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，同樣，函數(shù)問(wèn)題有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程問(wèn)題．這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)． （設(shè)計(jì)意圖：回顧二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，為一般函數(shù)及相應(yīng)方程關(guān)系作準(zhǔn)備。） 推廣：二次函數(shù)可以通過(guò)根的判別式△來(lái)判斷它的與x軸交點(diǎn)情況，一般函數(shù)呢？ （設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)各種函數(shù)，將結(jié)論推廣到一般函數(shù)。） 3、請(qǐng)看在《幾何畫板》下展示如下函數(shù)的圖象：、、，探索函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根之間的關(guān)系。 3、給出零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有 4、函數(shù)零點(diǎn)概念 對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的 。 思考：函數(shù)零點(diǎn)是不是一個(gè)點(diǎn)？零點(diǎn)是不是f(0)？ 5、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系 方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸 函數(shù)有 以上關(guān)系說(shuō)明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，從而有些方程問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函 3、給出零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。即存在，使 得，這個(gè)c也就是方程的根。 （設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生復(fù)述，再概括，既檢查自學(xué)效果，又強(qiáng)化本節(jié)重難點(diǎn)。） （四）應(yīng)用探究，鞏固深化 1.已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表，則函數(shù)在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)必定有零點(diǎn)？為什么？ x 1 2 3 4 5 6 f (x) 20 -5.5 -2 6 18 -3 2.函數(shù)f (x)=x3-7x-1在區(qū)間[-4，4]上是否存在零點(diǎn)？ 3.方程x3+3x-1=0是否有根？ （設(shè)計(jì)意圖：本題教師板書解答過(guò)程，為后進(jìn)學(xué)生順利應(yīng)用定理解答提供示范。） 4.方程x3+3x-1=0有幾個(gè)根？你能證明嗎？ （設(shè)計(jì)意圖：這四個(gè)問(wèn)題逐層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生多角度領(lǐng)會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)及其存在定理的應(yīng)用。） 數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，同樣，函數(shù)問(wèn)題有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程問(wèn)題．這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)． 6、變式探討 某電冰箱內(nèi)通電前的溫度是25℃，通電2小時(shí)后的溫度是-7℃ ．在這段時(shí)間內(nèi)，溫度是不均勻變化的，問(wèn)：是否仍存在某時(shí)刻的溫度為0℃？ （設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)類比得出零點(diǎn)存在性定理,此刻體現(xiàn)變式教學(xué)。） 7、給出零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。即存在，使 得，這個(gè)c也就是方程的根。 8、深入探究 問(wèn)題1. 如果函數(shù)圖象不是連續(xù)不斷的，結(jié)論還成立嗎？ 試作圖說(shuō)明。 問(wèn)題2.若，函數(shù)在區(qū)間上一定沒(méi)有零點(diǎn)嗎？一定有零點(diǎn)嗎？試作圖說(shuō)明。 問(wèn)題3.若，函數(shù)在區(qū)間在上只有一個(gè)零點(diǎn)嗎？可能有幾個(gè)？試作圖說(shuō)明。 問(wèn)題4.在滿足定理的條件下，能否增加條件,可使函數(shù)在區(qū)間在上只有一個(gè)零點(diǎn)？作圖說(shuō)明。 5.函數(shù)在區(qū)間[-4，4]上是否存在零點(diǎn)？若存在零點(diǎn),能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及大小嗎? (設(shè)計(jì)意圖:本題比較靈活，既可以用零點(diǎn)存在定理，又可以轉(zhuǎn)化為方程、因式分解后求根。目的有二：一是通過(guò)確定零點(diǎn)的大小，體會(huì)一分為二的思想，為下一節(jié)二分法做鋪墊；二是再次體會(huì)方程函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想。) （五）歸納整理，整體認(rèn)識(shí) 1.知識(shí)小結(jié)：學(xué)了函數(shù)零點(diǎn)的概念后，我們就可以通過(guò)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，用零點(diǎn)存在定理判定函數(shù)的零點(diǎn)是否存在來(lái)判斷高次方程以及其它復(fù)雜方程的根是否存在，這就使方程的求解與函數(shù)的變化形成聯(lián)系，有利于分析問(wèn)題的本質(zhì)。 2.思想方法小結(jié)：數(shù)形結(jié)合思想，方程與函數(shù)轉(zhuǎn)化思想。 （六）作業(yè)與課外活動(dòng) 作業(yè)： 1、課本 P88 練習(xí)1 。 2、試判斷：方程y=-x3-3x+5是否有根？有幾個(gè)根？試說(shuō)明理由。 課外參考活動(dòng)： 1）在滿足定理的條件下，能否增加條件,可使函數(shù) y=f(x)在區(qū)間[a,b]上只有一個(gè)零點(diǎn)。試作圖說(shuō)明。 2）一般地，低于四次的方程的解都可以通過(guò)系數(shù)的四則運(yùn)算，乘方與開(kāi)方等運(yùn)算來(lái)表示，但高于四次的方 (設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)零點(diǎn)存在的判定結(jié)論，是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件，但零點(diǎn)的個(gè)數(shù)需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行判斷。結(jié)論的逆命題不成立，通過(guò)四個(gè)問(wèn)題使學(xué)生準(zhǔn)確理解零點(diǎn)存在性定理。) （三）應(yīng)用探究，鞏固深化 1.已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不 斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表，則函數(shù)在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)必定有零點(diǎn)？為什么？ x 1 2 3 4 5 6 f (x) 20 -5.5 -2 6 18 -3 2.函數(shù)在區(qū)間[-4，4]上是否存在零點(diǎn)？若存在零點(diǎn),能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及大小嗎? (設(shè)計(jì)意圖:本題比較靈活，既可以用零點(diǎn)存在定理，又可以轉(zhuǎn)化為方程、因式分解后求根。目的有二：一是通過(guò)確定零點(diǎn)的大小，體會(huì)一分為二的思想，為下一節(jié)二分法做鋪墊；二是再次體會(huì)方程函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想。) 3. 試判斷方程y=x3+3x-1是否有根。 4．求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 (設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題分析，領(lǐng)會(huì)方程函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想,學(xué)會(huì)用零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)存在區(qū)間，并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法。) （四）歸納整理，整體認(rèn)識(shí) 1.知識(shí)小結(jié)： 函數(shù)零點(diǎn)的概念，方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)存在定 理。 程一般不能用公式求解，1824年才由阿貝爾（挪威）證明了五次及高于五次的一般代數(shù)方程沒(méi)有的根式解，1828年伽羅瓦（法國(guó)）證明了存在不能用開(kāi)方運(yùn)算求解的具體方程，開(kāi)辟了近世代數(shù)學(xué)的群論。 人們一直在研究方程的近似解方法，值得一提的是，早在十三世紀(jì)的中國(guó)，秦九韶等數(shù)學(xué)家就提出了高次方程數(shù)值解的解法…… 在一個(gè)星期內(nèi),四位同學(xué)為小組合作完成一篇關(guān)于方程發(fā)展史的數(shù)學(xué)小論文或去探究一下如何縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間。 (設(shè)計(jì)意圖：本題為選做題，融入數(shù)學(xué)史教育和愛(ài)國(guó)主義教育。) 2.思想方法小結(jié)：數(shù)形結(jié)合思想，方程與函數(shù)轉(zhuǎn)化思想。 （五）作業(yè)與課外活動(dòng) 作業(yè)： 課本 P88 練習(xí)1 、2 課外活動(dòng) 在一個(gè)星期內(nèi),四位同學(xué)為小組合作完成一篇關(guān)于方程發(fā)展史的數(shù)學(xué)小論文或去探究一下如何縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間。 教學(xué)反思： 本次公開(kāi)課，立足探索“3+1”模式下如何提高課堂教學(xué)效率。我從指導(dǎo)學(xué)生閱讀入手，試圖在培養(yǎng)提高自學(xué)能力的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神。但是在試教時(shí)，注意了教學(xué)內(nèi)容的全面性，知識(shí)的系統(tǒng)性，自學(xué)時(shí)內(nèi)容的遞進(jìn)性，而忽略了自學(xué)指導(dǎo)的可操作性，因此內(nèi)容雖然豐富充實(shí)，但沒(méi)有凸顯指導(dǎo)學(xué)生自主自學(xué)，造成不敢放手讓學(xué)生討論自學(xué)思考、發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，課堂氣氛較為沉悶。因此，在正式公開(kāi)課前，我做了較大的改動(dòng)：減少枝節(jié)內(nèi)容，突出重點(diǎn)知識(shí)的自學(xué)、探究、討論，用四個(gè)問(wèn)題組成問(wèn)題串，讓學(xué)生帶著問(wèn)題閱讀，在閱讀中思考，由思生疑，師生共同在答疑討論中突破函數(shù)零點(diǎn)的概念和函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的理解及初步應(yīng)用。結(jié)果表明，這對(duì)增加學(xué)生的立思考、參與探究討論的時(shí)間是非常必要的和有效的。 公開(kāi)課最大的亮點(diǎn)當(dāng)屬“自學(xué)釋疑，研討新知”中的問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，它們?yōu)榈贸龆ɡ韮?nèi)容后進(jìn)一步挖掘定理內(nèi)容，深入理解定理內(nèi)涵起到很好的橋梁作用！在學(xué)生閱讀自學(xué)后，它們?yōu)閷W(xué)生探究討論，歸納類比，充分體驗(yàn)知識(shí)的生成過(guò)程提供了最有價(jià)值的思考空間。數(shù)學(xué)是思維的體操，訓(xùn)練學(xué)生的思維，數(shù)學(xué)課不但教會(huì)學(xué)生解決問(wèn)題，更應(yīng)教會(huì)學(xué)生敢于質(zhì)疑。這四個(gè)設(shè)計(jì)有效，個(gè)數(shù)適宜的問(wèn)題正好顯現(xiàn)了知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，有序連貫的問(wèn)題較好地激活了學(xué)生的思維。 不足之處在于試教和正式課都沒(méi)有把握好時(shí)間，前者主要是內(nèi)容過(guò)于求全，后者則是組織學(xué)生討論過(guò)程時(shí)掌控時(shí)間不夠老道，結(jié)果都沒(méi)有完整完成引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)的環(huán)節(jié)，課堂習(xí)題解答時(shí)間也偏少。今后應(yīng)在這些方面進(jìn)行更多的改進(jìn)。 （2009年10月25日星期日）