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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-1 1．空間向量 (1)空間向量的知識脈絡(luò)： 向量的概念→向量的運(yùn)算→基本定理→直角坐標(biāo)系→向量的坐標(biāo)運(yùn)算→應(yīng)用． (2)空間向量的概念： ①定義：具有大小和方向的量稱為向量；②向量相等：長度相等且方向相同． (3)空間向量的運(yùn)算： ①加法法則：平行四邊形法則，三角形法則； ②減法法則：三角形法則； ③向量的數(shù)量積：ab＝|a||b|cosθ(θ為a與b的夾角)． (4)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算： 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則 ①加減法：ab＝(x1x2，y1y2，z1z2)； ②實數(shù)與向量積：λa＝(λx1，λy1，λz1)； ③數(shù)量積：ab＝x1x2＋y1y2＋z1z2； ④a的模：|a|＝. (5)空間向量的夾角及其表示： 已知兩非零向量a、b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉；且規(guī)定0≤〈a，b〉≤π，顯然有〈a，b〉＝〈b，a〉；若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.令a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則cos〈a，b〉＝＝. (6)空間向量平行、垂直的條件： ①兩向量垂直：a⊥b?ab＝0； ②兩向量平行：a∥b?b＝λa(a為非零向量)． (7)空間向量基本定理： 如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p＝xa＋yb＋zc. (8)空間共面向量定理： 如果兩個向量a、b不共線，則向量c與向量a、b共面的充要條件是存在惟一的一對實數(shù)x、y，使c＝xa＋yb. 2．平面的法向量 若向量a所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量． 3．用空間向量處理立體幾何問題的常用方法 (1)證明空間的平行 證明直線與平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明平面與平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明這兩個平面的法向量平行． 證明直線和平面平行，也可以使用下面的定理： 如圖①，已知直線a?平面α，A，B∈a，C，D∈α，且C、D、E三點不共線，則a∥α的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對λ，μ使＝λ＋μ. 使用此定理時，我們常設(shè)＝λ＋μ，求λ，μ；若λ，μ存在即可證明a∥α；若λ，μ不存在，則直線a與平面α相交． 　　圖①　　　　　　　圖②　　　　　　　圖③ (2)證明空間的垂直 證明直線與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線；證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明這兩個平面的法向量互相垂直． (3)求空間的角 立體幾何中的角的計算，均可轉(zhuǎn)化為兩個向量的夾角的計算： ①異面直線所成角即為異面直線上兩向量的夾角，但要注意向量的夾角范圍是[0，π]，而異面直線所成角的范圍是(0，]． ②平面的斜線的方向向量與平面法向量的夾角余弦的絕對值等于該斜線與平面所成角的正弦，由此可求斜線與平面所成的角． ③如圖②，設(shè)n1，n2分別是二面角αlβ中平面α，β的法向量，則n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角． (4)求空間的距離 兩平行平面間的距離、直線與平面的距離都可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離；利用法向量可求點到平面的距離：如圖③，設(shè)n是平面α的法向量，AB是平面α的一條射線，其中A∈α，則點B到平面α的距離為. 題型一　空間向量及其運(yùn)算 空間向量的運(yùn)算主要包括空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算．空間向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律與平面向量基本一致．主要考查空間向量的共線與共面以及數(shù)量積運(yùn)算，這是用向量法求解立體幾何問題的基礎(chǔ)． 例1　沿著正四面體OABC的三條棱、、的方向有大小等于1、2和3的三個力f1，f2，f3.試求此三個力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦值． 解　如圖所示，用a，b，c分別代表棱、、上的三個單位向量， 則f1＝a，f2＝2b，f3＝3c， 則f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c， ∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c) ＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4ab＋6ac＋12bc ＝14＋4cos60＋6cos60＋12cos60 ＝14＋2＋3＋6＝25， ∴|f|＝5，即所求合力的大小為5. 且cos〈f，a〉＝＝ ＝＝， 同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝. 跟蹤演練1　如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④＝；⑤＝0，其中正確結(jié)論的序號是________． 答案?、邰? 解析　容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正確；又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以＝22cos∠ASB，＝22cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是＝，因此④正確，其余三個都不正確，故正確結(jié)論的序號是③④. 題型二　利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系 向量作為工具來研究幾何，真正把幾何的形與代數(shù)中的數(shù)實現(xiàn)了有機(jī)結(jié)合；給立體幾何的研究帶來了極大的便利，利用空間向量可以方便地論證空間中的一些線面位置關(guān)系，如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等． 例2　正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，求證：平面AED⊥平面A1FD1. 證明　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 設(shè)正方體棱長為1， 則E(1,1，)、D1(0,0,1)、 F(0，，0)、A(1,0,0)． ∴＝(1,0,0)＝，＝(1,1，)，＝(0，，－1)． 設(shè)m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分別是平面AED和A1FD1的一個法向量， 由? 令y1＝1，得m＝(0,1，－2)． 又由? 令z2＝1，得n＝(0,2,1)． ∵mn＝(0,1，－2)(0,2,1)＝0， ∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1. 跟蹤演練2　如圖，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，D為AB的中點，AC＝BC＝BB1. 求證：(1)BC1⊥AB1； (2)BC1∥平面CA1D. 證明　如圖，以C1為原點，分別以C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC＝BC＝BB1＝2，則A(2，0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2，0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)， D(1,1,2)． (1)由于＝(0，－2，－2)， ＝(－2,2，－2)， 因此＝0－4＋4＝0， 因此⊥，故BC1⊥AB1. (2)取A1C的中點E，連結(jié)DE，由于E(1,0,1)， 所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)， 所以＝－，又ED和BC1不共線， 所以ED∥BC1， 又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D， 故BC1∥平面CA1D. 題型三　利用空間向量求空間角 1．求異面直線所成的角 設(shè)兩異面直線的方向向量分別為n1、n2，那么這兩條異面直線所成的角為θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉， ∴cosθ＝|cos〈n1，n2〉|. 2．求斜線與平面所成的角 如圖，設(shè)平面α的法向量為n1，斜線OA的方向向量為n2，斜線OA與平面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n1，n2〉|. 3．求二面角的大小 如圖，設(shè)平面α、β的法向量分別為n1、n2.因為兩平面的法向量所成的角(或其補(bǔ)角)就等于平面α、β所成的銳二面角θ，所以cosθ＝|cos〈n1，n2〉|. 例3　如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D為AB的中點． (1)求點C到平面A1ABB1的距離； (2)若AB1⊥A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值． 解　(1)由AC＝BC，D為AB的中點，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AA1∩AB＝A，故CD⊥面A1ABB1，所以點C到平面A1ABB1的距離為CD＝＝. (2)如圖，過D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點，射線DB，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 設(shè)直三棱柱的高為h，則A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，，0)，C1(0，，h)，從而＝(4,0，h)，＝(2，，－h(huán))， 由⊥，有8－h(huán)2＝0，h＝2. 故＝(－2,0,2)， ＝(0,0,2)，＝(0，，0)． 設(shè)平面A1CD的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 則m⊥，m⊥，即 取z1＝1，得m＝(，0,1)． 設(shè)平面C1CD的法向量為n＝(x2，y2，z2)， 則n⊥，n⊥，即 取x2＝1，得n＝(1,0,0)，所以cos〈m，n〉＝＝＝. 所以二面角A1CDC1的平面角的余弦值為. 跟蹤演練3　如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE與AD的交點，AC⊥BC，且AC＝BC. (1)求證：AM⊥平面EBC； (2)求直線AB與平面EBC所成角的大??； (3)求二面角A—EB—C的大?。? (1)證明　∵四邊形ACDE是正方形， ∴EA⊥AC， ∵平面ACDE⊥平面ABC， ∴EA⊥平面ABC. ∴可以以點A為原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，分別以AC和AE所在直線為y軸和z軸， 建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz. 設(shè)EA＝AC＝BC＝2，則A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)， E(0,0,2)．∵M(jìn)是正方形ACDE的對角線的交點， ∴M(0,1,1)． ∵＝(0,1,1)，＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)，＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)， ∴＝0，＝0.∴AM⊥EC，AM⊥CB. 又∵EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC. (2)解　∵AM⊥平面EBC，∴為平面EBC的一個法向量．∵＝(0,1,1)，＝(2,2,0)， ∴cos〈，〉＝＝.∴〈，〉＝60. ∴直線AB與平面EBC所成的角為30. (3)解　設(shè)平面EAB的法向量為n＝(x，y，z)， 則n⊥且n⊥，∴n＝0且n＝0. ∴　即 取y＝－1，∴x＝1.∴n＝(1，－1,0)． 又∵為平面EBC的一個法向量，且＝(0,1,1)， ∴cos〈n，〉＝＝－. 設(shè)二面角A—EB—C的平面角為θ，由圖可知θ為銳角， 則cosθ＝|cos〈n，〉|＝，∴θ＝60. ∴二面角AEBC等于60. 空間向量的引入為空間幾何問題的解決提供了新的思路，作為解決空間幾何問題的重要工具，對空間向量的考查往往滲透于立體幾何問題解決的過程之中，成為高考必考的熱點之一． 1．高考對本章的考查重點是空間線面之間的位置關(guān)系的證明與探究；空間中的線線角、線面角以及二面角的求解；空間中簡單的點點距和點面距的求解．給出位置關(guān)系、角度或距離探求點的存在性問題在近幾年考查中已有體現(xiàn)．題目主要以解答題的形式給出，兼顧傳統(tǒng)的立體幾何的求解方法，主要考查空間向量在解決立體幾何中的應(yīng)用，滲透空間向量的基本概念和運(yùn)算． 2．空間向量的引入為解決空間幾何問題提供了一種新的思路，它使空間幾何體也具備了“數(shù)字化”的特征，從而把空間線面關(guān)系的邏輯推理證明與空間角、距離的求解 變成了純粹的數(shù)字運(yùn)算問題，降低了思維的難度，成為高考必考的熱點．考查的重點是結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考查空間角與距離的求解，其中二面角是歷年高考命題的熱點，多為解答題． 3．對利用向量處理平行和垂直問題的考查，主要解決立體幾何中有關(guān)垂直和平行判斷的一些命題．對于垂直，主要利用a⊥b?ab＝0進(jìn)行證明．對于平行，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明．二是對利用向量處理角度問題的考查，利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)，其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個向量的夾角，而求兩個向量的夾角則可以利用公式cosθ＝進(jìn)行計算．