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2019-2020年高三數(shù)學總復習 平面向量的正交分解與坐標運算教案 理 教材分析 這節(jié)課通過建立直角坐標系，結合平面向量基本定理，給出了向量的另一種表示———坐標表示，這樣使平面中的向量與它的坐標建立起了一一對應關系，然后導出了向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積的坐標運算，這就為利用“數(shù)”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁，更突出也更簡化了向量的應用．所以，一定要讓學生重點掌握向量的坐標運算，以利于掌握坐標形式下的向量的一些關系式及運用．教學難點是讓學生建立起平面向量的坐標概念． 教學目標 1. 理解平面向量坐標概念，領會它的引入過程，進一步體會一一對應的思想意識． 2. 理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算，并能應用坐標運算解決一些問題． 3. 增強數(shù)形結合意識，領會“沒有運算，向量只是一個‘路標’，因為有了運算，向量的力量無限”的說法． 任務分析 1. 有了平面向量的基本定理，就不難有平面向量的正交分解，有了坐標系下點與坐標的一一對應關系，也就容易有在直角坐標平面內(nèi)的向量與坐標的一一對應． 2. 可以從兩個角度來理解平面向量的坐標表示： （1）設i，j為x，y軸方向上的單位向量，則任一向量ａ可唯一地表示為xi＋yj，即唯一對應數(shù)對（x，y），所以可以說a＝（x，y）． （2）任一向量ａ可平移成，一一對應點A（x，y），從而可說a＝（x，y）． 3. 在接觸過xOy平面內(nèi)一點到它的坐標的這種形、數(shù)過渡的基礎上，容易接受由向量到坐標的這種代數(shù)化的過渡． 教學設計 一、問題情景 1. 光滑斜面上的木塊所受重力可以分解為平行斜面使木塊下滑的力F1和木塊產(chǎn)生的垂直于斜面的壓力F2（如圖）． 一個向量也可以分解為兩個互相垂直的向量的線性表達，這種情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，許多有關向量問題將變得較為簡單． 2. 在平面直角坐標系中，每一個點可用一對有序實數(shù)（即它的坐標）表示，那么對平面直角坐標內(nèi)的每一個向量，可否用實數(shù)對來表示？又如何表示呢？ 二、建立模型 1. 如圖，在直角坐標系中，先分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．對于平面上一個向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一對實數(shù)x，y使ａ＝xi＋yj，這樣平面內(nèi)任一向量a都可由x，y唯一確定，（x，y）叫a的坐標，記作a＝（x，y）． 顯然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）． 若把ａ的起點平移到坐標原點，即ａ＝，則點A的位置由ａ唯一確定．設＝xi＋yj，則的坐標就是點A的坐標；反過來，點A的坐標（x，y）也就是的坐標．因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)（即坐標）唯一表示． 2. 學生思考討論 已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐標嗎？ ∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2）， ∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ． ∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j， ∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）． 同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）． 上述結論可表述為：兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）；實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐標． 解：如圖39-3，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）． 總結：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標． 思考：能在圖中標出坐標為（x2－x1，y2－y1）的P點嗎？ 平移到，則P（x2－x1，y2－y1）． 2. 已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）． （1）求－的坐標．　?。?）求ABCD中D點的坐標． 放開思考，展開討論，看學生們有哪些不同方法． （1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3）， ∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）． 解法2：－＝＝（－4，－1）． （2）解法1：設D（x，y），＝，即（1，2）＝（3－x，4－y）， ∴x＝y(tǒng)＝2，D（2，2）． 思考：你能比較出對（2）的兩種解法在思想方法上的異同點嗎？ （解法1是間接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想） 3. 在直角坐標系xOy中，已知點A（3，2），點B（－2，4），求向量＋的方向和長度． 解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）． 設＝＋，則＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）． 由兩點的距離公式，得 設相對x軸正向的轉角為α，則 查表或使用計算器，得α＝8032′． 答：向量的方向偏離ｘ軸正向約為8032′，長度等于，向量的方向偏離x軸正向約為11634′，長度等于2． ［練　習］ 1. 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐標． 2. 設a＋b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b． 解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2）， 2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4）， ∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）． 解法2：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則 3. 已知ａ＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），試以ａ，ｂ為基底來表示ｃ． 解：設c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2）， 四、拓展延伸 1. 在直角坐標系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求線段AB中點的坐標． 解：設點M（x，y）是線段AB的中點（如圖39-5），則＝（＋）． 將上式換為向量的坐標，得 （x，y）＝［（x1，y1 ）＋（x2，y2 ）］． 即. 這里得到的公式叫作線段中點的坐標計算公式，簡稱中點公式． 2. 對于向量a，b，c，若存在不全為0的實數(shù)k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，則稱a，b，c三個向量線性相關，試研究三個向量＝（3，5），＝（0，－1），＝（－3，－4）是否線性相關． 解法1：顯然有＋＋＝0，∴三者線性相關． 解法2：由k1＋k2＋k3＝0， 即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0， 即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0）， 取k1＝k2＝k3＝1，則＋＋＝0，故三個向量線性相關． 點　評 這篇案例設計完整，思路自然．由斜邊上物體所受重力的分解，聯(lián)想到向量應有常見的正交分解；由點的坐標表示，結合平面向量基本定理聯(lián)想到向量也有坐標形式．這為鍛煉學生的類比聯(lián)想能力，增強數(shù)學地提出問題、解決問題的能力提供了平臺．向量用坐標表示即把向量代數(shù)化，增強了學生數(shù)形結合的意識，也增強了一一對應的意識，為提高學生的數(shù)學素質(zhì)打下了良好的基礎．