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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教案 新人教A版選修1 目標(biāo)認(rèn)知 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件； 2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義； 3.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義. 重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及數(shù)系的擴(kuò)充 難點(diǎn)：對(duì)概念的準(zhǔn)確理解以及復(fù)數(shù)的幾種意義 學(xué)習(xí)策略 ①?gòu)?fù)數(shù)是對(duì)數(shù)系的又一次擴(kuò)充，對(duì)復(fù)數(shù)（），既要從整體的角度去認(rèn)識(shí)它，把復(fù)數(shù)看成一個(gè)整體，又要從實(shí)部和虛部分解成兩部分去認(rèn)識(shí)它，這是理解復(fù)數(shù)問(wèn)題的重要思路。 ②復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算一般用代數(shù)形式進(jìn)行；求解計(jì)算時(shí)，要充分利用i的性質(zhì)計(jì)算問(wèn)題； ③復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的最基本也是最重要的思想方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件. 知識(shí)要點(diǎn)梳理 知識(shí)點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的基本概念 1.虛數(shù)單位: （1）它的平方等于，即； （2）是－1的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是； （3）可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立； 2.概念 形如（）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作：（）；其中：叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部，是虛數(shù)單位。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示。 說(shuō)明：這里容易忽視，但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù). 3.復(fù)數(shù)的分類 （） 4.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系 5.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、0的關(guān)系： 對(duì)于復(fù)數(shù)（） ①當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)； ②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)； ③當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)叫做純虛數(shù)； ④當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)就是實(shí)數(shù)0. 6.復(fù)數(shù)相等的充要條件 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.即： 如果，那么 特別地：. 說(shuō)明： （1） （2）一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣. （3）復(fù)數(shù)相等的充要條件是將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)解決問(wèn)題的基礎(chǔ). （4）一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大??；也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小. 6.共軛復(fù)數(shù)： 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示。即復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作：（）. 注意：實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身。 知識(shí)點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其四則運(yùn)算 1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 把復(fù)數(shù)表示成（）的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式. 2.四則運(yùn)算 設(shè)，（），則 注意：復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù). 3．指數(shù)冪的運(yùn)算律 在復(fù)數(shù)集C中，指數(shù)冪的運(yùn)算律仍然成立 即對(duì)任意及，有 ，， 規(guī)定： 知識(shí)點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義 1. 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸： 如圖所示，復(fù)數(shù)（）可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸. 注意：實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù). 2.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 按照復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)。 復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即 復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義。 3.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系 在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，所以，我們還可以用向量來(lái)表示復(fù)數(shù)。 設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)（），向量由點(diǎn)唯一確定；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)也可以由向量唯一確定。 復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，即 復(fù)數(shù)平面向量 這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義。 4.復(fù)數(shù)的模 設(shè)（），則向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)的模，記作. 即. 理解: ①兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小. ②復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，并且他們的模相等。 知識(shí)點(diǎn)四：復(fù)數(shù)加減法的幾何意義 如果復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)于向量、，那么以、為兩邊作平行四邊形，對(duì)角線表示的向量就是的和所對(duì)應(yīng)的向量.對(duì)角線表示的向量就是兩個(gè)復(fù)數(shù)的差所對(duì)應(yīng)的向量. 規(guī)律方法指導(dǎo) 1.復(fù)數(shù)的表示形式： 代數(shù)形式：（） 幾何表示： ①坐標(biāo)表示：在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)表示復(fù)數(shù)（）； ②向量表示：以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)為終點(diǎn)的向量表示復(fù)數(shù). 理解：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)平面向量 2.虛數(shù)單位的周期性： ，，，（）. 3.復(fù)數(shù)的分類 對(duì)于復(fù)數(shù)（） ①為實(shí)數(shù)； ②為虛數(shù)； ③為純虛數(shù)且； ④為非純虛數(shù)且； ⑤. 4.互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)的性質(zhì)： 代數(shù)特征：實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù). 幾何特征：復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，并且他們的模相等。 設(shè)復(fù)數(shù)（），則其共軛復(fù)數(shù)為（） ① ②，即實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身。 ③ ④