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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第一章 集合與簡(jiǎn)易邏輯 一、基礎(chǔ)知識(shí) 定義1 一般地，一組確定的、互異的、無(wú)序的對(duì)象的全體構(gòu)成集合，簡(jiǎn)稱集，用大寫字母來(lái)表示；集合中的各個(gè)對(duì)象稱為元素，用小寫字母來(lái)表示，元素在集合A中，稱屬于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來(lái)表示。集合分有限集和無(wú)限集兩種。 集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來(lái)寫在大括號(hào)內(nèi)并用逗號(hào)隔開(kāi)表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。例如{有理數(shù)}，分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。 定義2 子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。 定義3 交集， 定義4 并集， 定義5 補(bǔ)集，若稱為A在I中的補(bǔ)集。 定義6 差集，。 定義7 集合記作開(kāi)區(qū)間，集合 記作閉區(qū)間，R記作 定理1 集合的性質(zhì)：對(duì)任意集合A，B，C，有： （1） （2）； （3） （4） 【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。 （1）若，則，且或，所以或，即；反之，，則或，即且或，即且，即 （3）若，則或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有 定理2 加法原理：做一件事有類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法，…，第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。 定理3 乘法原理：做一件事分個(gè)步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，…，第步有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。 二、方法與例題 1．利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。 例1 設(shè)，求證： （1）； （2）； （3）若，則 [證明]（1）因?yàn)?，且，所? （2）假設(shè)，則存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于，假設(shè)不成立，所以 （3）設(shè)，則 （因?yàn)椋? 2．利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則A=B。 例2 設(shè)A，B是兩個(gè)集合，又設(shè)集合M滿足 ，求集合M（用A，B表示）。 【解】先證，若，因?yàn)?，所以，所以? 再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以 綜上， 3．分類討論思想的應(yīng)用。 例3 ，若，求 【解】依題設(shè)，，再由解得或， 因?yàn)椋?，所以，所以?，所以或3。 因?yàn)椋裕?，則，即，若，則或，解得 綜上所述，或；或。 4．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。 例4 集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)；（2）求I的非空真子集的個(gè)數(shù)。 【解】（1）集合I可劃分為三個(gè)不相交的子集；A\B，B\A，中的每個(gè)元素恰屬于其中一個(gè)子集，10個(gè)元素共有310種可能，每一種可能確定一個(gè)滿足條件的集合對(duì)，所以集合對(duì)有310個(gè)。 （2）I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個(gè)子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，…，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個(gè)，非空真子集有1022個(gè)。 5．配對(duì)方法。 例5 給定集合的個(gè)子集：，滿足任何兩個(gè)子集的交集非空，并且再添加I的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求的值。 【解】將I的子集作如下配對(duì)：每個(gè)子集和它的補(bǔ)集為一對(duì)，共得對(duì)，每一對(duì)不能同在這個(gè)子集中，因此，；其次，每一對(duì)中必有一個(gè)在這個(gè)子集中出現(xiàn)，否則，若有一對(duì)子集未出現(xiàn)，設(shè)為C1A與A，并設(shè)，則，從而可以在個(gè)子集中再添加，與已知矛盾，所以。綜上，。 6．競(jìng)賽常用方法與例問(wèn)題。 定理4 容斥原理；用表示集合A的元素個(gè)數(shù)，則 ，需要xy此結(jié)論可以推廣到個(gè)集合的情況，即 定義8 集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫I的一個(gè)-劃分。 定理5 最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。 定理6 抽屜原理：將個(gè)元素放入個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜放有不少于個(gè)元素，也必有一個(gè)抽屜放有不多于個(gè)元素；將無(wú)窮多個(gè)元素放入個(gè)抽屜必有一個(gè)抽屜放有無(wú)窮多個(gè)元素。 例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。 【解】 記，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有個(gè)。 例7 S是集合{1，2，…，xx}的子集，S中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于4或7，問(wèn)S中最多含有多少個(gè)元素？ 【解】將任意連續(xù)的11個(gè)整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個(gè)數(shù)至多有一個(gè)屬于S，將這11個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成6組，其中一組只有一個(gè)數(shù)，若S含有這11個(gè)數(shù)中至少6個(gè)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以S至多含有其中5個(gè)數(shù)。又因?yàn)閤x=18211+2，所以S一共至多含有1825+2=912個(gè)元素，另一方面，當(dāng)時(shí)，恰有，且S滿足題目條件，所以最少含有912個(gè)元素。 例8 求所有自然數(shù)，使得存在實(shí)數(shù)滿足： 【解】 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 。下證當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件。 令，則 所以必存在某兩個(gè)下標(biāo)，使得，所以或，即，所以或，。 （?。┤?，考慮，有或，即，設(shè)，則，導(dǎo)致矛盾，故只有 考慮，有或，即，設(shè)，則，推出矛盾，設(shè)，則，又推出矛盾， 所以故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。 （ⅱ）若，考慮，有或，即，這時(shí)，推出矛盾，故?？紤]，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，這又矛盾，所以只有，所以。故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。 例9 設(shè)A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三個(gè)數(shù)，B中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合，求的最小值。 【解】 設(shè)B中每個(gè)數(shù)在所有中最多重復(fù)出現(xiàn)次，則必有。若不然，數(shù)出現(xiàn)次（），則在出現(xiàn)的所有中，至少有一個(gè)A中的數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設(shè)它是1，就有集合{1，}，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個(gè)數(shù)，這不可能，所以 20個(gè)中，B中的數(shù)有40個(gè)，因此至少是10個(gè)不同的，所以。當(dāng)時(shí)，如下20個(gè)集合滿足要求： {1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。 例10 集合{1，2，…，3n}可以劃分成個(gè)互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正整數(shù) 【解】 設(shè)其中第個(gè)三元集為則1+2+…+ 所以。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}滿足條件，所以的最小值為5。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1．給定三元集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。 2．若集合中只有一個(gè)元素，則=___________。 3．集合的非空真子集有___________個(gè)。 4．已知集合，若，則由滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合P=___________。 5．已知，且，則常數(shù)的取值范圍是___________。 6．若非空集合S滿足，且若，則，那么符合要求的集合S有___________個(gè)。 7．集合之間的關(guān)系是___________。 8．若集合，其中，且，若，則A中元素之和是___________。 9．集合，且，則滿足條件的值構(gòu)成的集合為_(kāi)__________。 10．集合，則 ___________。 11．已知S是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足1））若，則。如果，S中至少含有多少個(gè)元素？說(shuō)明理由。 12．已知，又C為單元素集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 四、高考水平訓(xùn)練題 1．已知集合，且A=B，則___________，___________。 2． ，則___________。 3．已知集合，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。 4．若實(shí)數(shù)為常數(shù)，且___________。 5．集合，若，則___________。 6．集合，則中的最小元素是___________。 7．集合，且A=B，則___________。 8．已知集合，且，則的取值范圍是___________。 9．設(shè)集合，問(wèn)：是否存在，使得，并證明你的結(jié)論。 10．集合A和B各含有12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下列條件的集合C的個(gè)數(shù)：1）且C中含有3個(gè)元素；2）。 11．判斷以下命題是否正確：設(shè)A，B是平面上兩個(gè)點(diǎn)集，，若對(duì)任何，都有，則必有，證明你的結(jié)論。 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1．已知集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。 2．集合的子集B滿足：對(duì)任意的，則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值是___________。 3．已知集合，其中，且，若P=Q，則實(shí)數(shù)___________。 4．已知集合，若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則___________。 5．集合，集合，則集合M與N的關(guān)系是___________。 6．設(shè)集合，集合A滿足：，且當(dāng)時(shí)，，則A中元素最多有___________個(gè)。 7．非空集合，≤則使成立的所有的集合是___________。 8．已知集合A，B，aC（不必相異）的并集, 則滿足條件的有序三元組（A，B，C）個(gè)數(shù)是___________。 9．已知集合，問(wèn)：當(dāng)取何值時(shí)，為恰有2個(gè)元素的集合？說(shuō)明理由，若改為3個(gè)元素集合，結(jié)論如何？ 10．求集合B和C，使得，并且C的元素乘積等于B的元素和。 11．S是Q的子集且滿足：若，則恰有一個(gè)成立，并且若，則，試確定集合S。 12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干個(gè)五元子集滿足：S中的任何兩個(gè)元素至多出現(xiàn)在兩個(gè)不同的五元子集中，問(wèn)：至多有多少個(gè)五元子集？ 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1．是三個(gè)非空整數(shù)集，已知對(duì)于1，2，3的任意一個(gè)排列，如果，，則。求證：中必有兩個(gè)相等。 2．求證：集合{1，2，…，1989}可以劃分為117個(gè)互不相交的子集，使得（1）每個(gè)恰有17個(gè)元素；（2）每個(gè)中各元素之和相同。 3．某人寫了封信，同時(shí)寫了個(gè)信封，然后將信任意裝入信封，問(wèn)：每封信都裝錯(cuò)的情況有多少種？ 4．設(shè)是20個(gè)兩兩不同的整數(shù)，且整合中有201個(gè)不同的元素，求集合中不同元素個(gè)數(shù)的最小可能值。 5．設(shè)S是由個(gè)人組成的集合。求證：其中必定有兩個(gè)人，他們的公共朋友的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。 6．對(duì)于整數(shù)，求出最小的整數(shù)，使得對(duì)于任何正整數(shù)，集合的任一個(gè)元子集中，均有至少3個(gè)兩兩互質(zhì)的元素。 7．設(shè)集合S={1，2，…，50}，求最小自然數(shù)，使S的任意一個(gè)元子集中都存在兩個(gè)不同的數(shù)a和b，滿足。 8．集合，試作出X的三元子集族&，滿足： （1）X的任意一個(gè)二元子集至少被族&中的一個(gè)三元子集包含； （2）。 9．設(shè)集合，求最小的正整數(shù)，使得對(duì)A的任意一個(gè)14-分劃，一定存在某個(gè)集合，在中有兩個(gè)元素a和b滿足。