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2019-2020年高三數(shù)學函數(shù)的奇偶性、周期性及圖象的對稱性的相互關系探究人教版 [教學目標]在學生理解函數(shù)的奇偶數(shù)、周期性及圖象的對稱性(“簡稱“三性”)的基礎上，進一步探究它們間的相互關系．讓學生體驗研究問題的過程，轉變學生的學習方式．培養(yǎng)學生探究問題的能力和創(chuàng)新意識． [教學重點]函數(shù)“三性”的相互關系的探究，培養(yǎng)探究能力與創(chuàng)新意識． [教學難點]反思結論，發(fā)現(xiàn)“三性”的相互關系． [教學過程] 一、觀察、反思 師：根據(jù)課前提供給大家的背景材料，通過這幾天的研究與學習，今天上午這兩節(jié)課，就請同學們來展示一下學習成果．首先來再現(xiàn)一下函數(shù)y=cosx與y=sinx的奇偶性、周期性及圖象對稱性的相關結論．(利用多媒體顯示兩函數(shù)的圖象，如圖⑴、⑵) y x x y=sinx y=cosx y 圖 ⑴ 　圖⑵ 師生共同參與并歸納成如下表(由多媒體顯示) ． 函數(shù) 奇偶性 對 稱 性 周期性 y=cosx 偶函數(shù) 對稱軸x=kπ，k∈z f(π-x)=f(π+x)(特例) f(2π+x)=f(x) f(-x)=f(x) 對稱中心(kπ+，0)，k∈z f(-x)=-f(+x)(特例) y=sinx 奇函數(shù) 對稱軸x=kπ+ ，k∈z f(-x)=f(+x)(特例) f(2π+x)=f(x) f(-x)=-f(x) 對稱中心(kπ ，0 )，k∈z f(π-x)=-f(π+x)(特例) 師：這兩個函數(shù)從函數(shù)的“三性”角度來欣賞，確是比較優(yōu)美，美就美在將函數(shù)“三性”集于一身．那么這類函數(shù)還有沒有？ 生：還有，例如正切函數(shù)y=tgx 與余切函數(shù)y=ctgx ． 二、試驗、猜想 師：這一現(xiàn)象是偶然的呢？還是偶然中有其必然性，你能不能再找一個函數(shù)作進一步的試驗．下面請每一個課題組選一位同學，將本組構造的函數(shù)展示給同學們，讓大家來共享你的成果． 生：1．已知函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，且關于直線x=1 對稱，當 x∈[0, 1]時, f(x)=x2, 作出函數(shù)的圖象(作圖過程略)從圖3中不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)具有周期性，且周期為2． 圖⑶ 2．已知函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，且 f(x+2)=f(x)，當x∈[0，1]時，f(x)=x2，(作圖過程略)，由圖3可知，函數(shù)的對稱軸為x=k，k∈z ． 3．已知函數(shù)y=f(x)，滿足f(x+2)=f(x)，且f(1-x)=f(1+x)，當x∈[0，1]時，f(x)=x2 (作圖過程略)，由圖3可知，函數(shù)為偶函數(shù)． 師：能將上面三個命題寫成一個命題形式嗎？ 生：已知函數(shù)y=f(x)，當x∈[0，1]時，f(x)=x2，給出三個論斷 1．f(－x)=f(x)； 2．f(2－x)=f(x)； 3．f(2+x)=f(x)． 則以其中兩個論斷為條件，另一個論斷為結論的命題為真命題． 師：據(jù)此，請作出一個合情的猜想． 生：猜想：函數(shù)y=f(x)，給出三個論斷 1．f(－x)=f(x)； 2．f(2a－x)=f(x)； 3．f(2a+x)=f(x)． 則以其中兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，得到的命題為真命題． 三、探索、發(fā)現(xiàn) 師：下面由本課題組選三位同學給出對猜想的證明(具體分工由你們自己定) 生：由f(2a－x)=f(x)，得f(2a+x)=f(－x) ， 又f(－x)=f(x)，得f(2a+x)=f(x) ． 生：由f(2a+x)=f(x)，得f(2a－x)=f(－x) ， 又f(－x)=f(x)，得f(2a－x)=f(x)． 生：由f(2a－x)=f(x)，得f(2a+x)=f(－x) ， 又f(2a+x)=f(x) ，得f(－x)=f(x)． 師：三位同學的推證的關鍵是抓住了變量x的任意性，這樣就可以根據(jù)目標進行變形． 在探索過程中，可以發(fā)現(xiàn)論斷2與論斷3必須具有相同的2a，同學們回過頭來反思圖3的作圖過程，又有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？ 生：圖象的特征在于兩條對稱軸x=0，x=1，它是產(chǎn)生周期性的關鍵，在作圖過程中不難發(fā)現(xiàn)2=2(1－0)． 師：分析得相當深刻，將這一結果能否作更大膽的推廣呢？ …… 生：能．給出三個論斷 1．y=f(x)的圖象關于直線 x=a對稱； 2．y=f(x)的圖象關于直線x=b對稱； 3．y=f(x)是周期函數(shù)，且周期T=2|b-a|為其中一個周期 則以其中兩個論斷為條件，另一個論斷為結論的命題為真命題． 師：這一命題的證明，就不作展示，請其余各組在課后作進一步的論證． 四、類比、發(fā)散 師：以上重點展示了偶函數(shù)、軸對稱、周期性的相互關系，請結合圖1、圖2，作類比、發(fā)散，還可以得到哪一些命題． 生：1．若函數(shù)y=f(x) 為偶函數(shù)，其圖象關于點A(a，0) 對稱，則函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，且周期T=4|a|． 師：這位同學將軸對稱類比為中心對稱，還有嗎？ 生：2．若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，其圖象關于直線x=a 對稱，則函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，且周期T=2|a| ． 生：3．若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，其圖象關于點A(a，0) 對稱，則函數(shù)y=f(x) 為周期函數(shù)，且周期T=2|a|． 師：三位同學均抓住一點進行類比，各自得到一個命題，事實上，以每一個命題中的三個論斷中的二個論斷為條件，另一個作為結論，均是一個真命題．類比肯定還很多，由于時間限制，類比、發(fā)散就到此為止，每個命題的證明就作為作業(yè)．下面請其它各組也作一些簡短的展示．(略)…… 五、回顧、提高 師：通過今天“研究性的學習”知道，研究也并不是什么高不可攀的事情，也并不是專家們的專利，我們中學生也能夠做．研究一個問題，首先是我們需要發(fā)現(xiàn)問題，這節(jié)課主要是通過反思兩個熟悉函數(shù)的性質，捕捉信息，發(fā)現(xiàn)問題，反思是發(fā)現(xiàn)的源泉．反思——試驗——猜想——論證，是發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的一種流程． 在整個研究性學習過程中，我們還多次使用逼近與聯(lián)想——類比的思維，這是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題常用的兩種思維模式． 在學習過程中．獲得了一個知識，即函數(shù)“三性”的內(nèi)在聯(lián)系． 留意平時的點點滴滴，學問就在我們身邊． 六、鞏固、反饋 1．完成課堂上得到的而沒有證明的各個命題的證明． 2．學習體會一篇． 3．(xx年高考題)設f(x) 是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于直線x=1 對稱，對任意x1 ，x2∈[0，]，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2) ，且f(1)=a>0 ． (Ⅰ)求 f()及 f()的值； (Ⅱ)證明f(x)是周期函數(shù)； (Ⅲ)記an=f(2n+ ) ，求 　(1n an)． [教后感] 對“研究性學習”如何進入課堂的一次償試，這節(jié)課有以下幾點體會． “研究性學習”的背景材料的選?。畬⒔滩闹械闹匾R點改編為“研究性學習”的背景材料，這無疑是一個豐富的素材基地，它可以發(fā)揮廣大中學教師的優(yōu)勢．有時，還可以把自己寫的論文改編為“研究性學習”的背景材料． “研究性學習”的教學目標要明確．這節(jié)課重點教給學生一個發(fā)現(xiàn)問題的方法——再現(xiàn)結論前與結論后的反思．荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登爾指出：“反思是重要的數(shù)學活動，它是數(shù)學的核心和動力．”反思是發(fā)現(xiàn)的源泉、教會學生發(fā)現(xiàn)問題是“研究性學習”的目標之一． 注意“研究性學習”的課堂操作．⑴建立課題小組：一般以10個左右同學為一個課題小組，落實課題小組組長．⑵處理好課內(nèi)與課外關系．教師的主要精力是放在課外，課內(nèi)主要是各課題組研究成果的展示．⑶點面結合，本節(jié)教案主要選取一個課題小組的研究方案．各個課題小組各有不同的研究方案．大致有：①奇函數(shù)，軸對稱，周期性；②奇函數(shù)，中心對稱，周期性．③偶函數(shù)，軸對稱，周期性．④偶函數(shù)，中心對稱，周期性．⑤關于x軸上的兩點成中心對稱，周期性．⑥關于平行于y軸的兩直線對稱，周期性．⑦關于一條平行y軸的直線成軸對稱，與x軸上一點成中心對稱，周期性．然后各自進行類比與發(fā)散，真是百花齊放．但課堂展示不可能面面俱到，只能以點帶面．