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2019-2020年高中數學 第2章 第13課時 平面與平面垂直的判定課時作業(yè) 新人教A版必修2 1．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一組條件是(　　) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?β C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：A與D中α也可與β平行，B中不一定α⊥β，故選C. 答案：C 2．三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點O，點P到三個面的距離分別是3,4,5，則OP的長為(　　) A．5　　　　 B．5 C．3 D．2 解析：∵三個平面兩兩垂直， ∴可以將P與各面的垂足連接并補成一個長方體， ∴OP即為對角線， ∴OP＝＝＝5. 答案：B 3．下列說法中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系，其中正確的有(　　) A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 解析：對①，顯然混淆了平面與半平面的概念，是錯誤的；對②，由于a，b分別垂直于兩個面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線所成的角為銳角(或直角)，所以應是相等或互補，是正確的；對③，因為不垂直于棱，所以是錯誤的；④是正確的，故選B. 答案：B 4．已知PA垂直矩形ABCD所在的平面(如圖)．圖中互相垂直的平面有(　　) A．1對 B．2對 C．3對 D．5對 解析：∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A， ∴DA⊥平面PAB，同樣BC⊥平面PAB， 又易知AB⊥平面PAD， ∴DC⊥平面PAD. ∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5對． 答案：D 5．經過平面α外一點和平面α內一點與平面α垂直的平面有(　　) A．0個 B．1個 C．無數個 D．1個或無數個 解析：如果平面內一點與平面外一點的連線與平面垂直，則可以作無數個平面與已知平面垂直，如果兩點連線與已知平面不垂直，則只能作一個平面與已知平面垂直． 答案：D 6.如圖，在三棱錐P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點E，F，G分別是所在棱的中點，則下面結論中錯誤的是(　　) A．平面EFG∥平面PBC B．平面EFG⊥平面ABC C．∠BPC是直線EF與直線PC所成的角 D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角 解析：由于易知FG∥平面PBC，GE∥平面PBC，且FG∩GE＝G， 故平面EFG∥平面PBC，A正確； 由題意知PC⊥平面ABC，FG∥PC， 所以FG⊥平面ABC，故平面EFG⊥平面ABC，B正確； 根據異面直線所成角的定義可知，C正確； 而D中，FE不垂直于AB，故∠FEG不是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角，故選D. 答案：D 7．下列四個命題中，正確的序號有________． ①α∥β，β⊥γ，則α⊥γ； ②α∥β，β∥γ，則α∥γ； ③α⊥β，γ⊥β，則α⊥γ； ④α⊥β，γ⊥β，則α∥γ. 解析：③④不正確，如圖所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直． 答案：①② 8．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1－BD－C的大小為________． 解析：如圖，連接AC交BD于點O，連接C1O， ∵C1D＝C1B，O為BD中點， ∴C1O⊥BD，∵AC⊥BD， ∴∠C1OC是二面角C1－BD－C的平面角， 在Rt△C1CO中，C1C＝，可以計算C1O＝2， ∴sin∠C1OC＝＝，∴∠C1OC＝30. 答案：30 9.已知二面角α－l－β為60，AB?α，AB⊥l，A為垂足，CD?β，C∈l，∠ACD＝135，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為________． 解析： 如圖，平移CD至AF，則∠BAF為所求．作二面角α－l－β的平面角∠BAE＝60， 又∠EAF＝45， 由cos∠BAF＝cos∠BAEcos∠EAF得 cos∠BAF＝＝. 答案： 10.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點． (1)求證：EF∥平面CB1D1； (2)求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1. 證明：(1)連接BD. 在正方體AC1中，對角線BD∥B1D1. 又∵E、F為棱AD、AB的中點， ∴EF∥BD. ∴EF∥B1D1. 又B1D1?平面CB1D1，EF?平面CB1D1， ∴EF∥平面CB1D1. (2)∵在正方體AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1?平面A1B1C1D1， ∴AA1⊥B1D1. 又∵在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1， ∴B1D1⊥平面CAA1C1. 又∵B1D1?平面CB1D1， ∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1. B組　能力提升 11．如圖， 在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜邊AB＝4，Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉得到，且二面角B－AO－C是直二面角，D是AB的中點． (1)求證：平面COD⊥平面AOB； (2)求異面直線AO與CD所成角的正切值． 解：(1)證明：由題意，CO⊥AO，BO⊥AO， ∴∠BOC是二面角B－AO－C的平面角， ∴CO⊥BO， 又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB， 又∵CO?平面COD， ∴平面COD⊥平面AOB. (2)作DE⊥OB，垂足為E， 連接CE(如圖)，則DE∥AO， ∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角． 在Rt△COE中， CO＝BO＝2， OE＝BO＝1， ∴CE＝＝. 又DE＝AO＝， ∴在Rt△CDE中，tan∠CDE＝＝＝. ∴異面直線AO與CD所成角的正切值為. 12．如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝. (1)證明：平面PBE⊥平面PAB； (2)求二面角A－BE－P的大小． 解析：(1)證明：如圖所示，連接BD， 由ABCD是菱形且∠BCD＝60知， △BCD是等邊三角形． 因為E是CD的中點，所以BE⊥CD. 又AB∥CD，所以BE⊥AB. 又因為PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD， 所以PA⊥BE. 而PA∩AB＝A， 因此BE⊥平面PAB. 又BE?平面PBE， 所以平面PBE⊥平面PAB. (2)由(1)知BE⊥平面PAB，PB?平面PAB， 所以PB⊥BE. 又AB⊥BE， 所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角． 在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，∠PBA＝60， 故二面角A－BE－P的大小是60.