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2019-2020年高一數學上 第二章 函數：函數2.1.1優(yōu)秀教案 2.1 映 射 [教學目的] 使學生了解映射的概念及表示方法；了解象、原象的概念；了解一一映射的概念. [重點難點] 重點難點：映射的概念. [教學設想] 1.教法：直觀演示、引導發(fā)現法； 2.學法：啟發(fā)學生觀察、思考、分析和討論； 3.課時：2課時. [教學過程] 2.1.1 映射的概念和性質 [教學目的] 使學生了解映射的概念、表示方法及性質，了解象、原象的概念.會判斷一些簡單的對應是否是映射，會求象或原象. [重點難點] 重點難點：映射的概念. [教學過程] 一、復習引入 在上一章里，我們較系統(tǒng)地學習了集合的初步知識，學習了元素與集合的關系—屬于或不屬于，集合與集合的包含關系，以及集合的交、并、補運算等. 在初中我們已學過一些對應的例子，例如，對于任何一個實數a，數軸上都有唯一的一點P和它對應；對于坐標平面內任何一個點M，都有唯一的一個有序實數對(x,y)和它對應；對于任意一個三角形，都有唯一的一個確定的面積和它對應.本節(jié)我們將學習一種特殊的對應—映射. 二、學習、講解新課 ⒈映射的概念 我們看下面的對應： 下列圖2-2中哪些是A中元素對應B中唯一元素的特殊對應： 1 2 3 4 5 6 1 -1 2 -2 3 -3 1/2 1 3 -3 2 -2 1 -1 A B A B A B A B 1 2 3 1 4 9 300 450 600 900 9 4 1 開平方 求正弦 求平方 乘以2 (1) (2) (3) (4) 圖2-2 A．⑴； B．⑴⑵； C．⑵⑷； D．⑵⑶⑷ 答案：D. 從上述幾個例子的對應(圖2-2(1)除外)中，你能歸納出它們的共同特點嗎？ 上述對應(圖2-2(1)除外)的共同特點是：對于集合A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應.這種A中元素對應B中唯一元素的特殊對應，我們把它叫做集合A到集合B的映射. 一般地，設A，B是兩個集合，如果按照某種對應法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應(包括集合A，B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B.其中與A中的元素a對應的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 這樣，上述(除圖2-2(1)外)的對應，都是集合A到集合B的映射；而圖2-2(1)的對應則不是集合A到集合B的映射(為是么？). 在圖2-2(2)的映射中，1/2，/2,/2，1分別是300，450,600,900的象，300，450,600,900分別是1/2，/2,/2，1的原象. 你能舉出日常生活中的一些有關映射的例子嗎？ 如照相，如果把Ａ看作是我們班的全體同學和老師組成的集合，Ｂ看作是我們班全體同學和老師所照的相上的人像組成的集合，那么我們班的全體同學和老師都是原象，所照的相片上的人像都是象.另外，當大家都沒有被遮住時，每個同學和老師都有自己對應的象，這是一對一的映射；當有些同學被前面的同學遮住時，那么這些同學和他前面的同學就只能對應他前面同學的象，這是多對一的映射. 下面我們再來分析一下定義中的一些關鍵字詞，以便更好地理解映射的概念. ①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個映射，比如圖2-2⑶中A到B是求平方，B到A則是開平方，因此映射是有序的； ②“都有”：就是說對集合A中任何一個元素，集合B中都有元素和它對應，這是映射的存在性； ③“唯一”：對于集合A中的任何一個元素，集合B中都是唯一的元素和它對應，這是映射的唯一性； ④“在集合B中”：也就是說A中元素的象必在集合B中，這是映射的封閉性. ⒉映射的性質 ⑴任意性：映射中的兩個集合A，B可以是數集、點集或由圖形組成 的集合等； ⑵有序性：映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個映射； ⑶存在性：映射中集合A的每一個元素在集合B中都有它的象； ⑷唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的； ⑸封閉性：映射中集合A的任一元素的象都必須是B中的元素，即A中元素的象集是B的子集. ⒊怎樣理解映射 從A到B的映射f:A→B，可以形象地比喻為“無脫靶的射箭”，即： ⑴可以“一對一”，也可以“多對一”，但不能“一對多”； ⑵ A中任一元素在B中均有唯一的一個元素和它對應，但允許B中有某些元素不是A 中任一元素的象. 例如，上面的無脫靶投飛標，可能“一箭一標”，“多箭一標”，但不可能“一箭多標”.同時箭袋中的箭可以射完且箭箭中標，但標不一定被射完. 又如，圖2-2中，⑵⑷是一對一的映射，⑶是多對一的映射；若把Ａ看作是自變量組成的集合，Ｂ看作是因變量組成的集合，那么我們初中學過的一次函數、反比例函數都是一對一的映射，而二次函數是多對一的映射. ⒋例題評價 例１ 已知下列集合A到B的對應，請判斷哪些是A到B的映射？并說明理由： ⑴ A=N，B=Z，對應法則：“取相反數”； ⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，對應法則：“取倒數”； ⑶A={1，2，3，4，5}，B=R，對應法則：“求平方根”； ⑷A={|00900}，B={x|0x1}，對應法則：“取正弦”. 答案：⑴是；⑵不是，因為A中元素0沒有倒數；⑶不是，因不滿足唯一性，若對應法則改為“求平方”，則是；⑷是. 例2 集合A=N，B={m|m=,n∈N},f:x→y=，x∈A，y∈B.請計算在f作用下，象9/11，11/13的原象分別是多少. 分析：求象9/11的原象只需解方程（2x-1）/（2x+1）=9/11求出x即可.同理可求11/13的原象. 答案：象9/11，11/13的原象分別是5，6. ⒌目標檢測 ⑴課本P49練習：1，2，4.（直接做在課本上） ⑵判斷題：在從集合A到集合B的映射中，下列說法正確的是（ ） ① A中的每一個元素在B中都有象； ② A中的兩個不同元素在B中的象必不同； ③ B中的元素在A中可以沒有原象； ④ B中的某一元素在A中是原象可能不止一個； ⑤ A中元素象的集合即為B. A.①②③； B.①③④； C.①④⑤； D.①②④ 答案：⑴課本練習：1.（略）；2.⑴有2個，即2；⑵有1個，即1/2；⑶有一個，即1；⑷有一個，即6； 4. 600的象是；的原象是450. ⑵判斷題：B. 三、小 結 ⒈ 對應 ⒉ 映射的三要素：兩個集合A，B以及A到B的對應法則f. ⒊ 映射是特殊的對應，A中任一元素對應B中唯一元素，簡言之：“每元有象，象唯一”. 四、布置作業(yè) (一)復習：課本P46-48的內容. (二)書面：課本P49-50習題2.1：1，2，4（直接做在課本上）；