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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1函數(shù)（備課資料） 大綱人教版必修 因?yàn)楹瘮?shù)是現(xiàn)實(shí)世界對(duì)應(yīng)關(guān)系的抽象或者說(shuō)是對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，它重要而且基本，不僅是數(shù)學(xué)研究的重要對(duì)象，也是數(shù)學(xué)中常用的一種數(shù)學(xué)思想，所以全面正確深刻理解函數(shù)概念則是我們教學(xué)的關(guān)鍵.其中函數(shù)的定義域是研究函數(shù)及應(yīng)用函數(shù)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，即處理函數(shù)問(wèn)題必須樹(shù)立“定義域優(yōu)先”這種數(shù)學(xué)意識(shí).熟練準(zhǔn)確地寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式是對(duì)函數(shù)概念理解充分體現(xiàn).下面，針對(duì)函數(shù)的定義域及函數(shù)解析式做進(jìn)一步探討. 一、函數(shù)的定義域 ［例1］求下列函數(shù)的定義域 (1)y＝－x2＋1 (2)y＝ (3)y＝ (4)y＝＋2 (5)y＝ (6)y＝ (7)y＝（a為常數(shù)) 分析：當(dāng)函數(shù)是用解析法給出，并且沒(méi)有指出定義域，則使函數(shù)解析式有意義的自變量的全體所組成的集合就是函數(shù)的定義域. 解：(1)x∈R； (2)要使函數(shù)有意義，必須使x2－4≠0得原函數(shù)定義域?yàn)閧x｜x∈R且x≠2}； (3)要使函數(shù)有意義，必須使x＋｜x｜≠0，得原函數(shù)定義域?yàn)閧x｜x＞0}； (4)要使函數(shù)有意義，必須使得原函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜1≤x≤4}； (5)要使函數(shù)有意義，必須使得原函數(shù)定義域?yàn)閧x｜－2≤x≤2}； (6)要使函數(shù)有意義，必須使 得原函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x＜－1或x＞0或－＜x＜0}； (7)要使函數(shù)有意義，必須使ax－3≥0得 當(dāng)a＞0時(shí)，原函數(shù)定義域?yàn)閧x｜x≥}； 當(dāng)a＜0時(shí)，原函數(shù)定義域?yàn)閧x｜x≤}； 當(dāng)a＝0時(shí)，ax－3≥0的解集為，故原函數(shù)定義域?yàn)椤? 評(píng)述：(1)求函數(shù)定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量取值的集合，一般可通過(guò)解不等式或不等式組完成. (2)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)定義域常常受參數(shù)變化范圍的制約，受制約時(shí)應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.例1中的(8)小題含有參數(shù)a，須對(duì)它分類(lèi)討論. ［例2］(1)已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?0，1)，求f（x2）的定義域. (2)已知函數(shù)f（2x＋1）的定義域?yàn)?0，1)，求f（x）的定義域. (3)已知函數(shù)f（x＋1）的定義域?yàn)閇－2，3]，求f（2x2－2）的定義域. 分析：(1)求函數(shù)定義域就是求自變量x的取值范圍，求f（x2）的定義域就是求x的范圍，而不是求x2的范圍，這里x與x2的地位相同，所滿(mǎn)足的條件一樣. (2)應(yīng)由0＜x＜1確定出2x＋1的范圍，即為函數(shù)f（x）的定義域. (3)應(yīng)由－2≤x≤3確定出x＋1的范圍，求出函數(shù)f（x）的定義域進(jìn)而再求f（2x2－2）的定義域.它是(1)與(2)的綜合應(yīng)用. 解：(1)∵f（x）的定義域?yàn)?0，1) ∴要使f（x2）有意義，須使0＜x2＜1，即－1＜x＜0或0＜x＜1∴函數(shù)f（x2）的定義域?yàn)閧x｜－1＜x＜0或0＜x＜1} (2)∵f（2x＋1）的定義域?yàn)椋?，1），即其中的函數(shù)自變量x的取值范圍是0＜x＜1，令t＝2x＋1，∴1＜t＜3，∴f（t）的定義域?yàn)?＜x＜3 ∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x｜1＜x＜3} (3)∵f（x＋1）的定義域?yàn)椋?≤x≤3，∴－2≤x≤3 令t＝x＋1，∴－1≤t≤4 ∴f（t）的定義域?yàn)椋?≤t≤4 即f(x)的定義域?yàn)椋?≤x≤4，要使f（2x2－2）有意義，須使－1≤2x2－2≤4， ∴－≤x≤－或≤x≤ 函數(shù)f（2x2－2）的定義域?yàn)閧x｜－≤x≤－或≤x≤} 注意：對(duì)于以上(2)(3)中的f（t）與f(x)其實(shí)質(zhì)是相同的. 評(píng)述：(1)對(duì)于復(fù)合函數(shù)f [ｇ（x）]而言，如果函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，則f [ｇ（x）]的定義域是使得函數(shù)ｇ（x）∈A的x取值范圍. (2)如果f [ｇ（x）]的定義域?yàn)锳，則函數(shù)f(x)的定義域是函數(shù)ｇ(x)的值域. 二、函數(shù)的解析式 ［例1］(1)已知f（＋1）＝x＋2，求f(x)的解析式. (2)已知f（x＋）＝x3＋，求f(x)的解析式. (3)已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足關(guān)系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式. 分析：此題目中的“f”這種對(duì)應(yīng)法則，需要從題給條件中找出來(lái)，這就要有整體思想的應(yīng)用，即：求出f及其定義域. 解：(1)設(shè)t＝＋1≥1，則＝t－1， ∴x＝（t－1）2 ∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1） ∴f（x）＝x2－1（x≥1） (2)∵x3＋＝（x＋）（x2＋－1） ＝（x＋）[（x＋）2－3] ∴f（x＋）＝（x＋）[（x＋）2－3] ∴f（x）＝x（x2－3）＝x3－3x ∴當(dāng)x≠0時(shí)，x＋≥2或x＋≤－2， ∴f（x）＝x3－3x（x≤－2或x≥2） (3)設(shè)f（x）＝ax＋b則3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a ＝2x＋17 ∴a＝2，b＝7， ∴f（x）＝2x＋7. 注意：對(duì)于(1)中f（x）與f(t)本質(zhì)上一樣. 評(píng)述：“換元法”“配湊法”及“待定系數(shù)法”是求函數(shù)解析式常用的方法，以上3個(gè)題目分別采用了這三種方法.值得提醒的是在求出函數(shù)解析式時(shí)一定要注明定義域. ［例2］(1)甲地到乙地的高速公路長(zhǎng)1500公里，現(xiàn)有一輛汽車(chē)以100公里／小時(shí)的速度從甲地到乙地，寫(xiě)出汽車(chē)離開(kāi)甲地的距離S(公里)表示成時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù). 分析：從已知可知這輛汽車(chē)是勻速運(yùn)動(dòng)，所以易求得函數(shù)解析式，其定義域由甲乙兩地之間的距離來(lái)決定. 解：∵汽車(chē)在甲乙兩地勻速行駛，∴S＝100t ∵汽車(chē)行駛速度為100公里／小時(shí)，兩地距離為1500公里， ∴從甲地到乙地所用時(shí)間為t＝小時(shí) 答：所求函數(shù)為：S＝100t t∈[0，15] (2)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360千克，如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長(zhǎng)1.2％，糧食總產(chǎn)量平均每年增長(zhǎng)4%，那么x年后若人均一年占有y千克糧食.求出函數(shù)y關(guān)于x的解析式. 分析：此題用到平均增長(zhǎng)率問(wèn)題的分式，由于學(xué)生尚未學(xué)到，所以還應(yīng)推導(dǎo). 解：設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口為A，則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口數(shù)為A(1＋1.2％)，2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A（1＋1.2％）2…經(jīng)過(guò)x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A(1＋1.2％)x.再設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B，則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的糧食產(chǎn)量為B(1＋4％),2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B（1＋4％）2…，經(jīng)過(guò)x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B（1＋4％）x，因某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食為360 kg，即＝360，所以x年后的人均一年占有糧食為y，即y＝（x∈N*) 評(píng)述：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題求函數(shù)解析式，是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定自變量后去尋求等量關(guān)系，求得函數(shù)解析式后，還要注意函數(shù)定義域要受到實(shí)際問(wèn)題的限制. 三、參考練習(xí)題 (1)函數(shù)y＝的定義域是_________. 答案：R (2)設(shè)函數(shù)f（2x－1）＝2x－1，則函數(shù)f（x）的定義域是_________. 答案：（－1，＋∞） (3)已知函數(shù)f（x－1）＝－2x＋1，求f(x)的解析式是_________. 答案：f（x）＝－2x－1 (4)已知f（x）是一次函數(shù)，且f [f（x）]＝4x－1，則f（x）的解析式是_________. 答案：f（x）＝2x－或f（x）＝－2x＋1 ●備課資料 一、函數(shù)的值域 在函數(shù)概念的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)法則是最基本的，值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則所確定，因此，研究值域仍應(yīng)注重函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的作用和定義域?qū)χ涤虻闹萍s，以下試舉例說(shuō)明常用方法. 對(duì)函數(shù)值域的理解 [例題]求下列函數(shù)的值域 (1)y＝1－2x， （x∈R） (2)y＝｜x｜－1 x∈{－2，－1，0，1，2} (3)y＝x2＋4x＋3， （－3≤x≤1） (4)y＝｜x＋1｜－｜x－2｜ (5)y＝2x－3＋ (6)y＝ (7)y＝ (8)y＝ (9)y＝3－2x－x2 ， x∈[－3，1] (10)y＝ 分析：求函數(shù)的值域應(yīng)確定相應(yīng)的定義域后再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運(yùn)算確定其值域. 對(duì)于(1)(2)可用“直接法”根據(jù)它們的定義域及對(duì)應(yīng)法則得到(1)(2)的值域. 對(duì)于(3)(4)可借助數(shù)形結(jié)合思想利用它們的圖象得到值域，即“圖象法”. 對(duì)于(5)(6)可借用整體思想，利用“換元法”求得值域. 對(duì)于(7)可將其分離出一個(gè)常數(shù)，即利用“分離常數(shù)法”求得它的值域. 對(duì)于(8)可通過(guò)對(duì)“Δ”的分析，即利用“判別式法”求得其值域. 對(duì)于(9)(10)可“通過(guò)中間函數(shù)的值域去求所求函數(shù)的值域”這一方法，即“中間媒介法”求得其值域. 解：(1)y∈R (2)y∈{1，0，－1} (3)畫(huà)出y＝x2＋4x＋3（－3≤x≤1）的圖象，如圖所示，當(dāng)x∈[－3，1]時(shí)，得y∈[－1，8] (4)對(duì)于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，從幾何意義入手，即利用絕對(duì)值的幾何意義可知，｜x＋1｜表示在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到點(diǎn)－1的距離，｜x－2｜表示在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到點(diǎn)2的距離，在數(shù)軸上任取三個(gè)點(diǎn)xA≤－1，－1＜xB＜2，xC≥c，如圖所示，可以看出｜xA＋1｜－｜xA－2｜＝－3 －3＜｜xB＋1｜－｜xB－2｜＜3，｜xC＋1｜－｜xC－2｜＝3，由此可知，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3，所以函數(shù)y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域?yàn)閥∈[－3，3] (5)對(duì)于沒(méi)有給定自變量的函數(shù)，應(yīng)先考查函數(shù)的定義域，再求其值域. ∵4x－13≥0 ∴x∈[，＋∞)令t＝則得：x＝ ∴y＝t2＋t＋， ∴y＝（t＋1）2＋3 ∵x≥， ∴t≥0 根據(jù)二次函數(shù)圖象可得y∈[，＋∞) (6)∵函數(shù)定義域?yàn)閤∈R，由原函數(shù)可化得： y＝ ＝ ＝，令t＝ ∵x∈R ， ∴t∈(0，1]， ∴y＝5t2－t＋1＝5（t－）2＋ 根據(jù)二次函數(shù)的圖象得， 當(dāng)t＝時(shí)，ymin＝；當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝5 ∴函數(shù)的值域?yàn)閥∈[，5] (7)∵y＝－＋， ∵≠0，∴y≠－ ∴函數(shù)y的值域?yàn)閥∈（－∞，－）∪（－，＋∞） (8)由y＝得x∈R，且可化為： （2y－1）x2＋2（y＋1）x＋（y＋3）＝0 ∴當(dāng)y≠時(shí)， △＝[2（y＋1）]2－4（2y－1）（y＋3）≥0 ∴y2＋3y－4≤0 ∴－4≤y≤1且y≠ 又當(dāng)y＝時(shí)，2（1＋）x＋（＋3）＝0 得：x＝－，滿(mǎn)足條件 ∴函數(shù)的值域?yàn)閥∈[－4，1] (9)∵－3≤x≤1，∴－2≤x＋1≤2 ∴｜x＋1｜≤2，即（x＋1）2≤4 ∴y＝3－2x－x2＝－（x＋1）2＋4∈[0，4] ∴函數(shù)值域?yàn)閥∈[0，4] (10)由y＝可知，x∈R且yx2＋2y＝3x2－1 即（3－y）x2＝2y＋1 若y＝3時(shí)，則有0＝7，這是不可能的. ∴y≠3 得：x2＝ ∵x2≥0 ∴≥0 解得：－≤y＜3 ∴函數(shù)值域?yàn)閥∈[－，3) 評(píng)述：（1）求函數(shù)的值域是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題，它沒(méi)有現(xiàn)成的方法可套用，要結(jié)合函數(shù)表達(dá)式的特征，以及與所學(xué)知識(shí)聯(lián)系，靈活地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒? （2）對(duì)于以上例題也可以采取不同的方法求解每一個(gè)值域，請(qǐng)讀者不妨試一試. （3）除以上介紹的方法求函數(shù)值域外，隨著學(xué)生的繼續(xù)學(xué)習(xí)，我們今后還會(huì)有“反函數(shù)”法、“單調(diào)性”法、“三角換元”法、“不等式”法及“導(dǎo)數(shù)法”等. 二、參考練習(xí)題 （1）已知集合A＝{a，b，c，d，ｅ}，B＝{a，b，c，d，ｅ}對(duì)應(yīng)法則如圖示，則從A到B為映射的是（ ） 答案：C （2）下列哪一個(gè)對(duì)應(yīng)是從集合P到集合S的一個(gè)映射（ ） A.P＝{有理數(shù)}，S＝{數(shù)軸上的點(diǎn)}，對(duì)應(yīng)法則f：有理數(shù)→數(shù)軸上的點(diǎn) B.P＝{數(shù)軸上的點(diǎn)}，S＝{有理數(shù)}，對(duì)應(yīng)法則f：數(shù)軸上的點(diǎn)→有理數(shù) C.x∈P＝R，y∈S＝R＋，對(duì)應(yīng)法則f：x→y＝｜x｜ D.x∈P＝RR＋，y∈S＝R＋，對(duì)應(yīng)法則f：x→y＝x2 答案：A （3）在映射f：A→B中，下列判斷正確的是（ ） A.A中的元素a的象可能不只一個(gè) B.A中的兩個(gè)元素a和b的象必不相同 C.B中的元素a′的原象可能不只一個(gè) D.B中的兩個(gè)不同元素a′和b′的原象可能相同 答案：C （4）關(guān)于從集合A到集合B的映射，下面說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ） A.A中每一個(gè)元素在B中都有象 B.A中的兩個(gè)不同元素在B中的象不同 C.B中的元素在A中可以沒(méi)有象 D.B中的某元素在A中的原象可能不止一個(gè) 答案：B （5）從集合A＝{a，b}到集合B＝{1，2}的映射共有（ ） A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 答案：C （6）集合P＝{x｜0≤x≤4}，Q＝{x｜0≤x≤2}，下列不表示從P到Q的映射的是( ) A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x C.f：x→y＝x D.f：x→y＝ 答案：C （7）設(shè)M＝{a，b，c}，N＝{－1，0，1}，從M到N的映射f滿(mǎn)足f（a）＞f（b） ≥f（c），試確定這樣的映射f的個(gè)數(shù)（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 分析：用列舉法，滿(mǎn)足條件f（a）＞f（b）≥f（c）的映射可列表如下： f（a） 0 1 1 1 f（b） －1 －1 0 0 f（c） －1 －1 －1 0 故符合條件的映射共有4個(gè). 答案：D