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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊二 直線與雙曲線完整講義（學(xué)生版） 1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡（或集合）叫做橢圓． 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ①，焦點(diǎn)是，，且． ②，焦點(diǎn)是，，且． 3．橢圓的幾何性質(zhì)（用標(biāo)準(zhǔn)方程研究）： ⑴范圍：，； ⑵對(duì)稱性：以軸、軸為對(duì)稱軸，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心又叫做橢圓的中心； ⑶橢圓的頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，如圖中的； ⑷長(zhǎng)軸與短軸：焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸上，兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段稱為橢圓的長(zhǎng)軸，如圖中線段的；另一對(duì)頂點(diǎn)間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段． ⑸橢圓的離心率：，焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比，，越趨近于，橢圓越扁； 反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓． 4．直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō)，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為： 設(shè)直線：，圓錐曲線：，由 消去（或消去）得：． 若，，相交；相離；相切． 若，得到一個(gè)一次方程：①為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；②為拋物線，則與拋物線的對(duì)稱軸平行． 因此直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 5．連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦． 求弦長(zhǎng)的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求； 另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則弦長(zhǎng)公式為． 兩根差公式： 如果滿足一元二次方程：， 則（）． 6．直線與圓錐曲線問(wèn)題的常用解題思路有： ①?gòu)姆匠痰挠^點(diǎn)出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)進(jìn)行討論，這是用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)．要重視通過(guò)設(shè)而不求與弦長(zhǎng)公式簡(jiǎn)化計(jì)算，并同時(shí)注意在適當(dāng)時(shí)利用圖形的平面幾何性質(zhì)． ②以向量為工具，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決與中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、角度相關(guān)的問(wèn)題． 典例分析 【例1】 若直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是_______ 【例2】 過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有_____條 【例3】 過(guò)點(diǎn)與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為______ 【例4】 直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)、，則=_________． 【例5】 若直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍． 【例6】 若直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的的值． 【例7】 若直線與雙曲線有兩個(gè)相異公共點(diǎn)，求的取值范圍． 【例8】 直線與雙曲線的一支有兩個(gè)相異公共點(diǎn)，求的取值范圍． 【例9】 若直線與雙曲線的兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍． 【例10】 若直線與雙曲線的右支有兩個(gè)相異公共點(diǎn)，求的取值范圍． 【例11】 已知不論取何實(shí)數(shù)，直線與雙曲線總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【例12】 直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)．①當(dāng)為何值時(shí)，、分別在雙曲線的兩支上？②當(dāng)為何值時(shí)，以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？ 【例13】 已知直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)、． ①求的取值范圍； ②若軸上的點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離相等，求的值． 【例14】 已知直線與雙曲線，記雙曲線的右頂點(diǎn)為，是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且，若存在，求出值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【例15】 已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為． ⑴求的方程； ⑵若、是曲線上不同的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值． 【例16】 直線與雙曲線的右支交不同的，兩點(diǎn)， ⑴求實(shí)數(shù)取值范圍； ⑵是否存在實(shí)數(shù)，使得以線段直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)．若存在，求出值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【例17】 雙曲線的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，漸近線方程為． ⑴求雙曲線的方程； ⑵設(shè)直線：與雙曲線交于、兩點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)． 【例18】 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，過(guò)其右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線被雙曲線截得的弦的長(zhǎng)為． ⑴求此雙曲線的方程； ⑵若直線與該雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)、，且以線段為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求定點(diǎn)到直線的距離的最大值，并求此時(shí)直線的方程． ___________________________________________________________________________________________________________________________ / / / / / /○/ / / / / /○/ / / / / /○ 密 ○ 封 ○ 裝 ○ 訂 ○ 線 ○/ / / / / /○/ / / / / /○/ / / / / / 密 封 線 內(nèi) 不 要 答 題 【例19】 在中，已知、，動(dòng)點(diǎn)滿足． ⑴求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； ⑵設(shè)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作直線垂直，且與直線交于點(diǎn)，試在軸上確定一點(diǎn)，使得； ⑶在⑵的條件下，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求的值． 【例20】 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為． ⑴求雙曲線的方程； ⑵若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且（其中為原點(diǎn)），求的取值范圍． 【例21】 已知雙曲線，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方向向量 ． ⑴當(dāng)直線與雙曲線的一條漸近線平行時(shí)，求直線的方程及與的距離； ⑵證明：當(dāng)>時(shí)，在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為． 【例22】 已知雙曲線的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為． ⑴求雙曲線的方程； ⑵如圖，是雙曲線上一點(diǎn)，，兩點(diǎn)在雙曲線的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，，求面積的取值范圍． 【例23】 已知以原點(diǎn)為中心，為右焦點(diǎn)的雙曲線的離心率． ⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程； ⑵如圖，已知過(guò)點(diǎn)的直線與過(guò)點(diǎn)（其中）的直線的交點(diǎn)在雙曲線上，直線與兩條漸近線分別交與、兩點(diǎn)，求的面積． 【例24】 已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)并且與圓相外切，動(dòng)圓圓心的軌跡為，軌跡與軸的交點(diǎn)為． ⑴求軌跡的方程； ⑵設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且與軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，求直線的斜率的取值范圍； ⑶在⑵的條件下，若，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)． 【例25】 已知點(diǎn)為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò) 作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接并延長(zhǎng)交軸于． ⑴求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程； ⑵設(shè)軌跡與軸交于、兩點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，直線，分別交軸于兩點(diǎn)．求證：以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn)． （焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)雙曲線的準(zhǔn)線方程為） 【例26】 已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為． ⑴求雙曲線的方程； ⑵設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值．