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2019-2020年高中數(shù)學 第一章 坐標系單元檢測 北師大版選修4-4 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．原點與極點重合，x軸正半軸與極軸重合，則點(－5，)的極坐標是(　　)． A． B． C． D． 2．已知點P的柱坐標為，則它的直角坐標為(　　)． A．(，1,1) B．(1,1,1) C．(，，1) D．(1,0,1) 3．設點P的直角坐標為(4,4,)，則它的球坐標為(　　)． A． B． C． D． 4．極坐標方程(ρ≥0)的直角坐標方程是(　　)． A．y＝x B．y＝－x C．y＝－x(x≤0) D．y＝x(x≥0) 5．曲線的極坐標方程為ρ＝4cos θ，化成直角坐標方程為(　　)． A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4 C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4 6．圓ρ＝(cos θ＋sin θ)的圓心的極坐標是(　　)． A． B． C． D． 7．已知點P的極坐標為(1，π)，則過點P且垂直極軸的直線方程是(　　)． A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ C． D． 8．在極坐標系中，與圓ρ＝4sin θ相切的一條直線方程為(　　)． A．ρsin θ＝2 B．ρcos θ＝2 C．ρcos θ＝4 D．ρcos θ＝－4 9．將極坐標方程ρ＝cos θ－2sin θ化為直角坐標方程為(　　)． A．x2＋y2－x＋2y＝0 B．x2＋y2＋x－2y＝0 C．x2＋y2－2x＋y＝0 D．x2＋y2＋2x－y＝0 10．在極坐標系中，設圓ρ＝3上的點到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距離為d，則d的最大值為(　　)． A．5 B．6 C．4 D．3 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上) 11．從極點作圓ρ′＝2asin θ′的弦，則各條弦中點的軌跡方程為__________． 12．極坐標方程分別為ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的兩個圓的圓心距為__________． 13．已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，則曲線C1與C2交點的極坐標為________． 14．在平面直角坐標系中，已知點A(3,0)，P是圓O：x2＋y2＝1上的一個動點，且∠AOP的平分線交PA于Q點，則Q點的軌跡的極坐標方程是________． 15．若曲線的極坐標方程為ρ＝tan θ，則該曲線的直角坐標方程為__________． 三、解答題(本大題共2小題，共25分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16．(10分)在下列平面直角坐標系中，分別作出x2＋y2＝49的圖形： (1)x軸與y軸具有相同的單位長度； (2)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的2倍； (3)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的. 17．(15分)在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，M，N分別為曲線C與x軸、y軸的交點． (1)寫出曲線C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標； (2)設M，N的中點為P，求直線OP的極坐標方程．  參考答案 1．答案：B　利用轉化公式，代入求值即可． 設點(－5，)的極坐標為(ρ，θ)，則tan θ＝，x＜0，∴最小正角，ρ＝＝10. 2．答案：B　設點P的直角坐標為(x，y，z)． 則有x＝rcos θ＝＝1，y＝rsin θ＝＝1，z＝1. ∴點P的直角坐標為(1,1,1)． 3．答案：A　設點P的球坐標為(r，φ，θ)， 則r＝＝8，tan θ＝＝1. 又∵x＞0，∴. ∵＝8cos φ，∴cos φ＝. ∵0≤φ≤π，∴. ∴點P的球坐標為. 4．答案：C　tan θ＝＝－1，∴y＝－x(x≤0)． 5．答案：C　由直角坐標和極坐標的互化公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，即ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)可得x2＋y2＝4x，整理得(x－2)2＋y2＝4. 6．答案：A　將圓的方程化為的形式，可得圓心的極坐標為. 7．答案：C　由點P的坐標可知，過點P且垂直于極軸的直線的直角坐標方程為x＝－1，化為極坐標方程為ρcos θ＝－1，故選C. 8．答案：B　如圖，⊙C的極坐標方程為ρ＝4sin θ，CO⊥Ox，OA為直徑，|OA|＝4.ρsin θ＝2表示直線y＝2，ρcos θ＝4表示直線x＝4，ρcos θ＝－4表示直線x＝－4，均不與圓相切，故排除選項A，C，D. 9．答案：A　∵ρ＝cos θ－2sin θ， ∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ， ∴x2＋y2＝x－2y，∴x2＋y2－x＋2y＝0. 10．答案：．C　極坐標方程ρ＝3轉化成直角坐標方程為x2＋y2＝9，所以圓心為(0,0)，半徑為3，ρ(cos θ＋)＝2轉化成直角坐標方程為x＋＝2.則圓心到直線x＋＝2的距離d′＝＝1. ∴圓上的點到直線的最大距離為d′＋3＝1＋3＝4. 11．答案：ρ＝asin θ　設任意一條弦的中點的極坐標為(ρ，θ)，則點(2ρ，θ)在圓ρ′＝2asin θ′上，∴2ρ＝2asin θ，即ρ＝asin θ. 12．答案：　由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1. 由ρ＝sin θ，得ρ2＝ρsin θ，化為直角坐標方程為x2＋＝1. 所以兩個圓的圓心分別為(1,0)和， 故d＝. 13．答案：　由得4cos2θ＝3. ∴2(1＋cos 2θ)＝3，cos 2θ＝. 又0≤2θ＜π，∴.故， ∴曲線C1與C2的交點的極坐標為. 14．答案：　如圖，以圓心O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設Q(ρ，θ)，P(1,2θ)． 因為S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP， 所以3ρsin θ＋ρsin θ＝31sin 2θ.整理得. 15．答案：x2＝y(tǒng)　由ρ＝tan θ，得ρcos2θ＝sin θ， ∴ρ2cos2θ＝ρsin θ，化為直角坐標方程為x2＝y(tǒng). 16．答案：解：(1)建立平面直角坐標系，使x軸與y軸具有相同的單位長度，則x2＋y2＝49的圖形如下： (2)如果x軸上的單位長度保持不變，y軸上的單位長度縮小為原來的，則x2＋y2＝49的圖形如下： (3)如果y軸上的單位長度保持不變，x軸上的單位長度縮小為原來的，則x2＋y2＝49的圖形如下： 17．答案：解：(1)由， 得ρcos θ＋ρsin θ＝1， ∴曲線C的直角坐標方程為， 即x＋－2＝0. 當θ＝0時，ρ＝2，∴點M的極坐標為(2,0)； 當時，， ∴點N的極坐標為. (2)由(1)得，點M的直角坐標為(2,0)，點N的直角坐標為，∴點P的直角坐標為， 則點P的極坐標為，直線OP的極坐標方程為，ρ∈R.