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2019-2020年高三數(shù)學總復習 一元二次不等式教案 理 教材分析 一元二次不等式的解法是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，它是進一步學習不等式的基礎(chǔ)，同時是解決有關(guān)實際問題的重要方法之一．這節(jié)課通過具體例子，借助二次函數(shù)的圖像求解不等式，進而歸納、總結(jié)出一元二次不等式，一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，得到利用二次函數(shù)圖像求解一元二次不等式的方法．最后，說明一元二次不等式可以轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，由此又引出了簡單分式不等式的解法．這節(jié)內(nèi)容的重點是一元二次不等式的解法，難點是弄清一元二次不等式、一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系． 教學目標 1. 讓學生經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程． 2. 通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系，熟練掌握應用二次函數(shù)圖像解一元二次不等式的方法． 3. 通過一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組的解法，讓學生體會等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力． 任務分析 這節(jié)課的主要任務是應用二次函數(shù)的圖像解一元二次不等式．首先通過實例抽象出一元二次不等式模型，讓學生感受到現(xiàn)實生活中存在大量的一元二次不等式，從而得出本節(jié)的主要任務．然后通過解決一些具體的一元二次不等式，讓學生體會和總結(jié)出借助二次函數(shù)的圖像解一元二次不等式的方法．最后抽象和概括出一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的關(guān)系．學習方法是講練結(jié)合，引導學生從具體到一般地總結(jié)出一元二次不等式的圖像解法． 教學設(shè)計 一、問題情境 1. 出示問題 （1）某產(chǎn)品的總成本ｃ（萬元）與產(chǎn)量ｘ（臺）之間滿足關(guān)系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ，若每臺產(chǎn)品售價25萬元，試求生產(chǎn)者不虧本時的最低產(chǎn)量ｘ． 引導學生建立一元二次不等式模型： 由題意，得銷售收入為25ｘ（萬元）， 要使生產(chǎn)者不虧本，必須使 3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0． （2）國家為了加強對某特種商品生產(chǎn)的宏觀管理，實行征收附加稅政策．現(xiàn)知每件產(chǎn)品70元，不加收附加稅時，每年大約產(chǎn)銷100萬件，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅R元（即稅率為R％），則每年的產(chǎn)銷量要減少10R萬件．要使每年在此項經(jīng)營中所收取的附加稅稅金不少于112萬元，問R應怎樣確定． 2. 引導學生建立一元二次不等式模型 設(shè)產(chǎn)銷量為每年x（萬件），則銷售收入為每年70x（萬元），從中征收的稅金為70xR％（萬元），并且ｘ＝100－10R． 由題意，知70（100－10R）R％≥112， 即R2－10R＋16≤0． 如何求解以上兩個一元二次不等式呢？ 二、建立模型 1. 對于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函數(shù)的圖像來解決 設(shè)二次函數(shù)f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，拋物線開口向上，與ｘ軸交點的橫坐標是相應二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此時ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如圖，所謂解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相當于求使函數(shù)f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考慮圖像在ｘ軸及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相應的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．結(jié)合實際，可知生產(chǎn)者不虧本時的最低產(chǎn)量為150臺． 運用完全類似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集為｛R｜2≤R≤8｝． 2. 教師明晰 設(shè)ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0）， 首先，設(shè)ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ． （1）計算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判斷拋物線ｙ＝ｆ（ｘ）與ｘ軸交點的情況． （2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得兩根為ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ2）． （3）結(jié)合（1）（2）畫出ｙ＝ｆ（ｘ）的圖像． （4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相當于使ｆ（ｘ）＞0．考慮圖像在ｘ軸上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相應的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集． 解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相當于使ｆ（ｘ）＜0．考慮圖像在ｘ軸下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相應的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集． 根據(jù)上述內(nèi)容，結(jié)合圖像寫出不等式的解集． 思考：對于一元二次不等式的二次項系數(shù)ａ，如果ａ＜0，上述結(jié)論如何？ 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0． 解：∵Δ＝（－3）2－42（－2）＝25＞0， 方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的兩根為ｘ1＝－，ｘ2＝2， ∴不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集為｛ｘ｜ｘ＜－或ｘ＞2｝． 2. 解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0． 3. 已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集為R，求ｍ的取值范圍． 解：（1）當ｍ＝0時，原不等式可化為2ｘ＞0，解集不是R． （2）當ｍ＜0時，拋物線ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ開口向下，解集也不是R． （3）當ｍ＞0時，須滿足 ［練　習］ 1. 解下列不等式． （1）－3ｘ2＋6ｘ＞2．　　　　　?。?）4ｘ2－4ｘ－1＞0． （3）ｘ2－3ｘ＋5＞0．　　　　　?。?）－6ｘ2－ｘ＋2≤0． 4. 以每秒ａ（ｍ）的速度從地面垂直向上發(fā)射子彈，t（ｓ）后，子彈上升的高度ｘ可由ｘ＝ａｂ－4.9ｔ2確定．已知發(fā)射后5ｓ，子彈上升的高度為245ｍ，問：子彈保持在245ｍ以上高度有多少秒？ 四、拓展延伸 一元二次不等式（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＞0（＜0）也可以根據(jù)實數(shù)運算的符號法則求解，如解不等式（ｘ＋4）（ｘ－１）＜0． 注意到不等式左邊是兩個ｘ的一次式的積，右邊是0，那么它可以根據(jù)積的符號法則化為一次不等式組： 點　評 這篇案例設(shè)計完整，思想清晰．案例首先從實際問題情境引入，關(guān)注不等式從現(xiàn)實問題中的抽象過程，進而利用從已有知識，即二次方程的根的情況及一元二次函數(shù)的圖像與一元二次不等式的解的關(guān)系歸納出一般結(jié)論，體現(xiàn)了用數(shù)形結(jié)合處理問題的思想方法，培養(yǎng)了學生的類比推理能力．例、習題的變形培養(yǎng)了學生靈活運用知識，處理問題的能力，既鞏固了所學新知識，又培養(yǎng)了學生靈活解題的能力．“拓展延伸”開發(fā)了學生的內(nèi)在潛力，培養(yǎng)了學生的等價轉(zhuǎn)化意識，為將來處理較復雜問題提供了行之有效的方法．