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2019-2020年高中數(shù)學第2章統(tǒng)計2.4線性回歸方程名師導航學案蘇教版必修3 三點剖析 一、變量之間的關(guān)系 在實際問題中，變量之間的關(guān)系有兩類: 一類是確定性關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示.例如，正方形的面積S與邊長a之間就是確定性關(guān)系，可以用函數(shù)S=a2表示. 在實際問題中，變量之間的關(guān)系除了確定性的函數(shù)關(guān)系之外，還有一種非確定性的關(guān)系.例如:商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系.我們不可否認商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間有著密切的聯(lián)系，但商品銷售收入不僅與廣告支出多少有關(guān)，還與商品的質(zhì)量、居民的經(jīng)濟狀況等因素有關(guān).再如:糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系.在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食的產(chǎn)量就越高.但是，施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素，因為糧食產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降雨量、田間管理水平等因素的影響.又如人的身高和體重之間的關(guān)系、人的年齡和血壓之間的關(guān)系等，這些變量之間存在著密切的關(guān)系，但它不能由一個變量的數(shù)值精確地確定另一個變量的數(shù)值.像這種自變量取一定值時，因變量的取值帶有一定隨機性,這樣的兩個變量之間的關(guān)系，我們稱之為相關(guān)關(guān)系.從某種意義上講,函數(shù)關(guān)系可以看作是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系則是一種非常普遍的關(guān)系.研究和學習相關(guān)關(guān)系不僅可以使我們能夠處理更為廣泛的數(shù)學問題，還可以使我們對函數(shù)關(guān)系的認識上升到一個新的高度.在現(xiàn)實生活中,存在大量的相關(guān)關(guān)系，所以,尋找變量之間的相關(guān)關(guān)系很有必要.在此,統(tǒng)計在其中發(fā)揮著非常重要的作用.在相關(guān)關(guān)系中，變量的關(guān)系不是完全確定的，而是帶有不確定性.這就需要通過收集大量的數(shù)據(jù)(有時通過調(diào)查，有時通過試驗)，在對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，才能對它們之間的關(guān)系作出判斷. 二、散點圖 在考慮相關(guān)關(guān)系中的兩個量的關(guān)系時，為了對變量之間的關(guān)系有一個大致的了解，我們通常將變量所對應(yīng)的點描出來，這些點就組成了具有相關(guān)關(guān)系的變量之間的一組數(shù)據(jù)的圖形，通常稱這種圖為變量之間的散點圖. 通過具有相關(guān)關(guān)系的兩個量的散點圖我們可以對這兩個變量間的關(guān)系有一個大致的了解. 例如:在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上進行施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位:kg). 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 將表中的各對數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描點，即可得到該組數(shù)據(jù)的散點圖,如圖6-12所示: 圖6-12 由圖可發(fā)現(xiàn)，圖中的各點大致分布在一條直線的附近. 三、最小二乘法、線性回歸方程 1．最小二乘法 由施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗所得到的散點圖可發(fā)現(xiàn)，圖中的各點，大致分布在一條直線y=a+bx的附近.故可用一個線性函數(shù)近似表示施化肥量和水稻產(chǎn)量之間的關(guān)系.這種線性關(guān)系可以用多種方法來進行刻畫，那么用什么樣的線性關(guān)系刻畫會更好一些呢？ 有一個非常直觀的想法，一個好的線性關(guān)系要保證這條直線與所有點都近. 如果有n個點:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線y=a+bx的接近程度:［y1-(a+bx1)］2+［y2-(a+bx2)］2+…+［yn-(a+bxn)］2． 使得上式達到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法. 2．線性回歸方程 通過收集現(xiàn)實生活中兩個有關(guān)聯(lián)的變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，如果所有的散點分布成或近似成一條直線，我們說這兩個變量有線性關(guān)系(否則就說兩個變量不具有線性關(guān)系)，然后運用最小二乘法的思想，用一條直線來擬合兩個變量之間的關(guān)系:y=a+bx.要求所有點相對于該直線的偏差的平方和盡可能達到最小.我們把y=a+bx稱作線性回歸方程，其中 求線性回歸方程的一般步驟: (1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)計算 (2)代入(*)計算求a、b的值； (3)代入y=a+bx. 一般情況下，求線性回歸方程可借助計算器和計算機來完成. 問題探究 問題1:在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù): 人體的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系 年　齡 23 27 39 41 45 49 50 脂　肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年　齡 53 54 56 57 58 60 61 脂　肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？ 探究:觀察表中數(shù)據(jù)，大體上來看，隨著年齡的增加，人體中脂肪的百分比也在增加.為了確定這一關(guān)系的細節(jié)，我們需要進行數(shù)據(jù)分析.我們假設(shè)人的年齡影響體內(nèi)脂肪含量，于是，按照習慣，以x軸表示年齡，以y軸表示脂肪含量，得到相應(yīng)的散點圖(如圖6-13所示). 圖6-13 從散點圖我們可以看出，年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高，圖中點的趨勢表明兩個變量之間確實存在一定的關(guān)系，這個圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出的結(jié)論. 經(jīng)計算可得到回歸直線的回歸方程為=0.577x-0.448． 問題2:一般地，(x,y)的n組觀察數(shù)據(jù): x x1 x2 x3 … xn y y1 y2 y3 … yn 的回歸直線的方程為y=a+bx，則直線y=a+bx恒過的定點是什么？ 探究:由線性回歸方程的推導，可知方程的系數(shù)a、b滿足條件:.由此不難發(fā)現(xiàn)，點(，)的坐標滿足直線y=a+bx的方程.所以,由點與直線的位置關(guān)系可得點(，)在直線y=a+bx上,即直線y=a+bx恒過點(，).這里=，=. 精題精講 例1．有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的對比表: 攝氏溫度/℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫出散點圖； (2)從散點圖中發(fā)現(xiàn)的氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間的關(guān)系的一般規(guī)律； (3)求回歸方程； (4)如果某天的氣溫是2℃，預測這天賣出的熱飲杯數(shù). 思路解析 根據(jù)所給數(shù)據(jù)，作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近；如果散點在一條直線附近，用公式(*)求出a、b，寫出線性回歸方程. 答案:(1)散點圖如圖6-14所示: 圖6-14 (2)從圖中看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少. (3)從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式(*)求出回歸方程的系數(shù). 利用計算器容易求得回歸方程=-2．352x+147．767． (4)當x=2時，=143．063．因此，某天的氣溫為2℃時，這天大約可以賣出143杯熱飲. 例2．為研究某市家庭年平均收入與年平均生活支出的關(guān)系，該市統(tǒng)計調(diào)查隊隨機調(diào)查了10個家庭，得數(shù)據(jù)如下: i(家庭編號) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi(收入)(千元) 0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 yi(支出)(千元) 0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5 求回歸直線方程. 思路解析 利用公式(*)求出a、b，寫出線性回歸方程. 答案:列表. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2 2 2.4 2.8 yi 0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5 xiyi 0.56 1.10 1.56 1．50 1．95 2.70 2．60 3．40 4.80 7.00 xi2 0.64 1.21 1.69 2.25 2.25 3.24 4.00 4.00 5.76 7.84 yi2 0.49 1.0 1.44 1.00 1.69 2.25 1.69 2.89 4.0 6.25 故可求得 ∴b=0.833，a=－0.013． ∴回歸直線方程為y=0.833x－0.013． 例3．隨機調(diào)查了某地區(qū)10個商店的建筑面積x(km2)與年銷售額y(百萬元)的樣本如下: x(面積) 4.0 60 6 7.2 40 9 20 7 8 8.4 y(銷售額) 3.5 25 4.8 3.5 30 5 12 4.5 5 6 (1)求y關(guān)于x的線性回歸方程； (2)若線性關(guān)系存在，那么對于一個擁有10 000m2的商店來說，它的年銷售額為多少？ 思路解析 利用公式(*)求出a、b，寫出線性回歸方程. 答案:(1)列表. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 4 60 6 7.2 40 9 20 7 8 8.4 yi 3.5 25 4.8 3.5 30 5 12 4.5 5 6 xiyi 14 1 500 28.8 25.2 1 200 45 240 31.5 40 50.4 xi2 16 3 600 36 51.84 1 600 81 400 49 64 70.56 yi2 12.25 625 23.04 12.25 900 25 144 20.25 25 36 ∴=169.6=16.96，= 99.3=9.93． ∴=3 174.9，=5 968.4，=1 822.79． ∴ ∴y=0.48x+1.75． (2)當x=10時，y=6.55． ∴年銷售額約為655萬元. 綠色通道 本題反映了生活中普遍存在的商店的面積與年銷售額之間的聯(lián)系，并根據(jù)已有的數(shù)據(jù)得出線性回歸方程. 這是一類日常生活中經(jīng)常出現(xiàn)的問題.商店的面積與年銷售額之間存在著線性相關(guān)的關(guān)系,根據(jù)相關(guān)的數(shù)據(jù)我們求出它們之間線性回歸方程.利用該方程得出的年銷售額也只是一種估計.