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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.1《綜合法和分析法》教案 新人教A版選修2-2 第一課時(shí) 2.2.1 綜合法和分析法（一） 教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn). 教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程. 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 已知 “若，且，則”，試請此結(jié)論推廣猜想. （答案：若，且，則 ） 2. 已知，，求證：. 先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點(diǎn)？ 二、講授新課： 1. 教學(xué)例題： ① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. 分析：運(yùn)用什么知識(shí)來解決？（基本不等式） → 板演證明過程（注意等號的處理） → 討論：證明形式的特點(diǎn) ② 提出綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立. 框圖表示： 要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч? ③ 練習(xí)：已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證. ④ 出示例2：在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列. 求證：為△ABC等邊三角形. 分析：從哪些已知，可以得到什么結(jié)論？ 如何轉(zhuǎn)化三角形中邊角關(guān)系？ → 板演證明過程 → 討論：證明過程的特點(diǎn). → 小結(jié)：文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言；邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；挖掘題中的隱含條件（內(nèi)角和） 2. 練習(xí)： ① 為銳角，且，求證：. （提示：算） ② 已知 求證： 3. 小結(jié)：綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論，直到最后的結(jié)論是Q. 運(yùn)用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題. 三、鞏固練習(xí)： 1. 求證：對于任意角θ，. （教材P100 練習(xí) 1題） （兩人板演 → 訂正 → 小結(jié)：運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換、思維過程） 2. 的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，求證：. 3. 作業(yè)：教材P102 A組 2、3題. 第二課時(shí) 2.2.1 綜合法和分析法（二） 教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn). 教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用分析法證明問題；了解分析法的思考過程. 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 提問：基本不等式的形式？ 2. 討論：如何證明基本不等式. （討論 → 板演 → 分析思維特點(diǎn)：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件） 二、講授新課： 1. 教學(xué)例題： ① 出示例1：求證. 討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件？ → 板演證明過程 （注意格式） → 再討論：能用綜合法證明嗎？ → 比較：兩種證法 ② 提出分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止. 框圖表示： 要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因. ③ 練習(xí)：設(shè)x > 0，y > 0，證明不等式：. 先討論方法 → 分別運(yùn)用分析法、綜合法證明. ④ 出示例2：見教材P97. 討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論出發(fā)，逐步反推） ⑤ 出示例3：見教材P99. 討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論與已知出發(fā)，逐步探求） 2. 練習(xí)：證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大. 提示：設(shè)截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為，截面積為，周長為l的正方形邊長為，截面積為，問題只需證：> . 3. 小結(jié)：分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立； 比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑. （框圖示意） 三、鞏固練習(xí)： 1. 設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：. 略證：正弦、余弦定理代入得：， 即證：，即：，即證：（成立）. 2. 作業(yè)：教材P100 練習(xí) 2、3題. 第三課時(shí) 2.2.2 反證法 教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn). 教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用反證法證明問題；了解反證法的思考過程. 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次） 2. 提出問題： 平面幾何中，我們知道這樣一個(gè)命題：“過在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓”. 討論如何證明這個(gè)命題？ 3. 給出證法：先假設(shè)可以作一個(gè)⊙O過A、B、C三點(diǎn)， 則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上， 即O是l與m的交點(diǎn)。 但 ∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾) ∴ 過在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓. 二、講授新課： 1. 教學(xué)反證法概念及步驟： ① 練習(xí)：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么 ② 提出反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立. 證明基本步驟：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立 → 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立 應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等）. 方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價(jià)性來進(jìn)行證明的，即由一個(gè)命題與其逆否命題同真假，通過證明一個(gè)命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實(shí). 注：結(jié)合準(zhǔn)備題分析以上知識(shí). 2. 教學(xué)例題： ① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定結(jié)論？ → 如何從假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理？ → 得到怎樣的矛盾？ 與教材不同的證法：反設(shè)AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結(jié)OP， 則由垂徑定理：OP^AB，OP^CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分. ② 出示例2：求證是無理數(shù). （ 同上分析 → 板演證明，提示：有理數(shù)可表示為） 證：假設(shè)是有理數(shù)，則不妨設(shè)（m,n為互質(zhì)正整數(shù)）， 從而：，，可見m是3的倍數(shù). 設(shè)m=3p（p是正整數(shù)），則 ，可見n 也是3的倍數(shù). 這樣，m, n就不是互質(zhì)的正整數(shù)（矛盾）. ∴不可能，∴是無理數(shù). ③ 練習(xí)：如果為無理數(shù)，求證是無理數(shù). 提示：假設(shè)為有理數(shù)，則可表示為（為整數(shù)），即. 由，則也是有理數(shù)，這與已知矛盾. ∴ 是無理數(shù). 3. 小結(jié)：反證法是從否定結(jié)論入手，經(jīng)過一系列的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而說明原結(jié)論正確. 注意證明步驟和適應(yīng)范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題） 三、鞏固練習(xí)： 1. 練習(xí)：教材P102 1、2題 2. 作業(yè)：教材P102 A組4題.